高考数学一轮复习平面向量第三节平面向量的数量积及其应用教案理(含解析)苏教版-苏教版高三全册

1、. .专心 . 第三节 平面向量的数量积及其应用1向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a和 b，作oaa，obb，则aob就是 a与 b 的夹角设是 a 与 b 的夹角，则的取值范围是 01800或180? ab， 90? a b 2. 平面向量的数量积设两个非零向量a， b 的夹角为， 则数量 |a|b|cos 叫做 a 与 b 的数量积，记作 a b. 3向量数量积的运算律(1)a bb a. (2)(a) b(a b)a (b) (3)(a b) cacbc. 4平面向量数量积的有关结论已知非零向量a(x1，y1) ，b(x2，y2) ，a 与 b 的夹角为. 结论几何表示坐

2、标表示模|a| aa|a| x21y21夹角cos ab|a|b|cos x1x2y1y2x21y21x22y22ab 的充要条件ab0 x1x2y1y20 |a b| 与|a|b|的关系|a b| |a|b|x1x2y1y2| x21y21x22y22. .专心 . 小题体验 1已知 |a| 2，|b| 6，a b 63，则 a 与 b 的夹角为_答案：562已知向量a( 1,3) ，b(1 ，t) ，若 (a2b) a，则 |b| _. 解析：因为a( 1,3) ，b(1，t) ，所以 a2b( 3,3 2t) 因为 (a2b) a，所以(a 2b) a0，即 ( 1)( 3)3(3 2t

3、) 0，即t2，所以b (1,2) ，所以 |b| 12225. 答案：5 3已知两个单位向量e1，e2的夹角为3，若向量b1 e1 2e2，b23e14e2，则 b1b2_. 解析：由b1e12e2，b23e14e2，得b1b2(e12e2) (3 e14e2) 3e212e1e28e22. 因为 e1，e2为单位向量， e1， e23，所以 b1 b232128 6. 答案： 6 1数量积运算律要准确理解、应用，例如，a bac(a 0) 不能得出b c，两边不能约去一个向量2 两个向量的夹角为锐角，则有 ab0， 反之不成立； 两个向量夹角为钝角，则有 ab0，反之不成立3ab0 不能推

4、出a0 或 b0，因为 ab0 时，有可能ab. 4在用 |a| a2求向量的模时，一定要把求出的a2再进行开方 小题纠偏 1给出下列说法：向量 b 在向量 a 方向上的投影是向量；若 ab 0，则 a 和 b 的夹角为锐角，若ab0，则 a 和 b 的夹角为钝角；(a b)c a(b c) ；若 ab 0，则 a 0 或 b 0. . .专心 . 其中正确的说法有_个答案： 0 2已知向量ba 12，32，bc32，12，则abc_. 解析：因为ba12，32，bc32，12，所以babc343432. 所以 cosabcbabc| ba|bc |32，又 0abc180，所以abc30.答

5、案： 303已知平面向量a 与 b 的夹角为3，a(1 ，3) ，|a 2b| 23，则 |b| _. 解析：因为a(1，3) ，所以 |a| 2，又 |a 2b| 23，即 |a|24ab4|b|212，故 2242|b| cos 34|b|212，化简得 |b|2|b| 20，所以 |b| 2. 答案： 2 考点一平面向量的数量积的运算基础送分型考点自主练透 题组练透 1设 a(1 ， 2) ，b( 3,4) ，c(3,2) ，则 (a 2b) c_. 解析：因为a2b (1 ， 2) 2( 3,4) ( 5,6) ，所以 (a2b) c( 5,6) (3,2) 3. 答案： 3 2(20

6、18南京高三年级学情调研) 在abc中，ab3，ac2，bac120，bm bc . 若ambc173，则实数_. 解析：因为bcac ab，amabbmab bcab(acab)(1 )ab ac，abac 23cos 120 3. 所以ambc(1)ab2 ac2(1 2)ab ac19 12173，所以13. . .专心 . 答案：133已知向量a 与 b 的夹角为60，且 a( 2，6) ，|b| 10，则 ab _. 解析：因为a( 2， 6) ，所以 |a| 2262 210，又|b| 10，向量 a 与 b 的夹角为 60，所以 ab |a| |b| cos 60 2101012

