初等数论教案第八节一次不定方程

1、第八节一次不定方程教学目的： 1、把握一次不定方程的一些简洁性质； 2、把握一次不定方程有解的判别条件；3、会解二元、三元一次不定方程.教学重点：有解的判别条件、求解二元、三元一次不定方程.教学课时： 4 课时教学过程设 a1, a2, an 是非零整数， b 是整数，称关于未知数x1, x2, xn的方程 n2a1x1a2x2anxn = b1是 n 元一次不定方程 .如存在整数 x10, x0, x 0 满意方程 1，就称 x 0, x 0, x0是方2n12nn程1的解，或说 x1 = x10， x2 = x20， xn = x 0 是方程 1的解.1、定理 1方程1有解的充要条件是a1

2、, a2, anb.2证明：记 d = a1, a2, an.如方程 1有解，设为x1, x2, xn.就由 dai（ 1in）及整除的性质简洁知道式2成立.必要性得证 .另一方面，存在整数y1, y2, yn 使得a1y1a2y2anyn = a1, a2, an = d.因此，如式 2成立，就证.证毕y1 ,bbddy2 , b y nd就是方程 1的解，充分性得2、定理 2设 a， b，c 是整数，方程axby = c3如有解 x0, y0，就它的一切解具有xx0b1t的形式，其中 a1a a, b，b1yy0b.a, ba1t， tz4证明： 简洁验证，由式 4确定的 x 与 y 满意

3、方程 3.下面证明，方程3的解都可写成式 4中的形式 .设x, y是方程 3的解，就由ax0by0 = axby = c得到axx0 =byy0，由此，以及a x a, bx0 b y a , by0 .a, a, bb1 a, b0得到b a, b| xx0，因此存在整数t，使得xx 0证毕bt ， yy a , b at . a, b定理 1 和定理 2 说明白解方程 3的步骤： 判定方程是否有解，即a, bc 是否成立； 利用辗转相除法求出x0， y0，使得 ax0by0 = a, b； 写出方程 3的解其中 a,bc1c， a1x x0 c1y y0c1a，b1b1t，tz ，a1tb

4、.a, b a, b3、定理 3设 a1, a2, an, b 是整数，再设a1, a2, an1 = dn1，a1, a2, an = dn，就x1 , x2 , xn 是方程 1的解的充分必要条件是存在整数 t，使得 x1 , x2 , xn , t是方程组a1 x1a2 x2a n 1 xn 1d n 1t的解.d n 1tan xnb5证明： 如有整数 t，使得 x1 , x2 , xn , t是方程组 5的解，就显然x1 , x2 , xn 满意方程 1.设x1 , x2 , xn 是方程 1的解，就a1x1a2x2an1xn1anxn= b.6令a1x1a2x2an1xn1= b

5、，就dn1 = a1, a2, an1b .因此，存在 tz，使得a1x1a2x2an1xn1= dn1t，7再由式 6，得到dn1tanxn= b，即x1 , x2 , xn , t满意方程组 5.证毕定理 3 说明白求解 n 元一次不定方程的方法：先解方程组5中的 其次个方程，再解方程组5中的第一个方程，于是，解n元一次不定方程就化为解n1 元一次不定方程 .重复这个过程， 最终归结为求解二元一次不定方程 .记a1, a2 = d2，d2, a3 = d3，dn2, an1 = dn1，dn1， an = dn，逐个地解方程dn1tn1anxn = b，dn2tn2an1xn1 = dn1

6、tn1，d2t2a3x3 = d3t3，a1x1a2x2 = d2t2，并且消去中间变量t2, t3, tn1，就可以得到方程 1的解.例 1求不定方程 3x6y = 15 的解.解3, 6 = 315，所以方程有解 .由辗转相除法（或直接观看） ，可知 x =1，y = 1 是3x6y = 3的解，所以 x0 =5，y0 = 5 是原方程的一个解 .由定理 2，所求方程的解是x 52ty 5t， tz .例 2求不定方程 3x6y12z = 15 的解.解原方程等价于x2y4z = 5.8由定理 3，依次解方程t4z = 5，x2y = t，分别得到t14uz1u， uz ，9x t2vy

7、tv， vz .10将式9与式10中的 t 消去，得到x 14uy 14uz 1u2vv ， u, vz .注：本例在解方程时，第一将原方程化为等价方程8，这使问题简化.例 1 也可以如此处理 .例 3 设 a 与 b 是正整数， a, b = 1，就任何大于 ab a b 的整数 n 都可以表示成 n = ax by 的形式，其中 x 与 y 是非负整数，但是n = ab a b 不能表示成这种形式 .解 由定理 2，方程axby = n11的解具有x x0y y0btat ， tz12的形式，其中 x0 与 y0 满意方程 11.由假设条件 n > abab 及式11与式12，有ax

8、 = nby = nby0at > ababby0at.13取整数 t，使得0y = y0ata1，就由式 13得到ax > ababba1 =a，x >1，x0， 即 n = axby， x0，y0. 设有 x0， y0，使得axby = abab，14就ax1by1 = ab.15所以 aby1.但是a, b = 1，于是必有ay1，y1a.同理可以证明 x1b，从而ax1by12ab， 这与式 15冲突，所以14式是不行能的 .例 4设 a，b，c 是整数， a, b = 1，就在直线 axby = c 上，任何一个长度大于a 2b2的线段上至少有一个点的坐标都是整数.

