初高中衔接数学学习必备的知识与技能【共七讲含配套练习与答案】

1、初高中连接必备的数学学问与技能七讲含配套练习及答案目录第一讲数与式的运算1第一讲习题答案6其次讲因式分解7其次讲因式分解答案13第三讲一元二次方程根与系数的关系13第三讲一元二次方程根与系数的关系习题答案19第四讲不 等 式19第四讲不等式答案25第五讲二次函数的最值问题26第五讲二次函数的最值问题答案28第六讲简洁的二元二次方程组29第六讲简洁的二元二次方程组答案33第七讲分式方程和无理方程的解法34第七讲分式方程和无理方程的解法答案39本站资源汇总优秀资源，值得保藏. 错误！未定义书签；第一讲数与式的运算在中学， 我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式

2、简 称为数与式 代数式中有整式 （多项式、 单项式）、分式、根式 它们具有实数的属性，可以进行运算 在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使 多项式的运算简便由于在高中学习中仍会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式 的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，常常会接触到被开方数是字母的情形，但在中学却没有涉及，因此本节中要补充基于同样的缘由，仍要补充“繁分式”等有关内容一、乘法公式【公式 1】 abc 2a2b2c22ab2bc2ca证明 ：

3、abc 2abc 2ab22abcc 2a 22abb 22ac2bcc 2 a 2b 2c 22ab2bc2ca等式成立【 例 1】运算：解 ：原式 = x 2 x22 x2 x1 231 23 x2 22x 2 1 232 x2 2) x2 x 2132132 x4382x22 xx3221x39说明 ：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列【公式 2】 aba 2abb 2 a3b 3 立方和公式 证明 :aba 2abb 2 a 3a 2bab2a 2bab 2b3a 3b3说明 :请同学用文字语言表述公式2.【 例 2】运算： aba 2abb2 解 ：原式 = ab a2

4、abb 2 a3b 3a 3b3我们得到：【公式 3】 ab a 2abb 2 a3b3 立方差公式 请同学观看立方和、立方差公式的区分与联系，公式1、2、 3 均称为 乘法公式 【 例 3】运算：（ 1） 4m164mm2 1（ 2） m5112nm 22511mn104n 2 （ 3） a2 a2a 44a 216（ 4） x22xyy 2 x2xyy2 2解：（ 1）原式 = 4 3m31364m3131313（ 2）原式 = m5n 2mn1258（ 3）原式 = a24a 44a242 a 2 343a 664（ 4）原式 = xy2 x2xyy2 2 xy x2xyy 2 2x 3

5、y3 2x62x 3 y3y6说明 ：（ 1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观看代数式的结构是否满意乘法公式的结构（ 2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、 20 的平方数和1、2、 3、4、10 的立方数，是特别有好处的【 例 4】已知 x23 x10 ，求x31x3的值解 ：x23x10x0x13 x原式 = x1 x 211 2xx2x1 xx1 23x33 2318说明 ：此题如先从方程x3x10 中解出 x 的值后，再代入代数式求值，就运算较烦琐此题是依据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法运算，简化了运算 请留意整体代换法此题的解法，表达了“正难就反”的解题策略，依

6、据题求利用题知，是明智之举【 例 5】已知 abc0 ，求11a11b11c 的值bccaab解 ：abc0,abc, bca , cabbcacab原式 = abcbcacaba abbcca 2b 2c 2bcacababca3b3 ab ab 23abcc23abc33abca 3b3c 33abc，把代入得原式=3abc3 abc说明 ：留意字母的整体代换技巧的应用引申 ：同学可以探求并证明：a3b3二、根式c33abcabca 2b 2c2abbcca式子a a0 叫做二次根式，其性质如下：1a 2aa02a2| a |3ababa0,b04bb aaa0,b0【 例 6】化简以下各

