初高中数学衔接知识点专题4

1、学习好资料欢迎下载初高中数学连接学问点专题（一） 专题一数与式的运算【要点回忆 】1肯定值1 肯定值的代数意义：即 | a |2 肯定值的几何意义：的距离3 两个数的差的肯定值的几何意义：ab 表示的距离4 两个肯定值不等式: | x |aa0； | x |a a02乘法公式我们在中学已经学习过了以下一些乘法公式：1 平方差公式：；2 完全平方和公式：；3 完全平方差公式：我们仍可以通过证明得到以下一些乘法公式：公式 1 abc 2公式 2a3b3 立方和公式 公式 3a3b3立方差公式说明 :上述公式均称为“乘法公式 ”3根式1 式子a a0 叫做二次根式，其性质如下：1a 2； 2a2；

2、3ab； 4b a2 平方根与算术平方根的概念：叫做 a 的平方根，记作xa a0 ，其中a a0 叫做 a 的算术平方根3 立方根的概念：叫做 a 的立方根，记为x3 a4分式1 分式的意义形如a的式子，如b 中含有字母，且bb0 ，就称a a为分式 当 m 0时，分式具有b b以下性质：（ 1）；（ 2）aamnp2 繁分式当分式的分子、分母中至少有一个是分式时，b就叫做繁分式，如，b 2mnp说明： 繁分式的化简常用以下两种方法： 1 利用除法法就；2 利用分式的基本性质3 分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，

3、化去分母中的根号的过程；而分子有理化就是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程学习好资料欢迎下载【例题选讲 】例 1解以下不等式： （ 1） x21（ 2） x1x3 4例 2运算：（ 1） x22 x1 2（ 2） 1 m1 n1 m21 mn1 n2 35225104（ 3） a2 a2a 44a 216（4） x22xyy2 x2xyy2 2例 3已知 x23x10 ，求 x313 的值x例 4已知a bc0 ，求11a11b11c 的值bccaab例 5运算 没有特别说明，本节中显现的字母均为正数 ：（ 1）3（ 2）231x22x2 x1（ 3）11 ab（ 4）2

4、xx38x 2例 6设 x23 , y23 ，求 x3y3 的值2323学习好资料欢迎下载xx23 x96 xx1例 7化简：（ 1）x1xx1x（ 2）x2279 xx262 x（ 1） 解法一 ：原式 =xxxxxx1x11x1xxxx2xxx2xxx21xxxx1x1x1x1xxxxx1x1解法二 ：原式 =1xxx1xxx2xxxx1 xxxx21xx1（ 2） 解：原式 =x23xx96 xx116x1 x3 x23x9x9x2 23xx3 x3 x32 x32 x312 x1 x3) x323x2 x3 x32 x3 x32 x3说明 ：1 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、

5、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的运算结果应是最简分式或整式【巩固练习 】1 解不等式x3x272 设 x1, y1，求代数式3232x2xyy2xy的值22aba 2b 23 当 3aab2b0a0,b0 ，求b aab的值4 设x51 ，求2x4x22 x1的值学习好资料欢迎下载5 运算 xyzxyz xyz xyz6化简或运算：1132211184222252233352xxxyxxyy(3) xyy2xxyy(4) abab abab ababbabaab学习好资料欢迎下载 各专题参考答案专题一数与式的运算参考答案3 ；如x2 ，不等式可变为x21 ，即x21

6、，x3 例 1 （ 1）解法 1：由 x20，得 x2 ；如 x2 ，不等式可变为x21 ，即 x解得： x1 综上所述，原不等式的解为1解法 2：x2 表示 x 轴上坐标为x 的点到坐标为2 的点之间的距离，所以不等式x21的几何意义即为 x 轴上坐标为x 的点到坐标为2 的点之间的距离小于1，观看数轴可知坐标为x 的点在坐标为3 的点的左侧，在坐标为1 的点的右侧所以原不等式的解为1x3 解法 3： x211x211x3 ，所以原不等式的解为1x3 （ 2）解法一 ：由 x10 ，得 x1 ；由 x30，得 x3 ；如 x1，不等式可变为 x1 x34 ，即2x4 4，解得 x0，又 x

