高考数学一轮复习第3讲函数的定义域解析式值域考点讲义含解析

1、函数的定义域、解析式、值域一、函数的定义域定义域特指x的值。 函数题的解答不能不考虑函数的定义域，抛弃函数的定义域解决函数问题没有任何意义。但大部分学生都会忽视这一问题，所以被称为隐形杀手，一定要确立定义域优先的思想。基本解题思路：注意“定义域优先”；不要对解析式化简变形；在解不等式组时要细心、快而准，分类讨论要全面，取交集时需要借助数轴；要注意端点值或边界值能否取到；定义域要用集合或者区间的形式写出；换元法要注意新变量的取值范围；注意对于指数不等式、对数不等式和分式不等式的解法的通用方法。（一）单一函数经过四则运算结合求函数的定义域。1、基本函数定义域的要求：(1) 分式函数，分母不为0；(

2、2) 偶次根式函数的被开方数为非负数； ( 不要忘记等号 ) (3) 一次函数、二次函数的定义域为r；(4)0 x中的底数不等于0； (nx中的底数也不等于0) (5) 指数函数xay定义域为r，对数函数xyalog定义域为0 x； ( 注意0a且1a) (6)xysin、xycos的定义域为r；xytan的定义域为,2|zkkxx；xycot的定义域为,|zkkxx；(7) 实际问题应考虑实际限制。2、剥洋葱原理一层一层交集 ( 同时成立 ) 最后把求定义域转化成解不等式。例 1-1 函数3121)(xxfx的定义域为 ( )。a、0, 3()3,( b、 1 , 3()3,( c、0,3(

3、 d、 1 , 3(【答案】 c 【解析】03021xx，解得03x，故选 c。例 1-2 函数211ln)(xxxxf的定义域为。【答案】 1 ,0(【解析】0111xxx且0 x且012x解得10 x。（二）单一函数与复合函数的相互转换。1、单一到复合，类比联想，整体代入。由)(xfy的定义域为a求)(xgfy的定义域实质是axg)(，求x的取值范围。例 2-1 函数)(xf的定义域为)0, 1(，则函数)12( xf的定义域为。【答案】)21, 1(【解析】0121x，则211x。2、复合到单一，方法：换元法。规避易错点：新变量的取值范围。由)(xgfy的定义域a，求)(xfy的定义域，

4、实质是ax，求)(xg的取值范围，此取值范围就是)(xfy的定义域。实质就是换元法。例 2-2 已知函数)2(xf的定义域是 1 , 1，则函数)(xf的定义域为。【答案】2,21【解析】设tx2，11x，221t，故)(xf的定义域为2,21。3、复合到复合，找到“桥梁”。由)(xgfy的定义域a，求)(xhfy的定义域b，须先求)(xfy的定义域c。例 2-3 若)1(xf的定义域是 2,21，则函数)(2xf的定义域为。【答案】3,2222,3【解析】先求)(xf的定义域，设tx1，221x，321t，即)(xf的定义域为 3,21，再求)(2xf的定义域，3212x，解得223x或32

5、2x。（三）函数定义域逆向性问题。例 3-1 若函数1)(2axxxf的定义域为r，则实数a取值范围是 ( )。a、 2, 2 b、),2( c、)2,( d、)2,2(【答案】 a 【解析】1)(2axxxf的定义域为r，012axx在r上恒成立，即方程012axx至多有一个解，042a，解得22a，则实数a取值范围是 2,2，故选 a。例 3-2 已知函数313)(23axaxxxf的定义域是r，则实数a的取值范围是 ( )。a、)0,12( b、 0,12( c、),31( d、31,(【答案】 b 【解析】313)(23axaxxxf的定义域为r，只需分母不为0即可，0a或0) 3(4

6、02aaa，可得012a，故选 b 。二、函数的解析式（一）已知函数类型，可设参，用待定系数法求解析式。若已知函数形式( 一次函数bkxy，0k；二次函数cbxaxy2，0a；反比例函数xay，0a；指数函数xay，0a且1a；xyalog，0a且1a；幂函数nxy) ，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程( 组) ，通过解方程 ( 组) 求出待定系数，进而求出函数解析式。已知函数图象，也用待定系数法求解析式。如果图象是分段的，要用分段函数表示。例 4-1 已知函数xaaaxf)33()(2是指数函数，则)2(f( )。 a、0 b、2 c、4 d、2a【答案】 c