7、式：1322312221x22x x1解： 1原式 = |32|31|233112 原式 = | x1| x2 | x1x22 x3 x2 x1 x21 1x2说明 ：请留意性质a2| a |的使用：当化去肯定值符号但字母的范畴未知时，要对字母的取值分类争论【 例 7】运算 没有特别说明，本节中显现的字母均为正数：3123112ab32xx38x 2解： 1原式 =323323633232322322(2) 原式 =aba bab abab(3) 原式 = 22 xxx222222 x2xxx2 2x3 2 xxx说明 ： 1 二次根式的化简结果应满意：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方

8、数不含能开得尽方的因数或因式2 二次根式的化简常见类型有以下两种：被开方数是整数或整式化简时， 先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；分母中有根式 如323或被开方数有分母如x这时可2将其化为a b形式 如x 可化为2x ，转化为“分母中有根式”的情形化简时，要把分母中的根式2化为有理式， 实行分子、 分母同乘以一个根式进行化简如323化为3232323，其中 23与 23 叫做互为有理化因式【 例 8】运算：(1) ab11abab 2aa(2)aabaab解： 1原式 = 1b 2a 2a2abb2a2ab2b1aa11(2) 原式 =a ab a ab ababab a

9、b 2aab abab说明 ：有理数的的运算法就都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算【 例 9】设 x23 , y23 ， 求 x3y3 的值23232323 2解： x23223743, y743xy14, xy1原式 = xyx2xyy 2 xy xy23xy 1414232702说明 ：有关代数式的求值问题：1 先化简后求值；2 当直接代入运算较复杂时，可依据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化运算量三、分式当分式a 的分子、分母中至少有一个是分式时，a 就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方bb法： 1 利用除法法就；2 利用分式的基

10、本性质【 例 10】化简x解法一 ：原式 =x1xx1xxxxxxx1x11x1xxxx2xxx2xxx21xxxx1x1x1x1解法一 ：原式 =xxxx x1x11xxx1xxx2xxxxx x1x xxx21x1说明 ：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，实行通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二就是利用分式的基本性质aam 进行化简一般依据题目特点综合使用两种方法 bbmx23x96xx1【 例 11】化简2262xx279xxx23x96xx116x1解：原式 = x3 x23x9x9x2 23xx3 x3 x32x32 x312 x1x3) x323x2 x3 x32x3 x32x3说

11、明 ：1分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简； 2分式的运算结果应是最简分式或整式练习a组1二次根式a2a 成立的条件是a a0b a0c a0d a 是任意实数2如 x3 ，就96xx2| x6 | 的值是 a b cd 3运算：1 x3 y4z222222a1b21ab a222b(3) abaabbab(4) a4ba 44bab4化简 以下 a 的取值范畴均使根式有意义：3118a2aa4ab3abba4112232315化简：mm212x2 yxy(1) 9m310m252m2mx2x2 y xy0113xxy1如2 ，就b组3 y 的值

12、为 ：xy3a 52运算：xxyy3b 555cd 33111abcabc (2)1233设 x1, y1，求代数式3232x2xyy2 xy的值4当3a2ab2b20a0,b0 ，求aba 2b 2的值baab5设 x 、 y 为实数，且xy3 ，求 xyyx 的值xy1112226已知 ax20, bx19, cx21 ，求代数式abcabbcac 的值2020207设 x51 ，求 x42x22x1的值8绽开 x249运算 x1x2 x3 x410运算 xyzxyz xyz xyz11化简或运算：11311842233222225 21352xxxyxxyyabababbabaab(3)

13、 xyy2xxyy(4) ababab第一讲习题答案a 组1 c2 a222223 1x9 y16z6xy8xz24 yz23a5ab3b4 a2b133a 2b3ab241 a 3416b 342a2 aa2ab 21ab25 mm2xyb 组1 d2 acb2ac ,32233133643, 2523637 358 x48x324x232x169 x410x335 x250x2410x4y4z42x2 y22x2 z22 y2 z243xy113,ba3y其次讲因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形在分式运算、 解方程及各种恒等变形中起着重要的作用是一种