7、1，x 0；如 1x2 ，不等式可变为x1 x34 ，即 1 4，不存在满意条件的x；如 x3 ，不等式可变为 x1 x34 ，即 2x4 4， 解得 x 4又 x3， x 4综上所述，原不等式的解为x0，或 x4解法二 ： 如图，x1 表示 x 轴上坐标为x 的点 p 到坐标为 1 的点 a 之间的距离 |pa|，即 |pa| |x 1|； |x|x3|3|表示 x 轴上点 p 到坐标为 2 的点 b 之间的距离 |pb|，即 |pb| |x 3|所以，不等式x1x3 4 的几何意义即为|pa| |pb| 4由 |ab| 2，pc abd可知点 p 在点 c坐标为 0的左侧、或点p 在点 d

8、坐标为 4的右侧所以原不等式的解为x 0，或 x 4x0134x|x 1|例 2（ 1）解：原式 = x21 22 xx2 22 x 2 1 22x2 2 x2 x21122 xx422 x 38 x 23221x333339说明 ： 多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列1 m3 1 n31m31 n3521258（ 2）原式 = （ 3）原式 = a 24 a 44a 242 a 2 343a 664（ 4）原式 = xy2 x2xyy2 2 xy x2xyy 2 2x3y3 2x62x3 y3y6例 3 解：x23x10x0x13 x2原式 = x1 x211 x1 x1 23

9、333182xxxx例 4 解：abc0,abc, bca ,cabbcacab原式 = abcaabb cca2b 2c2bcacabbcacababc33223abab ab3abcc3abc3abca3b3c33abc，把代入得原式=3abc3abc例 5 解：（ 1）原式 =3233236332323223 x1x22x3 x2（ 2）原式 = | x1| x2| x1x21 1x2说明 ： 留意性质a2| a |的使用：当化去肯定值符号但字母的范畴未知时，要对字母的取值分类争论学习好资料欢迎下载（ 3）原式 =aba2bab2 abab（ 4） 原式 = 22xxx222222 x2

10、 xxx2 2 x3 2 xxx例 6 解： x2323 22743, y743xy14, xy12323原式 = xy x2xyy2 xy xy23xy 1414232702说明 ： 有关代数式的求值问题：1 先化简后求值；2当直接代入运算较复杂时，可依据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化运算量【巩固练习 】14x32133633 或 24 355x4y4z42x2 y22 x2 z22 y2 z26 13,243 ,33xy ,4ba y专题二因式分解答案例 1 分析： 1 中应先提取公因式再进一步分解；2 中提取公因式后，括号内显现66ab，可看着是a 3 2b 3

11、 2 或 a 2 3b2 3 解： 13433223a b81b3b a27b 3b a3b a3ab9b 7666333322222aaba ab a ab ab aabaabb ab aabb a ab ab a 2abb2 a 2abb2 例 2（ 1）分析： 依据原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式解： abc2d 2 a2b 2 cdabc 2abd 2a 2cdb 2 cdabc 2a 2 cd b2cdabd 2 acbcad bd bcad bcad acbd （ 2）分析 ： 先将系数 2 提出后，得到x22 xyy24z2 ，其中前三项作为一

12、组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可连续分解因式解： 2 x24 xy2 y28 z22 x22 xyy24z2 2 xy22 z2 2 xy2 z xy2 z例 5解：x33x24 x313 x23x1x2x13 x1 x1x1 x2x13 x1x1x24x4x1x2 2【巩固练习 】1 1bcad acbd ; 2 x4m2n x2n; 3 x24x8 x24 x8;4 x1x3 x7 ; 5 x2 y2 x2 y 282；3121223 xx1x3x1x4 xx x422其他情形如下： 1 x 22x1 1 x22xx21 x1 x1 ； 1 x 223 x11 x 22

13、xx 22x1 x12 .4 a3a 2cb 2cabcb3a2abb2 abc学习好资料欢迎下载专题三一元二次方程根与系数的关系习题答案例 1 解 ：2 243k1412k ， 1412k01k1 ； 23412k0k1 ；33412k0k； 4 412k0k33例 2 解： 可以把所给方程看作为关于x 的方程，整理得：x2 y2 xy 2y10由于 x 是实数，所以上述方程有实数根，因此： y224 y2y13 y 20y0 ，代入原方程得：x22 x10x1综上知：x1, y0例 3 解： 由题意，依据根与系数的关系得：x1x22, x1 x2200712121 2(1) x 2x 2x

