高等数学第三章之中值定理与导数应用部分测试题(附答案)

1、高等数学第三章之中值定理与导数应用部分测试题（附答案）一、单选题（每小题 4 分，共计 20 分）1、设),(),12)(1()(xxxxf则在)1 ,21(内曲线)(xf（）（）单调增凹的；（）单调减凹的；（）单调增凸的；（）单调减凸的。2、已知)(xf在0 x的某个邻域内连续，且0)0(f，2cos1)(lim0 xxfx，则在点0 x处)(xf（）（）不可导；（）可导，且0)0( f；（c ）取得极大值；（）取得极小值。3、设)(xf有二阶连续导数，且0)0( f，1|)(lim0 xxfx，则（）（）)0(f是)(xf的极大值；（）)0(f是)(xf的极小值；（）)0(,0(f是曲线)

2、(xfy的拐点；（）)0(f不是)(xf的极值点。4、设)(xf、)(xg在ba,连续可导，0)()(xgxf，且)()()()(xgxfxgxf，则当bxa时，则有（）（）)()()()(agafxgxf；（）)()()()(bgbfxgxf；（）)()()()(agafxgxf；（）)()()()(afagxfxg。5、)(xf在),(ba内连续，0)()(),(000 xfxfbax， 则)(xf在0 xx处 （）（）取得极大值；（）取得极小值；（）一定有拐点)(,(00 xfx；（）可能取得极值，也可能有拐点。二、填空题（每小题4 分，共计 20 分）1、xxxlnlim0_。2、曲线

3、xxey3的拐点坐标是 _。3、 若xf在含0 x 的ba, （其中ba） 内恒有二阶负的导数， 且_,则0 xf是xf在ba,上的最大值。4、曲线2xey的上凸区间是 _ 。5、123xxy在,内有_个零点。三、计算题（每小题7 分，共计 28 分）1、计算下列极限)1ln(lim2sin0 xxeexxx2、)tan(ln)tan(lnlim0bxaxx3、试确定常数 a与 n的一组数，使得当0 x时，nax与33)1ln(xx为等价无穷小。4、已知xxysin3，利用泰勒公式求)0()6(y。四、（ 8 分） 证明不等式当20 x时，有不等式xxx3sin2tan。五、 （8 分）作半径

4、为 r 的球的外切正圆锥， 问此圆锥的高为何值时， 其体积v最小，并求出该体积最小值。六、（ 8 分） 设eab，证明abba。七、 （8 分）若)(xf在 1 ,0上有三阶导数， 且0) 1()0(ff，设)()(3xfxxf，试证：在)1 ,0(内至少存在一个，使0)( f。高等数学第三章之中值定理与导数应用部分测试题（答案）一、单选题（每小题 4 分，共计 20 分）1、设),(),12)(1()(xxxxf则在)1 ,21(内曲线)(xf（）（）单调增凹的；（）单调减凹的；（）单调增凸的；（）单调减凸的。解析：当)1 ,21(x时，0)(xf，又0)41(414)(xxxf)1 ,21

5、(x)(xf在)1 ,21(上单调减且为凹的。2、已知)(xf在0 x的某个邻域内连续，且0)0(f，2cos1)(lim0 xxfx，则在点0 x处)(xf（）（）不可导；（）可导，且0)0( f；（c ）取得极大值；（）取得极小值。解析：利用极限的保号性可以判定)(xf的正负号：0cos1)(02cos1)(lim0 xxfxxfx（在0 x的某空心邻域）；由0cos1x，有)0(0)(fxf，即)(xf在0 x取极小值。3、设)(xf有二阶连续导数，且0)0( f，1|)(lim0 xxfx，则（）（）)0(f是)(xf的极大值；（）)0(f是)(xf的极小值；（）)0(,0(f是曲线)

6、(xfy的拐点；（）)0(f不是)(xf的极值点。解析：由极限的保号性：0|)(01|)(lim0 xxfxxfx（在0 x的某空心邻域） ；由此0)( xf（在0 x的某空心邻域），)( xf单调增，又由0)0( f，)( xf在0 x由负变正，由极值第一充分条件，0 x是)(xf的极小点。4、设)(xf、)(xg在ba,连续可导，0)()(xgxf，且)()()()(xgxfxgxf，则当bxa时，则有（）（）)()()()(agafxgxf；（）)()()()(bgbfxgxf；（）)()()()(agafxgxf；（）)()()()(afagxfxg。解析：由0)()()()()()(