14、重要的基本技能因式分解的方法较多，除了中学课本涉及到的提取公因式法和公式法平方差公式和完全平方公式外，仍有公式法立方和、立方差公式、十字相乘法和分组分解法等等一、公式法 立方和、立方差公式 在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：aba2abb2 a3b3立方和公式 aba2abb2 a3b3立方差公式 由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：a3b3aba2abb2 a3b3 ab a2abb2 这就是说，两个数的立方和差，等于这两个数的和差乘以它们的平方和与它们积的差和运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解【例

15、1】用立方和或立方差公式分解以下各多项式：18x320.12527b3332分析：1中，823 ， 2中 0.1250.53 ,27 b33b3 3解： 18x2x2x42xx 20.12527b30.533b30.53b0.520.5 3b3b 2 0.53b0.251.5b9b2 说明： 1在运用立方和差公式分解因式时，常常要逆用幂的运算法就，如8a3 b32ab3 ，这里逆用了法就ab nan bn ； 2在运用立方和 差 公式分解因式时，肯定要看准因式中各项的符号【例 2】分解因式：(1) 3a 3b81b4(2) a 7ab6分析： 1 中应先提取公因式再进一步分解；2 中提取公因式

16、后，括号内显现a 6b6 ，可看着是 a3 2b3 2 或 a2 3b2 3 解： 13a3 b81b43ba327b3 3ba3b a23ab9b2 2a7ab6aa6b6 aa3b3 a3b3 222a ab a2abb2 aba2abb2 2a ab abaabb aabb 二、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式而对于四项以上的多项式，如mambnanb 既没有公式可用，也没有公因式可以提取因此，可以先将多项式分组处理这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法分组分解法的关键在于如何分组1分组后能提取公因式【例 3】把 2ax10ay5bybx

17、 分解因式分析： 把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x 的降幂排列， 然后从两组分别提出公因式2a 与b ，这时另一个因式正好都是x5 y ，这样可以连续提取公因式解： 2ax10ay5bybx2a x5 yb x5 yx5 y2 ab说明： 用分组分解法，肯定要想想分组后能否连续完成因式分解，由此合理挑选分组的方法此题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试【例 4】把 ab c2d 2 a2b2 cd 分解因式分析： 依据原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式解： abc2d 2 a2b2 cdabc2abd 2a2 cdb2

18、cdabc2a2cd b2 cdabd 2 acbcad bd bcad bcad acbd 说明： 由例 3、例 4 可以看出， 分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了安排律由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用2分组后能直接运用公式【例 5】把 x2y2axay 分解因式分析： 把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是 xy ；把第三、四项作为另一组，在提出公因式a 后，另一个因式也是xy .解： x2y2axay xy xya xy xy xya【例 6】把 2x24xy2y28z2 分解

19、因式分析： 先将系数2 提出后，得到x22xyy24z2 ，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可连续分解因式解： 2x24xy2 y28z22x22xyy 24z2 2 xy 22 z2 2 xy2z xy2 z说明： 从例 5、例 6 可以看出：假如一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解， 并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式三、十字相乘法1 x2 pq xpq 型的因式分解这类式子在很多问题中常常显现，其特点是：(1) 二次项系数是1； 2 常数项是两个数之积；3 一次项系数是常数

20、项的两个因数之和x2 pqxpqx2pxqxpqx xpqxpxp xq因此，x2 pqxpq xp xq运用这个公式，可以把某些二次项系数为1 的二次三项式分解因式【例 7】把以下各式因式分解：1x27 x6(2)x213x36解： 1616,167x27 x6x1 x 6 xx 1 6 23649,4913x21 3x3 6x4 x 9 说明： 此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同【例 8】把以下各式因式分解：1x25 x242x22 x15解： 12438,385x25x2 4x3 x 8 xx 3 8 21553,532x22 x1 5x

21、5 x 3 xx 5 3 说明： 此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中肯定值较大的因数与一次项系数的符号相同【例 9】把以下各式因式分解：(1) x2xy6y22x2x 28 x2x12分析： 1把 x2xy6 y 2 看成 x 的二次三项式， 这常常数项是6 y2 ，一次项系数是y ，把6 y2分解成 3 y 与2 y 的积，而 3 y2 yy ，正好是一次项系数(2) 由换元思想，只要把x2x 整体看作一个字母a ，可不必写出，只当作分解二次三项式a 28a12 解： 1x2xy6 y2x2yx62 x3 y x2y2x2x28x2x12 x2x6 x2x2 x3 x

