高数下期中考试

1、高等数学（下册）期中考试汇编(2013-5-5) 一、解答下列各题（70107分） 1. 设xyzyxxyue，求(1,2,0)dz 2. 设曲线为32( )( , )rr tttt，求它在对应于1t的点处的切线方程和法平面方程. 3. 设有球面14222zyx，求它在) 1 ,2, 3(处的切平面方程和法线方程. 4. 设由方程0932222zxyzyx可确定),(yxzz，求yxz2在) 1 ,2,1 (p处的值 . 5. 设积分区域由抛物面22yxz及平面0hz所围成。求2dzv6. 计算二重积分dyxid)1(22，其中d是由222ayx和axyx22及0 x所围在第一象限的区域 .

2、7. 计算二重积分yyxyyxyxyxyidedded121212141. 8. 在圆锥面22yxhrz与)0,0(hrhz所围的锥体内作一个底面平行于xoy面的最大长方体，求此长方体的体积. 9. 在一个侧面为旋转抛物面224yxz的容器内装有)(cm83的水，现注入)(cm1283的水，问水面比原来升高多少？10. 求向量值函数f的导数，其中.)sin(,e,costxxzyyxf二、设yxfzyx,e，其中具有二阶连续偏导数，求.2yxf三、讨论函数0, 00,1sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf在)0,0(点是否连续，是否可微. 四、设是由曲面222yxaz及)0(

3、22aayxz围成的空间立体，求对oz轴的转动惯量.zi五、设)(tf在),0上连续，且满足方程vyxfztfd211)(222，其中是由不等式2224,0tyxhz所确定，求).(tf(2012-4-21) 一填空题（每小题5 分，共 20 分）1曲线2tx，2 ,ytzt上相应于2y的点处的切线方程是2xyzuarctan在点) 1 ,0, 1 (a处沿点a指向点)2, 2,3(b方向的方向导数为3曲面01),(322zyxyxzyxf，在点)6, 1,2(m处的切平面方程为4若函数yxyaxxyxf22),(22在点) 1, 1(处取得极值，则常数a二计算下列各题（每小题9 分，共 54

4、 分）1）计算dxxxedyiyxsin)1(1012）计算二重积分ddxdyyx22sin，22224:yxd3）设),(22xyxfxz，其中f具有连续的二阶偏导数，求xz和22xz4）求椭球面123222zyx被平面0zyx截得的椭圆长半轴与短半轴之长. 5在曲面1zcybxa)0,0,0(cba上作切平面，使该切平面与三坐标面所围成的体积最大，求切点的坐标. 6设函数)(1),(22yxyfxyxf，其中)(uf二阶可导，求yxfxf2,，求二重积分ddxdyyxfi),(，其中d是由3,1,1yxyx围成的平面区域 .三. (9分)( 学习工科数学分析者作(1), 其余作 (2) 1

5、）设有二元向量值函数xyyxyxf2),(22，试求f在点)1 ,1 (处的导数与微分 . 2) 设),(yxfz，由0zyxxeyx所确定，求dz四（ 11 分）讨论函数32),(yxyxf在点)0 ,0(处是否连续，偏导是否存在，是否可微？五（ 6 分）已知)(22yxuu有连续二阶偏导数，且满足222222yxyuxu试求函数u的表达式 . (2011-4-23) 一、填空题（每小题5 分共 20 分）1函数)2sin(lne),(yxyxfx，在)0,4(点处的全微分zd . 2设22zxyu，则u在点)1 , 1,2(处的方向导数的最大值为 . 3设有椭球面12222zyx，则它在点

6、)21,21,21(处的切平面方程为4设),(yxzz由方程yzzxln所确定，则22xz二单选题（每小题5 分，共 20 分） 1 在曲线32tztytx的所有切线中，与平面42zyx平行的切线（） a只有 1 条 b 只有 2 条 c 只有 3 条 d不存在 2 22201limcos()ddxyrdexyxyr（）. 其中.:222ryxd a b1/ c1 d1 3 设),(yxf连续,exyyxfxi1ln0d),(d交换积分次序后为（） aexxyxfyi1ln0d),(d beeyxyxfyi10d),(d cxexyxfyiln01d),(d d10d),(deeyxyxfyi

7、 4 函数22222222sin 2(),0( , )0,0 xyxyxyf x yxy在点)0, 0(处（） a无定义 b连续 c有极限但不连续 d无极限三、（ 10 分）设函数),(vuf可微，),(yxzz是由方程),(yzxzfxyz确定的可微函数，求,zzxy. 四、（ 10 分）讨论函数( , )|f x yxy在)0,0(处连续性、可导性、可微性. 五、（ 10 分）在曲面222:yxz上求一点),(000zyxp，使它到平面062:zyx的距离最短 . 六、（ 10 分）计算 2 4 2 1 2dsinddsind22xxxxxixyxyyy. 七、（ 10 分）计算二重积分.

