高等数学解题步骤

1、解题步骤一、求极限： 1）先代入判类型 2 ）再根据类型确定方法，如用到现成结论须说明。例 1、1limsinxxx【解】： （ 1）0型（ 2）原式 =1sinlim11xxx（由第一个重要极限得）或原式 =1lim1xxx（由等价无穷小111,0sinxxxx）例 2、24321limsin213xxxxxx【解】： （ 1）0有界函数（ 2）231lim021xxxx，42sin3xx有界由无穷小性质：原式=0 例 3、1limlnxxeex【解】： （ 1）00型（ 2）利用洛必达法则：原式=11limlim1lnxxxxeeeexx二、求导数：1、利用定义求导数：1）先写出导数定义式

2、0000000limlimxhfxxfxfxhfxfxxh000000limlimxxxfxxfxfxfxxxx导函数：0limxfxxfxfxx 2）再将要求的式子凑成定义式例 1：设1fa，求1431lim1xfxfx【解】： （1）0111limhfhffh（2）令1xh，原式 =030131131limlim33133hhfhffhffahh例 2：设2fa，求1lim22nn ffn【解】： （1）0222limhfhffh（2）令1hn，原式 =022lim2hfhffah例 3：设有任意的, x y有fxyfxfy且11f，证明：当1x时1fxx【证明】： （1）0limxfxx

3、fxfxx（2）0limxfxxfxfxx01limxxfxfxxx01limxxfxffxxx（由已知）011111lim1xxffxfxxxxx（10fxyfxfyf） 2 、求导数（复合函数、隐函数、参数方程导数、）复合函数求导：1）分解函数成简单函数。 2）写出复合函数的求导公式。),dya yf uuxfuxdx),dyb yf uuvvxfuvxdx),dyc yf uug xvvxfugxvxdx 3）最后将中间变量回代。例 1、2ln1yxx，求dydx【解】： （1）2ln,1yu uxx（2）22121ln1211dyxuxxxdxuxx例 2、21yfx，求y【解】： （

4、1）2,1yf uuv vx（2）222112121xyfuvxfuxfxvx例 3、2ln1yxx，求y【解】： （1）2ln,1yu uxv vx（2）211ln1122yuxvxxuv222111111xxxxx隐函数求导：1）写明等式两边同时对x求导。 2）利用复合函数的运算法则进行求导，遇含y的函数则先对y求导再乘以y。 3）解出y表达式。 4）如求0yx，则无需操作第3）步，只需将00,xy代入 2）中方程解得。例 1、方程224yxxyye确定函数yfx，求y【解】：(1) 等式两边同时对x求导：224yxxyye（2）22482yyxxyyexxyxyy yey（3）82yxy

5、yexy例 2、方程1sinln0 xxyy确定函数yfx，求0y【解】 ： （ 1）当0 x时1y（2）等式两边同时对x求导：1sinln0 xxyy（3）sinln1ln0cosln1ln0 xyxyxyxyxy11cos101xyx yxyxyxy11cos01xyyxyyxy，将0,1xy代入方程得11cos010000000 11yyy参数方程xtyt求导： 1）先分别求出,xx 2）写出公式tdyf tdxt，22dydftd ydxd xdxt 3）进行整理（若要求二阶导数的话）例 1、设sincos2xtyt，求22,dy d ydxdx【解】 ： （ 1）sincostttc

6、os2sin 222sin 2ttttt（2）2sin 24sincostdyttdxtt，令4sintf t（3）224sin4cos4coscosfttd ytdxttt3、对数求导法：适用于求幂指函数或多个因子的乘积或商的导数1）等式两边同时取对数。 2）等式两边同时对x求导（利用隐函数求导方法，等式左边的导数为1yy） 。 3）整理，并将y的表达式代入。例 1、设sin0 xyxx，求y【解】 ： （ 1）等式两边同时取对数：sinlnlnlnsinlnxyxyxx（2）等式两边同时对x求导：lnsinlnyxx1sinlnsinlnyxxxxy11coslnsinyxxxyx（3）s