22、2 x2 x12一般二次三项式ax2bxc 型的因式分解大家知道，a xc a xc a a x2 a ca c xc c1122121 22 11 2反过来，就得到：a a x2a ca c xc ca xc a xc 121 22 11 21122我们发觉，二次项系数a 分解成a1 a2，常数项 c 分解成c1c2 ，把a1, a2 ,c1 , c2 写成 a1a2c1 ，这里按c2斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2a2 c1 ，假如它正好等于ax2bxc 的一次项系数b ，那么ax 2bxc 就可以分解成a xc a xc ，其中 a ,c 位于上一行，a , c 位于下一行11221

23、122这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法必需留意， 分解因数及十字相乘都有多种可能情形，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解【例 10】把以下各式因式分解：112x25x225x26xy8 y2解： 112x25x23x3224x14125x26xy8 y2x2 y5 x4 y12 y54 y说明： 用十字相乘法分解二次三项式很重要当二次项系数不是1 时较困难，详细分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，如原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否 就用加法 ”凑”，先 ”凑”肯定值，然后调整，添加正

24、、负号四、其它因式分解的方法1配方法【例 11】分解因式x26x16解： x26x16x22x3323216x3252 x35 x35x8 x2说明： 这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解当然，此题仍有其它方法，请大家试验2拆、添项法【例 12】分解因式 x33x24分析： 此多项式明显不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行细查式中无一次项，假如它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0 了，可考虑通过添项或拆项解决解：x33x24 x313x23 x1x2x13x1x1) x1 x2x13x1 x1x

25、24x4 x1x22说明： 本解法把原常数4 拆成 1 与 3 的和， 将多项式分成两组，满意系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件此题仍可以将3x2 拆成 x24 y2，将多项式分成两组 x3x2 和4 x24 一般地，把一个多项式因式分解，可以依据以下步骤进行：(1) 假如多项式各项有公因式，那么先提取公因式；(2) 假如各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；(3) 假如用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法如十字相乘法 来分解；(4) 分解因式，必需进行到每一个多项式因式都不能再分解为止练习a 组1把以下各式分解因式：1a32728m3327 x3813133

26、311331 c3864125216274pq58xy6x y2把以下各式分解因式：1xy3x42xn 3xn y33a2 mn3a2 b34y2 x22x 3y223把以下各式分解因式：1x23 x22x237x363 x11x264x26 x275m24 mn5n 26ab211ab282a n 2a n 1 b6a nb23 x22x2956 x27x368x226xy15y24把以下各式分解因式：1ax510ax416ax34x47 x21877ab25ab286x27x2252 x135x215x2xy6 y224322245把以下各式分解因式：13ax3ayxyy 228 x34

27、x22263244a20ab25b3654xy14xy6a ba ba bab67xy2x18x x1y xyxb 组1把以下各式分解因式：(1) abc2d 2 cd a2b2 (2) x24mx8mn4n 23x464(4) x311x231x21(5) x34xy22x2 y8 y32已知 ab2 , ab32 ，求代数式a 2 b2a 2b 2ab2 的值3证明：当n 为大于 2 的整数时，n55n 34n 能被 120 整除4已知abc0 ，求证： a 3a 2 cb2 cabcb30 其次讲因式分解答案1 a23a3a9,2a 组2m42mm ,23x46x29x ,1 2 pq

28、4 p22 pqq2 ,2 xy1 4 x2 y 22 xy1 ,1xy2c x2 y22 xyc4c2 2645525216 x xy y2xyx2 , xn xy x2xyy2 ,22222432a mnb mnbmnb , y x1 x4x3x2x13 x2 x1, x36 x1, x13 x2, x9 x3x9 x3, m5n mn, ab4ab74ax3 x2x8, an a3ba2b, x3x1x22x3, x3 x3x222 2x3 x31 ,x 2yx 4y 1 5 a , b77a2b x1 , x2 21 x 3x55 675 xy3ay,2 x1 2 x1, x35x2