8、4:,ddsin222222yxdyxyxd八、 (4 分)( 学习工科数学分析者作(1), 其余作 (2) (1) 求向量值函数( , , )( cos ,sin()xtf x y zxy yexz的 jacobi 矩阵. (2) 求函数2( ,2,3 )zf xxy xy的梯度 (f的偏导存在 ). 九. （6 分）求抛物面221zxy的一个切平面 , 使得它与抛物面及圆柱22(1)1xy围成的体积最小，试写出切平面方程并求出最小体积. (2010-5-8) 一、填空题（每小题4 分，共 20 分）1设xyzyxxyue，则)0,2,1(dz . 2设tztytx23，则它在1t所对应点处

9、的切线方程为 . 3设222lnzyxu，则)1 , 1 , 1(grad f . 4设22zxyu，则u在点)1 , 1, 2(处沿方向31,31,31l的方向导数为 . 5计算2222()dxyrxy . 二、计算题（每小题7 分, 共 63 分）1求曲面122yxz在点)4, 1 , 2(的切平面方程和法线方程. 2计算221111dsindyyxxxyy. 3设xyxxfz2,2，其中f具有二阶连续偏导数，求yxz2. 4讨论函数0,00,),(222222yxyxyxxyyxf在点)0 ,0(的偏导数及可微性. 5设有形状为旋转抛物面的一容器, 其中心轴截面与容器的截线方程为2yx,

10、 现将长为l的细棒ab置于容器之中 , 试求细棒中点的最低位置( 设1l). 6( 学工科数学分析者作(1), 其他作 (2) (1) 求向量值函数t2222221),ln(),sin(zyzxyxf在点t)1 , 1 , 1 (处的导数 . (2) 求由方程05242222zxzyx所确定的隐函数z的二阶偏导数22xz. 7计算二重积分dyxd22，其中0,0,42| ),(22yxyxxyxd. 8若二元函数),(yxz在xoy平面上的任意一个有界闭区域内存在一阶连续的偏导数，且ddyxzxxzxzyxxzdd2dd222，求函数),(yxz. 9设函数( )f t在0,)上连续，且满足方

11、程222242241( )edd2txytf tfxyxy, 求( )f t. 三、讨论题（共17 分）1. 计算二元函数( ,)zf x y在点00(,)p xy处对x的偏导数00(,)xfxy时, 可以先将0yy代入( , )f x y中, 再求一元函数0( ,)f x y在0 x处对x的导数 , 即0000( ,)(,)xxxdf x yfxydx, 为什么 ? 2. 试通过讨论函数224( , )128f x yxxyy的极值点 , 来说明当点( , )x y在过000(,)mxy的任一直线l上变动时, 二元函数( ,)f x y都在000(,)mxy处取得极值, 能否断定该函数在00

12、0(,)mxy处取得极值 ? （2009-4-26 ）一、填空题（每小题3 分，共 15 分）1若函数yxyaxxyxf22),(22在点) 1, 1(处取得极值，则常数a . 2)ln(e2yxzx，沿0 ,1l方向的方向导数lz . 3曲线2tan,sin,costztytx在点)1 , 1 ,0(处的切线方程是 . 4交换二次积分的积分次序（其中),(yxf为连续函数）xxyyxfxyyxfx2021010d),(dd),(d2 . 5设)2, 1, 1(m是 曲 面),(yxfz上 的 一 点 ， 若3)1,1 (xf， 在 任 一 点),(yx处 有),(),(),(yxfyxyfy

13、xxfyx，则曲面在m处的切平面方程是 . 二、单项选择题（每小题3 分，共 15 分）1. 函数0, 00,4),(222222yxyxyxxyyxf在原点)0,0(间断的原因是),(yxf（） a. 在原点无定义 b. 在原点极限存在但在原点无定义 c. 在原点极限不存在 d. 在原点极限存在，但极限不等于原点的函数值2. 函数10232),(22yxxyyxf在点)0,0(o处（） a. 取得极大值 b. 取得极小值 c. 无极值 d. 不能判定是否取得极值3. 设yxuarctan则)1 , 1(gradu（） a. 21 b. 21 c. 11(,)22 d. 1 1(,)2 24.