7、 【解析】)(xf是指数函数，1332aa，即0232aa0) 1()2(aa，解得2a( 可取 ) 或1a( 舍 ) ，xxf2)(，4)2(f，故选 c。 多选 例 4-2已知函数)(xf是一次函数，且34)(xxff，则)(xf的解析式为 ( )。a、32)(xxf b、12)(xxf c、12)(xxf d、32)(xxf【答案】 ac 【解析】设bkxxf)(0k) ，则bkbxkbbkxkbxfkxff2)()()(，342bkbk，解得12bk或32bk，32)(xxf或12)(xxf，故选 ac 。例 4-3 已知二次函数)(xf满足1)0(f，且xxfxf2)()1(，则)(

8、xf的解析式为 ( )。a、1)(2xxxf b、1)(2xxxf c、1)(2xxxf d、1)(2xxxf【答案】 b 【解析】设cbxaxxf2)(，0a，1)0(f，则1c，又xxfxf2)()1(，令0 x，则0)0()1(ff，1)1(f，即1cba，0ba，令1x，则2)1()2(ff，3)2(f，即324cba，12ba，1a，1b，1c，1)(2xxxf，故选 b。（二）方程组法求函数解析式。若出现)(xf与)1(xf的关系式、)(xf与)( xf的关系式或一个奇函数与一个偶函数的关系式，可构造另一个等式，通过解方程组求解。(1) 互为倒数：)()1()(xgxfxf；(2)

9、 互为相反数：)()()(xgxfxf或)()()(xgxfxf()(xf为奇函数，)(xg为偶函数 ) 。例 5-1 已知23)(2)(xxfxf，则)(xf的解析式为 ( )。a、323)(xxf b、323)(xxf c、323)(xxf d、323)(xxf【答案】 b 【解析】联立23)(2)(23)(2)(xxfxfxxfxf，解方程组得323)(xxf，故选 a。例 5-2 已知xxfxf3)1(2)(，则)(xf的解析式为。【答案】xxxf2)(，(0 x) 【解析】联立xxfxfxxfxf3)(2)1(3)1(2)(，解方程组得xxxf2)(，(0 x) 。例 5-3 设)(

10、xf为偶函数，)(xg为奇函数，11)()(xxgxf，求)(xf与)(xg的解析式。【解析】)()(xfxf，)()(xgxg，11)()()()(xxgxfxgxf，与原题中方程联立，解得11)(2xxf(1x、0 x、1x) ，xxxg21)(1x、0 x、1x) 。（三）已知)(xf求复合函数)(xgf，或已知复合函数)(xgf的解析式求)(xf的解析式，可用换元法、配凑法。即令txg)(，反解出x，然后代入)(xgf中求出)(tf，从而求出)(xf，注意新变量的取值范围。例 6-1 已知xxf2) 12(，则)(xf的解析式为。【答案】122)(xxf (1x) 【解析】令12xt，

11、则12tx，122)(ttf，即122)(xxf (1x) 。例 6-2 已知xxxf2)1(，则) 1(xf的解析式为。【答案】xxxf2) 1(2(0 x) 【解析】令1xt，则1t，2)1(tx，1)1(2)1()(22ttttf，1)(2xxf(1x) ，xxxxf21)1()1(22(0 x) 。（四） 代入法： 求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。1、关于点对称：),(11yxa关于点),(00yxb对称的)2,2(1010yyxxa；特殊点：点),(11yx关于原点)0,0(对称的点),(11yxa奇函数。2、关于线对称(1) 特殊线：),(11yxa关于x