14、x 22x x2222007401811(2)x1x222x1x2x1 x2200720073 x15 x25x1 x25 x1x2 252007522519724| xx | xx 2 xx 24x x2 242007220211212121 2说 明 ： 利 用 根 与 系 数 的 关 系 求 值 ， 要 熟 练 掌 握 以 下 等 式 变 形 ： x 2x 2 xx 22 x x，11x1x2 ， xx 2 xx 24 x x ，| xx| xx 212121 24x x 等等 韦达定理表达了x1x2x1 x212121 212121 2整体思想【巩固练习 】1 a ；2 a ；3 p1

15、,q3 ；4 a3,b3, c0 ；5m1 1 当 k3时，方程为3x10 ，有实根； 2 当 k3 时，0 也有实根 6 1k3 且k 41 ；2k7 专题四平面直角坐标系、一次函数、反比例函数参考答案例 1 解： 1由于 a 、 b 关于 x 轴对称，它们横坐标相同，纵坐标互为相反数，所以x22 ，y13 ，就a 2, 3 、 b 2,3 2由于 a 、 b 关于 y 轴对称，它们横坐标互为相反数，纵坐标相同，所以，x22 ，y13 ，就a 2,3 、 b2,3 3由于 a 、 b 关于原点对称，它们的横纵坐标都互为相反数，所以x22 ，y13 ，就 a2, 3 、b2,3例 2 分析：

16、由于直线过第一、三象限，所以可知k>0 ，又由于b 2，所以直线与y 轴交于（ 0， 2），即可 知 ob 2，而 aob 的面积为2，由此可推算出oa 2，而直线过其次象限，所以 a 点坐标为（ 2，0），由 a 、b 两点坐标可求出此一次函数的表达式；解： b 是直线 y kx 2 与 y 轴交点， b（ 0， 2）， ob 2， 又s aob1 aobo22， ao2又ykx2 ，过其次象限，a2，0把x12， y10代入 ykx2中得 k1， yx2【巩固练习 】1 b2 d2， 2、c8， 2、b6 ， 0 3（ 1） k8 （2）点 p 的坐标是p2，4 或 p 8，1 专题

17、五二次函数参考答案例 1 解： y 3x2 6x 1 3x1 2 4，函数图象的开口向下；对称轴是直线x 1；顶点坐标学习好资料欢迎下载为1， 4；当 x 1 时，函数 y 取最大值y 4；当 x 1 时， y 随着 x 的增大而增大；当x 1 时， y 随着 x 的增大而减小；a 1,4y采纳描点法画图， 选顶点 a 1，4 ，与 x 轴交于点b 233 ,03与 y 轴的交点为d0， 1，过这五点画出图象（如图2 5 所示）和 c 233 ,0 ，3说明： 从这个例题可以看出，依据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，削减了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确例 2分析： 由

18、于每天的利润日销售量y×销售价 x120，日销售量y 又是销售价xc的一次函数， 所以， 欲求每天所获得的利润最大值，第一需要求出每天的利润与销售价x 之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值d 0,1obxx 1解： 由于 y 是 x 的一次函数，于是，设y kx （b），将 x 130， y 70； x 150， y 50 代入方程，有70130kb,50150kb,解得k 1， b 200y x200设每天的利润为z（元），就 z x+200 x120 x2 320x24000 x 1602 1600，当 x 160 时， z 取最大值1600答： 当售

19、价为160 元/件时，每天的利润最大，为1600 元例 3分析： 本例中函数自变量的范畴是一个变化的范畴，需要对a 的取值进行争论解：（ 1）当 a 2 时，函数y x2 的图象仅仅对应着一个点 2， 4，所以，函数的最大值和最小值都是 4，此时 x 2；（ 2）当 2 a 0 时，由图 22 6可知，当x 2 时，函数取最大值y 4；当 xa 时，函数取最小值 ya2；（ 3）当 0a2 时，由图2 26可知，当x 2 时，函数取最大值y 4；当 x 0 时，函数取最小值 y 0；（ 4）当 a2时，由图2 2 6可知，当xa 时，函数取最大值y a2；当 x0 时，函数取最小值y 0yyy