29、y,2 a5b62a5b612xy12xy, abab 2 ab, x31y3 x31y3 , x xy xy11 bcad acbd, x4m2n xb 组2n, x24 x8 x24x8, x12823x3 x7 x , y22x y23 n55n34nn2n1nn1n24 a3a2 cb2 cabcb3 a2abb2 abc第三讲一元二次方程根与系数的关系现行中学数学教材主要要求同学把握一元二次方程的概念、解法及应用， 而一元二次方程的根的判定式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着很多应用本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述一、一元二次方

30、程的根的判定式一元二次方程ax2bxc0 a0 ，用配方法将其变形为：bb 2 x22 a4ac 4 a 2(1) 当 b24 ac0 时，右端是正数因此，方程有两个不相等的实数根：bb24acx2a2b(2) 当 b4 ac0 时，右端是零因此，方程有两个相等的实数根：x1,22a(3) 当 b24ac0时，右端是负数因此，方程没有实数根由于可以用b 24 ac 的取值情形来判定一元二次方程的根的情形因此，把b24ac 叫做一元二次方程ax2bxc0 a0 的根的判别式，表示为：b 24ac【例 1】不解方程，判定以下方程的实数根的个数：12 x23 x1024y2912y35 x236x0

31、解： 13242110 ，原方程有两个不相等的实数根(2) 原方程可化为：4 y212 y901 22449 ，0原方程有两个相等的实数根(3) 原方程可化为：5 x26 x15062451 52 6 ，4 0原方程没有实数根说明： 在求判定式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式【例 2】已知关于 x 的一元二次方程3x22 xk0 ，依据以下条件，分别求出k 的范畴：(1) 方程有两个不相等的实数根；2方程有两个相等的实数根3 方程有实数根；4方程无实数根解：2 243k412k111412k0k；23412k0k；33412k01k；43412k0k1 3【例 3】已知实数 x 、

32、 y 满意 x2y2xy2xy10 ，试求 x 、 y 的值解： 可以把所给方程看作为关于x 的方程，整理得：x2 y2xy 2y10由于 x 是实数，所以上述方程有实数根，因此： y224 y2y13 y20y0，代入原方程得：x22 x10x1 综上知：x1, y0二、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程ax2bxc0 a0 的两个根为：bb2x2a4acbb2, x2a4ac所以： x1x2bb24acbb24acb，2a2aabb24acbb24acb2b24ac24accx1x22a2a2a24a2a定理：假如一元二次方程ax2bxc0 a0 的两个根为x , x ，那么：12x

33、xb , x xc121 2aa说明： 一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发觉，所以通常把此定理称为”韦达定理 ”上述定理成立的前提是0 【例 4】如 x, x 是方程2x2 x20070 的两个根，试求以下各式的值：12xx22112；211；3 x15 x25 ；4| x1x2 |x1x2分析： 此题如直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会显现复杂的运算这里，可以利用韦达定理来解答解： 由题意，依据根与系数的关系得：x1x22, x1x22007(1) x 2x 2 xx 22x x2222007401812121211(2)x1x222x1x2x1 x22007

34、20073 x15 x25x1 x25x1x2 2520075 22519724| xx| xx 2 xx 24x x2242007220211212121 2说明： 利用根与系数的关系求值，要娴熟把握以下等式变形：x 2x 2 xx 22x x ，11x1x2 ， xx 2xx 24x x ，121212x1x2x1 x212121 2| xx| xx 24 x x， x x 2x 2 xx x xx ，12121 21 2121 212x 3x 3 xx 33x x xx 等等韦达定理表达了整体思想12121 212【例 5】已知关于 x 的方程 x2k1x1 k 2410 ，依据以下条件，分别求出k 的值(1) 方程两实根的积为5；