高考导数极值点偏移练习题

1、高考导数极值点偏移练习题1已知函数2xxearfxa.（1）试确定函数fx的零点个数；（2）设1x，2x是函数fx的两个零点，证明：122xx.【分析】（1）由( )0fx =得2xax e，然后利用导数求出2xg xx e的单调性即可（2）设121xx 得1x；由( )0gx得1x，函数g x在,1单调递增，函数g x在()1,+?单调递减 . 当1x时，函数g x有最大值，max1gxge，又当2x时，0g x，20g，当2x时，0g x，当ae时，函数fx没有零点；当ae或0a时，函数fx有一个零点；当0ae时，函数fx有两个零点 . （2）由（ 1）知0a，不妨设121xx 0, 故当

2、 x (,0)时,f(x)0, 所以函数f(x)在(,0)上单调递减 ,在(0,+ )上单调递增 ; 当 a1 即 a12时,ln(2a)0, 故当 x (,0),(ln(2a),+ )时,f(x)0,f(x)递增 ,当 x(0,ln(2a)时,f(x)0,f(x)递减 ; ii 当 02a1 即12a0 时,ln(2a)0,f(x)递增 ,当 x(ln(2a),0)时,f(x)0,f(x)递减 ; iii 当 2a=1 即 a12,ln(2a)=0,f(x) 0,f(x)在 r 上递增 ; (2)函数 f(x)=x(ex+2a),由(1)可知 : 当 a=0 时,函数 f(x)=(x1)ex

3、只有一个零点,不符合题意 ; 当 a12时,f(x)的极大值为f(0)=1,f(x)极小值为(ln(2 )(0)1faf, 故最多有一个零点,不成立 ; 当12a0 时 ,f(x)的极大值为f(ln(2a)=ln(2a)1eln(2a)+aln2(2a)=aln2(2a)2ln(2a)+2=a(ln(2a)1)2+10,函数 f(x)在( ,0) 上单调递减 ,在(0,+ )上单调递增 . 又 f(0)=1,f(1)=a0,故( )f x 在(0,1)存在一个零点x2, 因为 x0,所以 x10,0exx1, 所以 f(x)ax2+x1, 取 x01142aa,显然 x00, 所以 f(x0)

4、f(0)0,故( )fx 在(x0,0)存在一个零点x1, 因此函数f(x)有两个零点 ,且 x10 x2, 要证 x1+x20,即证明 x1x2f(x2)即可 , 令 g(x)=f(x)f( x),x0, g(x)=x(ex+2a)xex2ax=x(exex)0, 所以 g(x)在0 +，上单调递增 , 又 g(0)=0,所以 g(x)0, 故 f(x1)=f(x2)f(x2)成立 , 即 x1+x20 成立 . 7已知函数21( )ln()2f xxxmxx mr.（1）若函数( )f x 在(0,)上是减函数，求实数m的取值范围；（2）若函数( )f x 在(0,)上存在两个极值点1x，

5、2x，且12xx ，证明：12lnln2xx.分析： （1）由题意得出( )ln0fxxmx在定义域(0,)上恒成立，即maxln()xmx，设ln( )xh xx，则21ln( )xh xx，由此利用导数求得函数单调性与最值，即可求解；（2）由（ 1）知( )lnfxxmx，由函数( )f x 在(0,)上存在两个极值点1x，2x，推导出 12lnlnxx112212(1) ln1xxxxxx，设12(0,1)xtx，则12(1) lnlnln1ttxxt，要证12lnln2xx，只需证2(1)ln01ttt，构造函数2(1)( )ln1tg ttt，利用导数求得函数的单调性与最值，即可作出

6、求解. 详解： （1）21ln2fxxxmxx mr在0,上是减函数，ln0fxxmx在定义域0,上恒成立，maxlnxmx，设lnxh xx，则21lnxhxx，由0hx，得0,xe，由0hx，得xe，函数h x在0,e上递增，在, e上递减，max1h xh ee，1me. 故实数m的取值范围是1,e. 证明： （2）由（ 1）知lnfxxmx，函数fx在0,上存在两个极值点1x，2x，且12xx，112200lnxmxlnxmx，则12121212lnlnlnlnxxmxxxxmxx，12121212lnlnlnlnxxxxxxxx，12112122lnlnlnxxxxxxxx11221