9、解由定理 2，直线 axby = c 上的坐标都是整数的点 xt, yt的坐标是xtx0yty0btat ， tz，其中x0, y0是直线 axby = c 上的坐标都是整数的点，由定理1，这样的点是存在的 .对于任意的 tz，记 pt 是以xt , yt为坐标的点，就pt1 与 pt 之间的距离pt 1 pt2xt 1xt2yt 1yta 2b 2.这说明，两个“相邻的”坐标是整数的点的距离是a 2b 2，从而得出所求之结论 .例 5将 19 写成三个分数之和，它们的分母分别是2， 3 和 5.30解设19xyz，30235就15x10y6z = 19.依次解方程5t6z = 19，15x1

10、0y = 5t，得到t16u ， uz，16z 45uxt2v ， vz.17yt3v从式16与式17中消去 t，得到x 16uy 16uz 45u2v3v ， u, vz .取 u = 0， v = 0，得到 x =1， y = 1， z = 4，因此1911430235 .例 6甲物每斤 5 元，乙物每斤 3 元，丙物每三斤1 元，现在用100 元买这三样东西共100 斤，问各买几斤 .解设买甲物 x 斤，乙物 y 斤，丙物 z 斤，就5x3y1 z = 100，3xyz = 100.消去 z，得到7x4y = 100.18明显 x = 0，y = 25 是方程 18的解，因此，方程 18

11、的一般解是x y由于 x0，y0，所以4t257t， tz0t3.即 t 可以取值 t1 = 0，t2 = 1，t3 = 2，t4 = 3.相应的 x，y， z 的值是 x, y, z = 0, 25, 75， 4, 18, 78， 8, 11, 81，12, 4, 84.例 7求不定方程 x2y3z = 7 的全部正整数解 .解依次解方程t3z = 7， x2y = t，t得到z13u2u， uz ，xt2vyv， vz.从上式中消去 t，得到x13u yz2u2vv ， u, vz.19要使 x1，y1， z1，就应有3u2v0， v1，1u0.20所以3u2v2，u12u1，3即 u =

12、 1.由此及式 20，有32v0， v12v1，3所以 v =1.将 u = 1，v =1 代入式 19，得到原方程的唯独的一组正整数解 x = 2， y = 1，z = 1.二、小结三、作业1. 将17 写成三个既约分数之和，它们的分母分别是3， 5 和 7.1052. 求方程 x12x23x3 = 41 的全部正整数解 .3. 求解不定方程组：x1 2 x12 x25x 23x 37 .20x 3114. 甲班有同学 7 人，乙班有同学 11 人，现有 100 支铅笔分给这两个班， 要使甲班的同学分到相同数量的铅笔， 乙班同学也分到相同数量的铅笔，问应怎样分法？5. 证明：二元一次不定方程

13、axby = n，a > 0，b > 0， a, b = 1的非负整数解的个数为 n 或 n 1.abab6. 设 a 与 b 是正整数， a, b = 1，证明： 1, 2, abab 中恰有 a1b21) 个整数可以表示成axby（ x0，y0）的形式 .1. 设17x1053yz ，即 35x21y15z = 17，因35, 21 = 7，7, 15 = 1，57117，故有解 .分别解 5x3y = t，7t15z = 17 得 x =t3u，y = 2t5u， uz ，t = 1115v，z =47v，vz ， 消去 t 得 x =1115v3u，y = 22 30v5u

14、， z =47v，u，vz.对于任意的确定的u 和 v 的值，都给出一种表示法 .2.分别解 x12x2 = t，t3x3 = 41 得 x1 = t2u，x2 = u，uz ，t = 41 3v，x3 = v，vz ，消去 t 得 x1 = 413v2u，x2 = u，x3 = v，u，vz.由此得原方程的全部正整数解为x1, x2, x3 = 413v2u, u, v，u > 0，v > 0，413v2u > 0.3.消去 x1 得 9x214x3 = 3，解得 x2 =914t，x3 =69t，tz，从而得不定方程组的解为x1 = 4355t，x2 =914t，x3 =69t， tz ，4. 设甲、乙班的同学每人分别得x， y 支铅笔，就 7x11y = 100，解这个不定方程得x = 8，y = 4.5. 二元一次不定方程axby = n 的一切整数解为x x0y y0bt ，tz，于at是由 x0， y0 得y0tax0 ，但区间 by0 , ax0 的长度是bn ，故此区间内的ab整数个数为 n 或 n 1.abab6. 由于 0, 1, 2, abab 中共有 a1 b1个数，故只须证明n与 gn（g = abab）有且只有一个能表示成a