高数下期末考试试卷及答案

1、精品文档. 2017 学年春季学期高等数学（二） 期末考试试卷（a）注意：1、本试卷共 3 页； 2、考试时间110 分钟； 3 、姓名、学号必须写在指定地方一、单项选择题（8 个小题，每小题2 分，共 16 分）将每题的正确答案的代号 a、b、 c 或 d 填入下表中1已知a与b都是非零向量，且满足abab，则必有（）. (a)0ab(b)0ab(c)0a b(d)0ab2.极限2222001lim()sinxyxyxy( ). (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d)不存在3下列函数中，dff的是 ( ).（a）( , )fx yxy（b）00( ,),f x yxycc 为实数（c）2

2、2( , )f x yxy（d）( , )exyfx y4函数( ,)(3)f x yxyxy，原点(0,0)是( , )f x y的( ).（ a）驻点与极值点（b）驻点，非极值点（ c）极值点，非驻点（d）非驻点，非极值点5 设 平 面 区 域22: (1)(1)2dxy， 若1d4dxyi，2d4dxyi，33d4dxyi，则有（）. （a）123iii（b）123iii（c）213iii（d）312iii6设椭圆l：13422yx的周长为l，则22(34)dlxys?（）. (a) l(b) l 3(c) l 4(d) l127设级数1nna为交错级数，0 ()nan，则（）. (a)

3、 该级数收敛(b)该级数发散(c)该级数可能收敛也可能发散(d)该级数绝对收敛8. 下列四个命题中，正确的命题是（）. （a）若级数1nna发散，则级数21nna也发散（b）若级数21nna发散，则级数1nna也发散（c）若级数21nna收敛，则级数1nna也收敛（d）若级数1|nna收敛，则级数21nna也收敛二、填空题 (7 个小题，每小题2 分，共 14 分) 1. 直线3426030 xyzxyza与z轴相交，则常数a为 .2设( ,)ln(),yf x yxx则(1,0)yf_ _. 3函数( ,)f x yxy在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为 . 4设22:2dxyx，二

4、重积分()ddxy= . 5设fx是连续函数，22(, )|09x y zzxy，22()df xyv在柱面坐标系下的三次积分为.6. 幂级数11( 1)!nnnxn的收敛域是 .7. 将函数21,0( )1,0 xf xxx以2为周期延拓后，其傅里叶级数在点x处收敛于.题号一二三四总分得分阅卷人得分题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案阅卷人得分三峡大学试卷纸教学班号序号学号姓名答题不要超过密封线精品文档. 三、综合解答题一（5 个小题，每小题7 分，共 35 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1设( ,)xuxf xy，其中f 有连续的一阶偏导数，求ux，uy解：2求曲面 e

5、3zzxy在点 (2,1,0) 处的切平面方程及法线方程解：3. 交换积分次序，并计算二次积分0sinddxyxyy解：4 设是由曲面1,xxyxyz及0z所围成的空间闭区域，求23d d dixy z x y z. 解：5求幂级数11nnnx的和函数( )s x，并求级数12nnn的和解：阅卷人得分三峡大学试卷纸教学班号序号学号姓名答题不要超过密封线精品文档. 四、综合解答题二（5 个小题，每小题7 分，共 35 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1. 从斜边长为1 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形解2计算积分22()dlxys?，其中l为圆周22xyax(0a)解：

6、3利用格林公式， 计算曲线积分22()d(2)dlixyxxxy y?，其中l是由抛物线2yx和2xy所围成的区域d的正向边界曲线4 计算dx s，为平面1zyx在第一卦限部分.解：5利用高斯公式计算对坐标的曲面积分d dd dd dx yy zz xs+蝌，其中为圆锥面222zxy介于平面0z及1z之间的部分的下侧.解：阅卷人得分三峡大学试卷纸教学班号序号学号姓名答题不要超过密封线xo2yx2xyyd 精品文档. 2017 学年春季学期高等数学（二） 期末考试试卷 (a) 答案及评分标准一、单项选择题（8 个小题，每小题2 分，共 16 分）1已知a与b都是非零向量，且满足abab，则必有（

7、 d ）(a)0ab； (b)0ab； (c)0a b； (d)0a b2. 极限2222001lim()sinxyxyxy ( a ) (a) 0； (b) 1； (c) 2； (d)不存在 . 3下列函数中，dff的是 ( b )；（a）( , )f x yxy；（b）00( , ),f x yxyc c 为实数；（c）22( , )f x yxy；（d）( , )exyfx y.4函数( ,)(3)f x yxyxy，原点(0,0)是( , )f x y的( b ).（ a）驻点与极值点；（b）驻点，非极值点；（ c）极值点，非驻点；（d）非驻点，非极值点.5 设 平 面 区 域d：22