7、in1sincoslnsincoslnxxyxxxyxxxxx注：若一函数不能直接用法则或上述方法求得，则将其分成若干个函数分别求然后再用法则。例 2、设2sin1,01xxxyxxexx，求y【解】：不能直接用对数求导法（ 1）设2sin1231231;1xxxyxyxyeyyyyx（2）11111lnlnln1ln1122xyxyxxxx111lnlnln1ln122yxxx111111112121yxxyxxx1111121211xyxxxxxsin2xyx由上题知sin2sincoslnxxyxxxx23xye由复合函数求导22232xxyexxe（3）2sin1111sincosln

8、221211xxxxyxxxxxexxxxx4、分段函数导数：1）写出fx在分段点处函数值。 2）利用左右导数的定义式求出分段点处的左右导数0000limxxfxfxfxxx；0000limxxfxfxfxxx。 3）其他点处直接用求导公式求，最后导函数写成分段函数形式。例 1、设2,0,0 xxfxx x，求0f及fx【解】： （1）2,00,0,0 x xfxxxx（2）0000limxxfxfxfxxx00000limlim10 xxfxfxfxx0000limxxfxfxfxxx200000limlim00 xxfxfxfxx000fff不存在（ 3）0,1xfxxfxx220,2xf

9、xxfxxx（4）1,002 ,0 xfxxx x不存在，5、高阶导数：先求一阶，整理，然后逐阶求nnnuvuv; 0nnn kkknkuvc uv例 1、设lnyxx，求y【解】： （1）1lnlnln1yxxxxxx（2）1ln1yxx例 2、设2156yxx，求ny【解】 ： （ 1）11113232nnnyyxxxx（ 2）12313131233uxuxuxx11.12 .31!3nnnnunxnx同理11121!22nnnvxvnxx（ 3）111!32nnnnnnyuvnxx例 3、设22xyxe，求20y【解】 ： （ 1）2221,2,3.20kxkxueuek22 ,2,.0

10、3,4,.kvxvx vvkn（ 2）0nnnn kkknkyuvc uv202022202219218220 19220 22222!xxxxyxeexexe202222095xexx6、求微分： 1）用上述步骤求出y x。 2）写出微分公式dyyx dx，再将yx代入。如求0 xxdy，则00 xxxxdyyxdx。例 1、设0ln sin,1, 2xxyxedydy求【解】： （1）ln ,sinxyu uxe（2）coscoslnsinsinxxxxxexeyuxeuxe（3）cossinxxxedyy dxdxxe（4）00cos2sinxxxxxedydxdxxe7、微分的近似计算

11、：1）将x化成0 xx， （x为一很小的数） ，再设fx。 2 ）求出fx，进而求出0fx。 3）写出近似公式000fxfxxfxfxx进而将0,xx代入进行计算。 4）如有现成近似计算公式，则可不必操作2） ，3） 。例 1、求lg9981lg0.4343ln10e【解】： （1）099810002,1000,2,lgxxxfxx（2）0100011lg,0.0004343ln10ln10 xfxxfxxx（3）000fxfxxfxfxxlg998lg10000.0004343230.00086862.9991314例 2、求3996【解】： （1）利用公式：x很小时，11nxxn（2）33

12、3414996100041011019.9871000310008、求切法线方程： （1）写出切点。（2）求出yx，写出k切=0 xxyx，或00,xxyykyx切（此为隐函数形式）或0t tky t切（此为参数方程形式） 。（3）写出切法线公式：切线：00yykxx切k法线：001yyxxk切0k。若k切，则切线：0 xx；法线：0yy若0k切，则切线：0yy；法线：0 xx例 1、求2yx在1x处切法线方程【解】： （1）2111xy，故切点坐标为1,1（2）211222xxyxxkyx（3）切线：00121yykxxyx切法线：0011112yyxxyxk切例 2、求232xy在1x处切

13、法线方程【解】： （1）31211xy，故切点坐标为1,1（2）此为隐函数求导：23222303xxyxy yyy00,1,12233x xyyxyxkyxy切（3）切线：002113yykxxyx切法线：0013112yyxxyxk切三、应用题1、分段函数在分段点处的连续性与可导性： 1 ）改写函数，写出其在分段点处的函数值。 2 ）连续性：（1）分别求出00lim; limxxxxfxfx。（2）验证0000lim; limxxxxfxfxfxfx是否同时成立。（3）若成立则函数在分段点处连续，有一式不成立就间断。3）可导性：（1）求出00000000lim;limxxxxfxfxfxfx