20、y424a2a 2aox 22aoa2 x4 2oa x说明： 在本例中，利用了分类争论的方法，对a 的全部可能情形进行争论此外，本例中所争论的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来争论，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题例 4（ 1）分析： 在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件 最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a解： 二次函数的最大值为2，而最大值肯定是其顶点的纵坐标，顶点的纵坐标为2又顶点在直线y x 1 上，所以，2x 1， x 1顶点坐标是 （1，2）设该二次函数的解析式为ya x2 21a0

21、，二次函数的图像经过点（3， 1），1a32 21 ，解得 a 2二次函数的解析式为y2 x2 21 ，即 y 2x2 8x 7说明： 在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并奇妙地利用条件简捷地解学习好资料欢迎下载决问题（ 2） 分析一 ：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x 轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式解法一： 二次函数的图象过点 3，0， 1， 0，可设二次函数为y ax 3 x 1 a0，绽开，得y ax2 2ax 3a

22、， 顶点的纵坐标为12a 24a4a 24a ，由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离11231232， | 4a|2，即 a所以，二次函数的表达式为y2xx，或 y22xx22分析二 ： 由于二次函数的图象过点 3， 0， 1， 0，所以，对称轴为直线x 1，又由顶点到x 轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或 2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点 3， 0，或 1， 0，就可以求得函数的表达式解法二 ：二次函数的图象过点 3， 0， 1，0，对称轴为直线x 1又顶点到x 轴的距离为2，顶点的纵坐标为2，或 2于是可设二次函数为y ax 12 2，或 y ax

23、12 2，由于函数图象过点 1， 0， 0a1 12 2，或0 a1 12 2 a 12，或 a 12所以，所求的二次函数为y 122 2，或 y 1x 1222x 1说明： 上述两种解法分别从与x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，挑选恰当的方法来解决问题（ 3） 解： 设该二次函数为y ax2 bx ca0由函数图象过点 1， 22， 0， 8， 2， 8，可得22abc8c解得a 2， b 12， c 8所以，所求的二次函数为y 2x2 12x884a2bc【巩固练习 】1（ 1） d（ 2） c（ 3） d2（ 1）

24、y x2x 2（2） y x22x 33（ 1） y22x2 x1 （ 2） y4x1 234x28x1 （ 3） y1 x3 x51 x22 x3 （ 4） y12x32125x3 x555222x,0x2,4x,2x4,x4,4x6,8x,6x8.4当长为6m，宽为 3m 时，矩形的面积最大y5（ 1）函数 （fx）的解析式为y2o（ 2）函数 y 的图像如下列图（ 3）由函数图像可知，函数y 的取值范畴是0y22468x专题六二次函数的最值问题参考答案例 1 分析 ： 由于函数y2 x23x5 和 y2x3x4 的自变量x 的取值范畴是全体实数，所以只要2确定它们的图象有最高点或最低点，

25、就可以确定函数有最大值或最小值解 ：（ 1）由于二次函数y2 x 23x5 中的二次项系数2 0，所以抛物线y2 x3 x5 有最低点，即函学习好资料欢迎下载数有最小值由于49 8y2x 23x5 = 2x3 2449 ，所以当x832时，函数y42 x3 x5 有最小值是22（ 2）由于二次函数yx23 x4 中的二次项系数-1 0，所以抛物线y2x3 x4 有最高点，即函数有最大值由于y25 4x3x4 =x3 2225，所以当x43时，函数y2x3x4 有最大值例 2 解： 作出函数的图象当x1 时，ymin1 ，当 x2 时，ymax5 说明： 二次函数在自变量x 的给定范畴内，对应的图象是抛物线上的一段那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值依据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范畴的图象外形各异下面给出一些常见情形：例 3 解： 作出函数yx2xx22 x 在 x0 内的图象可以看出：当x1 时，ymin1 ，无最大值所以，当x0 时，函数的取值范畴是y1 例 5 解 ： 1