8、(1)(1)2xy， 若1d4dxyi，2d4dxyi，33d4dxyi，则有（ a ）（a）123iii；（b）123iii；（c）213iii；（d）312iii6设椭圆l：13422yx的周长为l，则22(34)dlxys?（d ） (a) l； (b) l 3； (c) l 4； (d) l127设级数1nna为交错级数，0 ()nan，则（ c ） (a)该级数收敛； (b)该级数发散；(c) 该级数可能收敛也可能发散； (d) 该级数绝对收敛8. 下列四个命题中，正确的命题是（ d ）（a）若级数1nna发散，则级数21nna也发散；（b ）若级数21nna发散，则级数1nna也发

9、散；（c ）若级数21nna收敛，则级数1nna也收敛；（d ）若级数1|nna收敛，则级数21nna也收敛二、填空题 (7 个小题，每小题2 分，共 14 分) 1. 直线3426030 xyzxyza与z轴相交，则常数a为3 。2设( ,)ln(),yf x yxx则(1,0)yf_1_ 3函数( ,)f x yxy在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为24设22:2dxyx，二重积分()ddxy= 5设fx是连续函数，22(, )|09x y zzxy，22()df xyv在柱面坐标系下的三次积分为22392000dd()dfz6. 幂级数11( 1)!nnnxn的收敛域是(,).7

10、. 函数21,0( )1,0 xf xxx，以2为周期延拓后，其傅里叶级数在点x处收敛于22.三、综合解答题一（5 个小题，每小题7 分，共 35 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1设( ,)xuxf xy，其中 f 有连续的一阶偏导数，求ux，uy解：12uxfxffxy4 分222uxfyy. 7 分2求曲面3zezxy在点 (2,1,0) 处的切平面方程及法线方程解：令,e3zfx y zzxy，2 分(,)( , ,e1)zxyzfffy xn，(2,1,0)(1,2,2)n，4 分所以在点 (2,1,0) 处的切平面方程为(2)2(1)20 xyz，题号1 2 3 4

11、5 6 7 8 答案d a b b a d c d 精品文档. 即2240 xyz；6 分法线方程为21122xyz. 7 分3. 交换积分次序，并计算二次积分0sinddxyxyy；解：0sinddxyxyy =00sinddyyyxy 4 分=0sin d2y y 7 分4设是由曲面1,xxyxyz及0z所围成的空间区域，求23d d dixy zx y z解：注意到曲面zxy经过x轴、y轴，2 分=(, , ) : 0,0,01x y zzxyyxx 4 分故12323000d d ddddxxyixy zx y zxyxy zz=36417 分5求幂级数11nnnx的和函数( )s x

12、，并求级数12nnn的和解：11( )nns xnx，(0)1s，由已知的马克劳林展式：11,| 11nnxxx，2 分有11( )()(1)1nns xxx=21(1)x，| 1x，5 分12nnn=11122nnn=11( )22s=2 7 分四、综合解答题二（5 个小题，每小题7 分，共 35 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1. 从斜边长为1 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形解 设两个直角边的边长分别为x，y，则221xy，周长1cxy，需求1cxy在约束条件221xy下的极值问题 2 分设拉格朗日函数22( , , )1(1)l x yxyxy，4 分令22

13、120 ,120,1,xyfxfyxy解方程组得22xy为唯一驻点， 6 分又最大周长一定存在，故当22xy时有最大周长. 7 分2计算积分22()dlxys?，其中l为圆周22xyax(0a)解：l的极坐标方程为cosa，22；2 分则22d() ddsa，4 分所以3222322222()ddcosd2laxysaa?7 分或解：l的形心( ,)(,0)2ax y，l的周长a，22()dlxys?=dlax s?=ax a=32a3利用格林公式，计算曲线积分22()d(2)dlixyxxxyy?，其中l是由抛物线2yx和2xy所围成的区域d的正向边界曲线解：22()d(2)dlixyxxxyy?ddxdy3 分210ddxxxy5 分13 7 分4 计算dx s，为平面1zyx在第一卦限部分.解：在xoy面上的投影区域为)0,0(1:yxyxdxy，2 分又, 1,1,1:yzxzyxz故dxdyds3，4 分所以11003336xyxdxdsxdxdydxxdy. 7 分或解：由对称性，113()336xd