14、 设)(uf是连续函数，平面区域) 1|(|10:2xxyd，则dvyxfd)(22（） a. 2102210d)(dxyyxfx b. 2102210d)(dyxyxfyc. 1020d)(df d. 1020d)(df5. 比较dyxid)(21与dyxid)(32的大小，其中22( , )|(2)(2)2dx yxy，则（） a. 21ii b. 21ii c. 21ii d. 21ii三、解答题（每小题8 分，共 64 分）1. 设22lnarctanyxxyz，求xz和yxz2. 2. 求曲面2zyx上任一点处的切平面与三个坐标轴的截距之和。3. 计算二重积分13102d1dxyyx

15、yx. 4. 设yxtfdyxdde)(22sin，其中222(, ) |dx yxyt，求ttft)(lim2. 5. 讨论函数22222222,001sin)(),(yxyxyxyxyxf在原点)0, 0(处的可微性 . 6. 设有一物体，它是由曲面22yxz和228yxz所围成，已知它在任意的点),(zyx处的密度z，求此物体的质量m. 7. ( 学习工科数学分析者作，学习工科数学分析者作) 求向量值函数22),(yxyxyxf的导数 . 设函数),(yxzz由方程0),(2222zyyxf所确定 . 其中( , )f u v可微，0vzf，求yzxxzy. 8. 设),(xyxfz，其

16、中f具有二阶连续偏导数，求zd及yxz2. 四、综合题（ 6 分）在 第 一 卦 限 内 作 旋 转抛 物 面221yxz的切平面，使得该切平面与旋转抛物面)0,0(122yxyxz及三个坐标面所围成的立体的体积最小，求切点坐标. 一.解答下列各题 (每小题 7 分,共 70 分) 1. 设2( ,)arcsin,yfx yx求( , )dfx y. 2. 设由方程0932222zxyzyx可确定),(yxzz, 求(1, 2,1)zx，)1 ,2, 1(2yxz. 3. 求曲面122yxz在点 (2,1,4)的切平面与法线方程. 4. 求曲线2(sin ,2 )0rt ttt在时的切线与法线

17、方程。5. 设f连续，交换积分次序221111( ,)yydyf x y dx. 6. 计算二重积分 . 2222(sin1)xyaxydxdy7. 设 空 间 立 体是 由 抛 物 面22yxz及 平 面0hz所 围 成 , 已 知 它 的 密 度 为2),(zzyxf. 试计算它的质量 . 8. 求22zxyu在点(2, 1,1)处的方向导数的最大值. 9. 求曲线( cos ,sin ,)rat at kt的曲率 . 10. （学工科数学分析者做，其它做） 设,),(),(22txyeyxyxf求) 1 , 1(),1 , 1 (dfdf 设方程组22222vuxyuvyx, 确定了函数

18、),(yxuu和),(yxvv求xvxu,. 二. （8 分）设),(2xyyxfz其中(2)fc, 求yxzxz2,. 三. （8 分） 设0,00,),(2222222yxyxyxyxyxf, 试研究),(yxf在(0,0) 点处的连续性、可微性. 四. （7 分） 求曲面221zxy在点0(1, 1,3)m的切平面与曲面22zxy所围立体的体积。 . 五. （7 分） 设函数( , , )f x y z在闭球体222:3xyz上有连续的偏导数, 且满足条件：在内1,1,1fffxyz， (1,1,1)11f。试求函数( , , )f x y z并证明7( , )13,( , , )f x

19、 y zx y z(2007 年) 一、解答下列各题（每小题7 分，总计 70 分）1、设(2,)zfxy xy，其中f具有一阶连续偏导数，求dz. 2、设22arctanlnyzxyx，求2zx y. 3、求曲面228xyzz, 在0(2, 2,1)m处的切平面和法线方程。4、设22,xytfxye，求(1,1),(1,1)dfdf。（求332233fxyxy的极值）5求曲线22260 xyzxyz在(1, 2,1)处的切线和法平面方程。6若( )f r为可微函数，其中222rxyz，计算grad ( )f r。7在直角坐标系下，交换二次积分2220( , )aa xaaxdxf x y d

20、y的积分次序。（0,af连续）。8 设 有 一 物 体 由 曲 面22zxy和228zxy所 围 成 ， 已 知 它 在 任 意 一 点( , )mx y z处的密度z，求此物体的质量。9一质量分布均匀（密度为常数）的物体由曲面2222,1zxyxy及0z所围成，求此物体的质心坐标。10计算23120yxxdxedy。二、（ 8 分）设( ,)zz x y由方程222()zxyzyfy确定，其中f具有一阶连续偏导数，求zzyxxy. 三、（ 8 分）设222,( ,)(0,0)( , )0,( ,)(0,0)x yx yf x yxyx y，试讨论f在点 (0,0) 处的连续性和可微性 . 四

21、、（ 8 分）在第一卦限内作旋转抛物面221zxy的切平面，使得该切平面与旋转抛物面221(0,0)zxyxy及三个坐标面所围成的立体的体积最小，求切点的坐标。五、（ 6 分） 设( , )f x y在单位圆221xy上有连续的一阶偏导数，且在边界上取值为零，证明：2201(0,0)lim2xydxfyffdxdyxy，其中d为圆环域2221xy. (2006 年) 一、解答下列各题（每小题7 分，总计 70 分）1、设( ,2,)zf xxy xy，其中f具有一阶连续偏导数，求dz. 2、设()yzf xyx，其中f具有二阶连续偏导数，求22zx3、求曲线2( ) ,31r tttt上一点处