7、21ln1xxxxxx，设120,1xtx，则121lnlnln1ttxxt，要证12lnln2xx，只需证1ln21ttt，只需证21ln1ttt，只需证21ln01ttt，构造函数21ln1tg ttt，则222114011tgtttt t，21ln1tg ttt在0,1t上递增，10g tg，即21ln01tg ttt，12lnln2xx. 8已知函数2112xfxeax有两个极值点12,x x(e为自然对数的底数).(1)求实数a的取值范围 ;(2)求证 :12ln2xxa【分析】(1)求导后得出xfxeax,由题参变分离再构造函数求构造函数的单调性与取值范围即可 . (2)利用极值点

8、表示出a与12,xx的关系 ,再将12ln2xxa中的a代换 ,构造函数再换元证明不等式即可 . 【详解】(1)由2112xfxeax,得xfxeax, 由题意知函数fx有两个极值点,0fx有两个不等的实数解. 即方程(0)xeaxx有两个不等的实数解. 即方程0()xeg xxx有两个不等的实数解. 设0()xeg xxx,则21xxegxxg x在(,0)上单调递减 ,0,1上单调递减 ,(1,)上单调递增 , 作出函数图象知当ae时 ,直线ya与函数g x有两个交点 , 当且仅当ae时fx有两个极值点,综上所述 ,ae. (2)因为12,x x是fx的两个极值点,12xx, 12120,

9、0 xxeaxeax-,1212xxeeaxx-故要证122xxlna,即证122xxea,即证1212212xxxxeeexx-,即证12122121xxxxeexx-不妨设12xx,即证1202x xt,即证2210tttee设210ttf tteet,则21tfe tet, 易证1,0tteft,所以f t在(),0-上递减 .00f tf, 得证2210tttee.综上所述 :122xxlna成立 , 9 已知函数( )xaxbf x =e（ e为自然对数的底数）在1x处的切线方程为0exye.（1）求实数a，b的值；（2）若存在不相等的实数1x，2x，使得12()()fxf x，求证

10、：120 xx.【分析】（1）求出导函数，根据( 1)0( 1)ffe即可求得实数a，b的值； （2）根据导函数求出fx的单调区间， 通过构造( )()( )g xfxf x，研究g x的变化即可证明当12()()f xf x时，有120 xx。【详解】因为( )xaxbf xe，所以2()( )xxxxaeaxb eabaxfxee（1）因为函数( )f x 在1x处的切线方程为0exye，所以( 1)0( 1)ffe，所以110abeabaee，解得11ab（2）由（ 1）可知，( )xxfxe. 当x变化时，( )fx，( )f x 的变化情况如下表：x(,0)0 (0,)( )fx+

11、0 - ( )f x单调递增1 单调递减不妨设12xx ，因为12fxfx，所以120 xx，则10 x. 记( )()( )g xfxf x，即1( )(1)xxxg xx ee，所以21( )(1)xxxxxxxxexxg xex exeeee. 当x变化时，( )gx，g( )x的变化情况如下表：x(,0)0 (0,)( )gx+ 0 - g( )x单调递增0 单调递减所以1(0)0g xg，故11fxfx.所以12 fxfx. 因为( )f x 在(0,)上为减函数，所以12xx，故120 xx. 10已知函数( )(1)xf xaxe，ar，（1）当1a时，求函数( )f x 的最小