12、轴对称),(11yxa；关于y轴对称),(11yxa偶函数；关于xy对称),(11xya反函数；关于xy对称),(11xya。(2) 一般直线：构建等量关系抓两个关键点：垂直和中点。点),(11yxa关于直线0cbyax对称的点),(22yxa， 则baxxyy1212；0221212cyybxxa。例 7-1 函数)(xf关于原点对称且当0 x时，xxxf1)(2，求函数在0 x时的解析式。【答案】xxxf2) 1(2(0 x) 【解析】0 x时)(1)(2xfxxxf，xxxf1)(2。例 7-2 与方程122xxeey(0 x) 的曲线关于直线xy对称的曲线的方程是( )。a、)1ln(

13、xy(0 x) b、)1ln(xy(0 x) c、)1ln(xy(0 x) d、)1ln(xy(0 x) 【答案】 a 【解析】2)1(xey，0 x，1xe，0y，即yex1，)1ln(yx)1ln(xy(0 x) ，故选 a。（五） 赋值法： 当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。例 5-1 已知1)0(f，对于任意实数x、y，) 12()()(yxyxfyxf恒成立，则)(xf的解析式为。【答案】1)(2xxxf【解析】令0 x，则有1) 1(1)(2yyyyyf，再令xy，则1)(2xxxf。三、函数的

14、值域（一）直接法1、观察法： 通过观察如cbaxxf)(，baxxf2)(或axbxf2)(等函数的定义域及性质，结合函数的解析式，应用不等式性质，可直接求得函数的值域。例 6-1 函数xxf323)(的值域为 ( )。a、),0 b、), 1 c、),2 d、), 3【答案】 d 【解析】032x，故3323x，)(xf值域为), 3，故选 d。注意：算术平方根具有双重非负性，即：(1) 被开方数的非负性，(2) 值的非负性。2、利用配方法： 型如cbxaxxf2)(0a) 型或可转化为二次型的函数，用此种方法，注意自变量x的范围。例 6-2 函数xxxf2)(2的值域为 ( )。a、),

15、1 b、),0 c、), 1 d、),2【答案】 a 【解析】1)1()(2xxf，)(xf值域为), 1，故选 a。3、数形结合法：利用函数所表示的几何意义，借助于图象的直观性来求函数的值域，是一种常见的方法，如何将给定函数转化为我们熟悉的模型是解答此类问题的关键。例 6-3 函数2)2(|1|)(xxxf的值域为 ( )。a、),0 b、), 1 c、),2 d、), 3【答案】 d 【解析】原函数化为2, 1221, 31, 12)(xxxxxxf，其图像如图，原函数值域为), 3，故选 d 。注意：分段函数应注意函数的端点，利用函数的图象求函数的值域，体现数形结合的思想，是解决问题的重

16、要方法。例 6-4 在实数的原有运算中定义新运算“”如下：当ba时，aba；当ba时，2bba。设函数)2()1()(xxxxf，2, 2x，则)(xf的值域为 ( )。a、 1, 4 b、6,4 c、0, 1 d、6,0【答案】 b 【解析】由题意知21 , 212,2)(3xxxxxf，即当12x时 1, 4)(xf，即当21x时 6, 1)(xf，当2, 2x，则)(xf的值域为 6, 4，故选 b。（二）利用分离常数法：1、型如baxdcxxf)(时，可化简成baxmkxf)(的格式，分母不为零，ky。例 7-1 函数13)(xxxf的值域为 ( )。a、), 3 1,( b、), 1

17、() 1,( c、), 1()1 ,( d、),2【答案】 c 【解析】141141)(xxxxf，原函数的值域为), 1()1 ,(，故选 c。2、型如fexdxcbxaxxf22)(的函数，可化简成fexdxfkxf2)(的格式，再求值域。例 7-2 函数2211)(xxxf的值域为 ( )。a、0, 1 b、 1 , 1( c、), 1 d、), 2【答案】 b 【解析】1121)1(2)(222xxxxf，112x，21202x，原函数的值域为 1 , 1(，故选 b。（三）利用基本不等式：1、型如kxbxf2)(时，直接应用不等式性质。例 8-1 函数24)(2xxf的值域为 ( )