22、与平面24xyz平行的切平面方程。4、求曲面222522zxy的平行于平面221xyz的切平面方程。5、交换二次积分的积分次序：240( , )yydyf x y dx。6、计算23120yxxdxe dy7、设( )f u是连续函数，试将22200()xdxfxydy在极坐标系下为二次积分。8、设函数( , , )6f x y zxyzxzyxyz，问在点(3,4,0)m处沿怎样的方向l，f的变化率最大？并求此最大变化率。9、计算二重积分22()dxydxdy，其中d为222xyx所围平面区域。10、（注学习工科分析基础的作（1），其余作（ 2）（1） 证明等式21ln 2()( )2df

23、xy dxdyf u du，其中d是由直线,2yx yx与双曲线1,2xyxy所围成的位于第一象限的闭域。（2） 把正数a分成三个正数, ,x y z之和，并使23( , , )f x y zxy z取得最大值。二、（ 8 分）设222(,)zy f xyxy其中f具有二阶连续偏导数，求2zx y. 三、（ 8 分）从平面薄圆板22(1)1xy的内部挖去一个园孔2211()24xy后，得到一个薄板，若其上名点处的密度为22xy，求此薄板的质量。四、（ 7 分）证明：22,( , )(0,0)( , )0,( , )(0,0)xyx yf x yxyx y在点(0,0) 处偏导数存在但不可微。.

24、 五、（ 7 分）若点0000(,)mxyz是光滑曲面( , , )0f x y z上与原点距离最近的点，试证过点0m的法线必定过坐标原点. (2004 年) 一、解答下列各题（每小题6 分，总计 12 分）1、求曲线ctztbytax,sin,cos在点cba6,2,23处的切线方程 . 2将22320002( , )( , )rxrrxridxf x y dydxf x y dy化为极坐标系中先对r后对的二次积分。二、解答下列各题（每小题6 分，总计 12 分）1在曲线223,2,tztytx上求点，使该点处曲线的切线平行于平面1478zyx. 2、求曲面323zxzyx在点 (1,1,1

25、)处的切平面方程 . 三、（ 8 分）计算ddxdyyxi|2|22，其中3:22yxd. 四、（ 7 分）设( )( ),( )0g yzfxf x，其中gf ,为可微函数，求yzxz,. 五、（ 7 分） 设函数),(stf具有连续的一阶偏导数，而)(xyzzyxfu，求du. 六、（ 7 分）证明：)0, 0(),(,0)0, 0(),(,),(422yxyxyxxyyxf在点 (0,0) 处不连续，但存在一阶偏导数. 七、（ 9 分）在椭球面196222zyx上求距离平面2881243zyx的最近点和最远点. 八、（ 9 分）设)(),(xzzxyy是由方程()zxf xy和0),(z

26、yxf所确定的函数，其中f和f分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dxdz. 九、（ 9 分）设球体)0(2222aazzyx中每点的质量密度与该点到坐标原点的距离平方成反比 . 试求该球体的质量与质心. 十、（ 9 分）试求正数的值，使得曲面xyz与曲面1222222czbyax在某点相切 . 十一、（ 8 分）设由0,lnyxy及ex所围的均匀薄板（密度1）求此薄板绕哪一条垂直于x轴的直线旋转时转动惯量最小？(2003 年)一、解答下列各题 ( 每小题 5 分，总计 15 分) 1、设jia，kjib4，cij，求cba)(. 2、求曲线tztytxsin,cos,2在点)22,22,

27、16(2处的切线方程 . 3、设),(yxf为连续函数，交换累次积分xxdyyxfdx220),(的积分次序 . 二、解答下列各题 ( 每小题 6 分，总计 12 分) 1、试求平行于x轴，且过点)2, 1, 3(及)0, 1 ,0(的平面方程 . 2、试求曲面32xyezz在点)0 ,2 ,1 (处的切平面方程 . 三 、 (8分 ) 设 区 域d 由xyxyx2, 12222及0y所 确 定 ， 计 算 二 重 积 分ddyxi22. 四、 (7 分) 设yxyxyxfarccos) 1(),(，求fxfy( , )( , ),0 10 1. 五、 (7 分) 设zxyx()1，求d z. 六、 (7 分) 一直线在平面:xy20上，且和两直线,1141:1zyxl120124:2zyxl都相交，求该直线的方程. 七、 (9 分) 求函数zxyxyx3232363在闭域dxy:,02 02上的最