14、fxfxxxxx。（2）验证00fxfx成立否？成立可导，不成立则不可导。例 1、设函数ln 1101101xxfxxxx，讨论其在0 x处的连续性与可导性【解】： （1）ln 110001101xxfxxxx（2）连续性： 1）00limlim ln 1ln100 xxfxxf00limlim1100 xxfxxxf00limlim0 xxfxfxf所以fx在0 x处连续。（3）可导性： 1）0000limxxfxfxfxxx000ln 10limlim0 xxfxfxfxx00型，利用等价无穷小0lim1xxx0000limxxfxfxfxxx000110limlim0 xxfxfxxfx

15、x00型，含根式，根式有理化022lim00211xxffxxx所以fx在0 x处可导。 2 、实际应用题：1）根据已知条件建立数学模型。 2）根据要求求出所需结果。例题：参见上课笔记三、证明题1、根的存在性：1）先设函数：将所证结论里的换成x，再将方程整理使其右边为0，左边的表达式即为辅助函数f x。或直接将已知条件中要证的方程整理使其右边为0，左边的表达式即为辅助函数f x。 2）写出区间,a b：即结论中的取值范围，注意必须写成闭区间。 3）说明：f x在,a b上连续。（无需证明） 。 4）验证：0f af b。 5）必须说明由“零点存在定理”知。 。 。 。 。 6）若要证根唯一：证

16、f x单调性。例 1、设( )f x在 , a b上连续且恒为正，证明：对任意1212,( , )()x xa bxx必存在一点12(,)x x，使得12( )() ()ff xf x【证明】：1）1212( )()(),()()ff xf xx fxf xf x换成移项1212() ()0()()fxf xf xf xfxf xf x 2 ）区间取为12,x x，因为fx在,a b上连续，所以fx也在,a b上连续，而1212,( , )()x xa bxx，所以( )f x在12,x x上也连续。3）因为( )f x在 , a b上恒为正，所以有1112112()()()()()()()f

17、 xf xf xf xf xfxf x，2212221()()()()()()()f xf xf xf xf xfxf x于是12112212()()()()()()()()f x f xf xf xf xf xfxf x21212()()()()0f xf xf xf x4）由零点定理：在12(,)( , )x xa b内至少存在，使得12( )( )() ()0fff xf x，即12( )()()ff xf x例 2： 证明方程32cos02xx在0,1有且仅有一个实根。【证明】 :1) 直接设32cos2xf xx 2）,0,1a b，f x在0,1上连续 3）(0)10,(1) 10

18、010ffff, 由零点定理( )f x在0,1上至少存在一个实根； 4)( )3sin0,22xfxf x在(0,1)内单调递增，所以( )f x在(0,1)内有且仅有一个实根。1、罗尔定理：1）找出f x及区间,a b。 2）说明：f x在,a b上连续，在, a b内可导（无需证明） 。3）验证：f af b（必须验证） 。 4）必须说明由“罗尔定理”知。 。 。 。 。例1：设( )f x在10axb上可导，且有1()0f x，证明至少存在一点1(0,)xx内，使( )( )0f xxfx【证明】 :1) 设( )( )f xxf x，区间取为10,x。2）( )f x在10,x上连续

19、，在1(0,)x内可导。3）111(0)0 (0)0,()()0fff xx f x，于是( )f x满足罗尔定理，所以至少存在一点1(0,)xx，使得( )0fx，即( )( )0f xxfx。2、拉格朗日中值定理：若证不等式：1）找出f x及区间,a b。 2）说明：f x在,a b上连续，在,a b内可导（无需证明） 。3）说明由“拉格朗日中值定理”知。 。 。 。 。 4 ）讨论由范围推得不等式成立。若证一表达式恒为常数：1）设该恒等式为f x，区间,a b即为x取值范围。 2）说明：f x在,a b上连续，在,a b内可导（无需证明） 。 3）验证0fx。 4）说明由“拉格朗日中值定理推论”知f xc。 5）在,a b内任取一定值0 x代入f x中求的0cf x，此时求出的c必为要证的等式右边的常数。例 1：设02时，有22tantancoscos【证】 ：1）设( )tanf xx，区间为,。2）( )f x在,上连续，在,内可导3）由拉格朗日中值定理：至少存在(,)，使tantan( )f；又221( )seccosf，于是2tantan1cos。4）由02，于是222111coscoscos所以221tantan1coscos，由