18、。a、2,( b、2,0( c、 4, 2( d、4,0(【答案】 b 【解析】222x，22402x，)(xf值域为2,0(，故选 b。2、(1) 型如xxxf1)(：若0 x，则2)(xf( 当且仅当xx1即当1x时取“ =” ) ，若0 x，则2)(xf( 当且仅当xx1即1x时取“ =” ) ；(2) 型如xbaxxf)(0a，0b) ：若0 x，则abxf2)( 当且仅当xbax即abx时取“=”) ，若0 x，则abxf2)( 当且仅当xbax即abx时取“ =” ) ；例 8-2 函数xxxf4)(的值域为 ( )。a、),44,( b、),22,( c、),3 1,( d、),

19、0()0,(【答案】 a 【解析】若0 x，442)(xxxf，若0 x，442)(xxxf，)(xf值域为),44,(，故选 a。3、型如bxnmxxxf2)(时，应先应用分离常数法化简成dbxcbxaxf)()(的格式， 再利用均值不等式求值域。例 8-3 函数122)(2xxxxf的值域为 ( )。a、),44,( b、),22,( c、),3 1,( d、),0()0,(【答案】 b 【解析】11) 1(11)1()(2xxxxxf，值域为),2 2,(，故选 b。4、型如nmxxbxxf2)(时，应讨论0 x时)(xf的值域，再讨论0 x化简成mxnxbxf)(型，最后利用均值不等式

20、求值域。例 8-4 函数1)(2xxxf的值域为 ( )。a、),22,( b、), 1 1,( c、),2121,( d、21,21【答案】 d 【解析】当0 x时，0y，当0 x时，xxxf11)(，0 x时21xx，21110 xx，0 x时21xx，01121xx，)(xf的值域为21,21，故选 d 。（四）利用换元法：型如dcxbaxxf)(型，可用此法求其值域。例 9-1 函数xxxf21)(的值域为 ( )。a、 1,( b、21,( c、), 1 1,( d、),2121,(【答案】 b 【解析】法一(换元法 ) ：令xt21，则0t且212tx，则1) 1(2121)(22

21、ttttf，0t，21)(xf，)(xf的值域为21,(，故选 d。法二 ( 单调性法 ) ：容易判断)(xf为增函数，而其定义域应满足021x，即21x，21)21()(fxf，)(xf的值域为21,(，故选 b。（五）利用函数的单调性：若函数)(xf是,ba上的单调增 ( 减) 函数，则)(af、)(bf分别是)(xf在区间,ba上取得最小 ( 大) 值、最大 ( 小) 值。例 10-1 已知0133222xxxx，且满足1yx，则函数xxyz3的值域为 ( )。a、415, 5 b、21, 2 c、)1 , 1( d、),23(【答案】 a 【解析】0132xx，则原式与0322xx同解

22、，解之得231x，又1yx，将xy1代入xxyz3中，得4)2(422xxxz且23, 1x，函数z在区间23, 1上连续且单调递增，故只需比较边界的大小，当1x时，5z；当23x时，415z，函数z的值域为415, 5，故选 a。（六）判别式法：型如22221121)(cxbxacxbxaxf(1a、2a不同时为零 ) 及edxcxbaxxf2)(的函数求值域，通常把其转化成关于x的一元二次方程0),(yxf，由判别式0，求得y的取值范围，即为原函数的值域。例 11-1 函数1)(22xxxxxf的值域为 ( )。a、),2()2,( b、), 1() 1,( c、) 1,31 d、), 1

23、(【答案】 c 【解析】法一(配方法 ) ：111)(2xxxf，又4343)21(122xxx，431102xx，1111312xx，)(xf值域为) 1 ,31，故选 c。法二 (判别式法 ) ：由1)(22xxxxxfy，rx，得0)1() 1(2yxyxy，1y时x，1y，又rx，0) 1(4)1(2yyy，131y，)(xf值域为) 1 ,31，故选 c。（七）反函数法：1、直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例 12-1 函数6543)(xxxf值域为 ( )。a、),53()53,( b、), 1() 1,( c、)1 , 1( d、), 1(【答案】 b 【解析】设6543xxy，则4365xyxyyyx5346，分母不