7、)()(xgxfxgxfxgxfxgxf)()(0)()(xgxfxgxf单调减少，),(bax)()()()(bfafxgxf. 5、)(xf在),(ba内连续，0)()(),(000 xfxfbax， 则)(xf在0 xx处 （）（）取得极大值；（）取得极小值；（）一定有拐点)(,(00 xfx；（）可能取得极值，也可能有拐点。解析：3)(xxf，则0)0()0( ff，0 x是3)(xxf的拐点；设4)(xxf，则0)0()0( ff，而0 x是4)(xxf的极值点。二、填空题（每小题4 分，共计 20 分）1、xxxlnlim0_0_。解析：0)(lim11lim1lnlimlnlim

8、02000 xxxxxxxxxxx2、曲线xxey3的拐点坐标是 _)32,32(2e_。解析：)31 (3333xexeeyxxx，)32(9)69(3)31(33333xexeexeyxxxx令320 xy，当32x时，0y；当32x时0y而当32x时，232ey拐点为)32,32(2e3、 若xf在含0 x 的ba, （其中ba） 内恒有二阶负的导数， 且_0)(0 xf_,则0 xf是xf在ba,上的最大值。解析：0)(lim)()(lim)(000000 xxxfxxxfxfxfxxxx0)(0 xxxf当0 xx时，)(, 0)(0 xfxf单调增加； 当0 xx时，)(,0)(x

9、fxf单调减少4、曲线2xey的上凸区间是 _)22,22(_。解析：22)2(2,22xxexyxey令220 xy，当)22,22(x时，0y，上凸，其它区间0y，上凹，故应填入)22,22(。5、123xxy在,内有_1_ 个零点。解析：0232xy，y在),(上单调增加又yxlimyxlim.在),(内有 1个零点。三、计算题（每小题7 分，共计 28 分）1、计算下列极限)1ln(lim2sin0 xxeexxx解：613cos1limsinlim) 1(lim)1ln(lim20303sinsin02sin0 xxxxxxeexxeexxxxxxxxx2、)tan(ln)tan(l

10、nlim0bxaxx解：bbxaxaaxbxbbxbxaaxaxbxaxxxx)(sec)tan()(sec)tan(lim)(sec)tan(1)(sec)tan(1lim)tan(ln)tan(lnlim22022001)(sec)(seclim220bbxaxaaxbxx3、试确定常数 a与 n的一组数，使得当0 x时，nax与33)1ln(xx为等价无穷小。解：1)1 (3lim313lim)1ln(lim36023210330 xxanxxxanxxxaxnxnxnx6n，2113aan4、已知xxysin3，利用泰勒公式求)0()6(y。解：泰勒公式)(!)0(! 2)0()0()

11、0()()(2nnnxoxnfxfxffxf而)()!12() 1(! 5! 3sin212153mmmxomxxxxx! 5! 3sin8643xxxxxy对比6x的导数有：120! 3!6)0(! 31! 6)0()6()6(ff四、（ 8 分） 证明不等式当20 x时，有不等式xxx3sin2tan。证明：令xxxxf3sin2tan)(在)2,0(x时03coscoscos133coscoscos13cos2sec)(3222xxxxxxxxxf0)(xf，)(xf在)2,0上单调增)2,0(x)0()(fxf即xxx3sin2tan五、 （8 分）作半径为 r 的球的外切正圆锥， 问

12、此圆锥的高为何值时， 其体积v最小，并求出该体积最小值。解：设圆锥的高为h，底面圆半径为r，则有比例关系rhhrrhrrhrh22222rhrhhrv23131222)2(rh222222)2()42(31)2()2(231rhhrhhrrhrhrhhrdhdv令0dhdv唯一驻点rh4所以，当rh4时，体积最小，此时32238241631rrrrrv六、（ 8 分） 设eab，证明abba。证明：baabbaablnln令xaaxxflnln)(，则)(xf在,ba上连续0ln)(xaaxf,bax)(xf在,ba上单调增加，)()(afbf得0lnlnlnlnaaaabaab，即abba七、 （8 分）若)(xf在 1 ,0上有三阶导数， 且0) 1()0(ff，设)()(3xfxxf，试证：在)1 ,0(内至少存在一个，使0)( f。证明：由题设可知)( ),(),( ),(xf