12、值（2）当12a时，对于两个不相等的实数1x，2x，有12()()f xfx，求证：122xx【分析】（1）先由1a得( )(1)xf xxe，对函数求导， 用导数的方法研究其单调性，即可求出最值；（2）先由12a，得到1( )(1)2xf xxe，对函数( )f x 求导，得到其单调区间，再设121xx ，令211( )( )(2)(1)(2)1,122xxg xf xfxxexex，用导数的方法研究函数( )g x的单调性，进而可证明结论成立. 【详解】（1）当1a时，( )(1)xf xxe，( )(2)xfxxe，由( )0fx得2x；由( )0fx得2x；( )f x 在(, 2)上

13、单调递减，在( 2,) 上单调递增，min21( )( 2)f xfe. （2）当12a时，1( )(1)2xf xxe，对于两个不相等的实数1x，2x，有12()()fxf x，( )(1)xfxx e，由( )0fx得1x；由( )0fx得1x；( )f x 在(,1)上单调递增，在(1,)上单调递减，不妨设121xx，令211( )( )(2)(1)(2)1,122xxg xf xfxxexex，21( )(1)2xxg xxee，当1x时，10 x，2xx，20 xxee，( )0g x，( )g x在(,1)单调递减，( )(1)(1)(1)0g xgff，即( )(2)0fxfx，

14、因为121xx，则121x，由以上可知11()(2)fxfx，( )f x 在(,1)上单调递增，在(1,)上单调递减，12()()fxfx21()(2)f xfx，又21x，121x，( )f x 在(1,)上单调递减，所以212xx，因此122xx. 11已知函数2( )lnf xkaxx(, k ar且0a).（1）求( )f x 在2,)上的最小值 ;（2）若1a,函数( )f x 恰有两个不同的零点12,x x,求证 :124xx.【分析】（1）求导研究函数单调性，分类讨论极值点与边界点2 的大小关系， 分1a，01a两种情况讨论即得解；（2）转化121222lnlnxxxx为12(

15、1)lntxtt，其中21(1)xt tx，则122142lnlnxxtttt，证明1( )2ln0g tttt即得证 . 【详解】（1）定义域2222(0,)( )aaxfxxxx, 由( )0fx时,2,xa;( )0fx时,20,xa若22a,即1a时 ,( )f x 在2,)上单调递增 ,故( )f x 在2,)的最小值为(2)1ln 2fka; 当01a时,( )f x 在22,a上单调递减 ,在2,a单递增 ,故( )f x 在2,)的最小值为22lnfkaaaa综上 ,当1a时,( )f x 在2,)上的最小值为(2)1ln 2fka;当01a时 ,( )f x 在2,)的最小值

16、为22lnfkaaaa（2）当1a时,不妨设120 xx,1112ln0fxkxx,2222ln0fxkxx,得121222lnlnxxxx,故212212112lnlnlnxxxxxx xx令21(1)xt tx,则12(1)lntttx,12(1)lntxtt, 所以21221(1)lntxxx ttt,故2122121442lnlnlntxxtttttt, 令1( )2lng tttt, 而22212(1)( )10tg tttt,所以( )g t在(1,)上单调递增又1t,所以( )(1)0g tg,而0lnt,故124xx12已知函数21ln2,r2xaxax afx.（1）讨论fx

17、的单调性；（2）若fx在定义域内是增函数，且存在不相等的正实数12,x x，使得123fxfx，证明：122xx.【分析】（1）对fx求导，分12a，112a，1a进行讨论，可得fx的单调性；（2）fx在定义域内是是增函数，由 （1） 可知1a，21ln22fxxxx， 设12xx，可得12321fxfxf，则1201xx，设23,0,1g xfxfxx，对g x求导，利用其单调性可证明122xx. 【详解】解：fx的定义域为0,，因为21ln22axfxxax，所以2121121211212xaxaxaxaxxxxfax，当12a时，令00fxx，得01x，令00fxx，得1x；当112a时

18、，则1121a，令00fxx，得01x，或121xa，令00fxx，得1121xa；当1a时，0fx，当1a时，则10121a，令00fxx，得1121xa；综上所述，当12a时，fx在0,1上递增，在1,上递减；当112a时，fx在0,1上递增，在11,21a上递减，在1,21a上递增；当1a时，fx在0,上递增；当1a时，fx在10,21a上递增，在1,121a上递减，在1,上递增；（2）fx在定义域内是是增函数，由（1）可知1a，此时21ln22fxxxx，设12xx，又因为12321fxfxf，则1201xx，设23,0,1g xfxfxx，则223112 12022xxxgxfxfx

19、xxxx对于任意0,1x成立，所以g x在0,1上是增函数，所以对于0,1x，有12130g xgf，即0,1x，有230fxfx，因为101x，所以11230fxfx，即212fxfx，又fx在0,递增，所以212xx，即122xx. 13已知函数g（x） exax2ax， h（x） ex2xlnx其中 e 为自然对数的底数（1）若 f（x） h（x） g（x） 讨论 f（x）的单调性； 若函数 f（x）有两个不同的零点，求实数a 的取值范围（2）已知 a 0，函数 g（x）恰有两个不同的极值点x1，x2，证明：2124xxlna【分析】（1） 对fx求导 ,分别讨论0a与0a的情况即可；

20、由 若fx有两个不同的零点,则0a,由于当 x0时,f（x） + ；当 x + 时,f（ x） +, 则只需使得( )0minfx即可 ,进而求解；（2）先对g x求导 ,由题可得12122020 xxeaxaeaxa,两式相减可得1212122xxeeaxxxx,转化2124xxlna为12122121xxxxxxee,设120txxt,即证210tttee,进而利用导函数判断单调性证明即可. 【详解】（1）f（x） h（x） g（x） ex 2xlnxex+ax2+axax2+（a2） xlnx（x0）, 2221211122axaxxaxfxaxaxxx（x 0）, （i）当 a0 时,

21、f（ x） 0,函数 f（x）在（ 0,+ ）上递减；（ii）当 a0 时,令 f （x） 0,解得1xa；令 f （x） 0,解得10 xa , 函数 f（ x）在10a，递减 ,在1a，递增；综上 ,当 a0 时,函数 f（x）在（ 0， +）上单调递减；当 a0 时,函数 f（x）在10a，上单调递减 ,在1a，上单调递增 由 知 ,若 a 0, 函数 f（x）在（ 0,+ ）上单调递减 ,不可能有两个不同的零点,故 a0；且当 x0时,f（x）+；当 x+时,f（x）+；故要使函数f（x）有两个不同的零点,只需21121( )()0minaf xfalnaaaa,即110lnaa, 又

22、函数11ylnxx在（ 0,+ ）上为增函数,且11101ln,故110lnaa的解集为（0,1）, 故实数 a 的取值范围为（0,1）（2）证明 : g（x） ex2ax a,依题意 ,则12122020 xxeaxaeaxa,两式相减得,1212122xxeeaxxxx, 因为 a 0,要证2124xxlna,即证1222xxln a,即证1212212xxxxeeexx，两边同除以2xe,即证12122121xxxxxxee, 令 tx1x2（t0） ,即证210tttee, 令210tth tteet,则2212ttth tee, 令212ttp te,则2112tpte, 当 t0

23、时,p （t） 0,所以 p（t）在（ ,0）上递减 , p（t） p（ 0） 0, h （t） 0, h（t）在（ ,0 ）上递减 , h（t） h（ 0） 0,即210tttee, 故2124xxlna. 14已知( )(0,).xfxeaxb abr（1）当1ab时，求函数( )f x 的极值；（2）若( )f x 有两个零点12,x x求证：122ln.xxa【分析】（1）求出( )fx，进而求出( )f x 的单调区间，即可求解；（2）求出( )f x 的单调区间，不妨设12lnxax.要证122lnxxa，即证122lnlnxaxa，( )f x 在(,ln)a单调递减，即证122lnfxfax，又120fxfx，即证2222lnlnfxfaxxa，构造函数( )( )(2ln)(ln)g xf xfaxxa，进而求出( )g x的单调性，即可证明结论；或利用120fxfx，将a用12,x x表示，代入122lnxxa，等价转化为