7、10. 答案： 10 4如图，在等腰直角三角形abc中，c90，ac2，d为bc的中点，则ab ad _. 解析：法一：由题意知，acbc2，ab22，所以abadab(accd)ab acab cd |ab| |ac|cos 45 |ab| |cd |cos 45 22222221226. 法二：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得a(0,2) ，b( 2,0) ，d( 1,0) ，所以ab( 2,0) (0,2) ( 2，2) ，ad (1,0) (0,2) ( 1， 2) ，所以abad2( 1) ( 2)( 2)6. 答案： 6 谨记通法 向量数量积的2 种运算方法方法运用提示适用题

8、型定义法当已知向量的模和夹角时，可适用于平面图形中的向量数量积. .专心 . 利 用 定 义 法 求 解 ， 即a b |a | | b|cos 的有关计算问题坐标法当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解， 即若 a(x1，y1) ，b (x2，y2) ，则 abx1x2y1y2适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题考点二平面向量数量积的性质题点多变型考点多角探明 锁定考向 平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为填空题常见的命题角度有：(1) 平面向量的模；(2) 平面向量的夹角；(3) 平面向量的垂直 题点全练 角度一：平面向量的模1(2018苏州高三暑假测试) 已知平

9、面向量a(2,1)，ab10，若 |a b| 52，则|b| _. 解析：因为a (2,1) ，所以 |a| 5，又 |a b| 52，所以a22abb250，所以 b225，所以 |b| 5. 答案： 5 角度二：平面向量的夹角2(2018太湖高级中学检测) 已知 |a| 1，|b| 2，且 a(ab) ，则向量 a 与向量b 的夹角为 _解析：因为a(a b) ，所以 a(ab)a2 ab12cosa，b 0，所以 cosa，b22，所以a，b4. 答案：4. .专心 . 3(2019启东中学检测) 已知平面向量， 满足| | 1，且 与 的夹角为 120，则 的模的取值范围是_解析：如图

10、，在abc中，设bc，ba，则acbcba.因为 与 的夹角为120，所以a60.由正弦定理得bcsin abasin c，则ba233sin c又 0sin c1，所以 0ba233，故 的模的取值范围是0，233. 答案：0，233角度三：平面向量的垂直4在平面直角坐标系xoy中，已知向量ab(6,1)，bc(x，y) ，cd( 2，3)，且adbc. (1) 求x与y之间的关系式；(2) 若acbd，求四边形abcd的面积解： (1) 由题意得adabbccd (x4，y2) ，bc(x，y)因为ad bc，所以 (x4)y(y2)x0，即x2y0. (2) 由题意得ac abbc(x

11、6，y1) ，bdbc cd(x2，y 3)因为ac bd，所以 (x6)(x2) (y1)(y3) 0，即x2y24x2y150，联立x2y0，x2y24x2y150，解得x2，y 1或x 6，y3.当x2，y 1时，ac(8,0) ，bd(0 ， 4) ，. .专心 . s四边形 abcd12acbd16；当x 6，y3时，ac(0,4)，bd ( 8,0) ，s四边形 abcd12acbd16. 所以四边形abcd的面积为16. 通法在握 平面向量数量积求解问题的策略(1) 求两向量的夹角：cos a b| a | | b|，要注意0 ， (2) 求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理

12、方法有：a2aa|a|2或 |a| aa. |a b| ab 2a 22abb 2. 若 a(x，y)，则 |a| x2y2. (3) 两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：ab? ab0? |a b| |ab|. 演练冲关 1(2019海安模拟) 已知平面向量a 与 b 的夹角等于3，若 |a| 2，|b| 3，则 |2a3b| _. 解析：由题意可得ab|a | | b|cos 33，所以 |2a 3b| 2a3b24|a|29|b|212ab16813661. 答案：61 2 已知向量 a， b满足 a (4， 3) ， |b| 1， |a b| 21， 则向量 a， b的夹角为

13、 _解析：易知 |b| 1， |a| 5，对|a b| 21两边平方，整理得2ab5，即 2|a|b|cos 5，解得 cos 12，则向量 a，b 的夹角为3. . .专心 . 答案：33 已知向量ab与ac的夹角为 120，且|ab | 3， |ac | 2. 若apabac，且ap bc ，则实数的值为 _解析：bc acab，由于apbc，所以ap bc0，即( abac) (acab ) ab 2ac 2(1)abac 94 (1)32120，解得712. 答案：712考点三平面向量与三角函数的综合重点保分型考点师生共研 典例引领 (2018启东高三期中) 已知向量a(sin x,2

14、)，b(cos x，1) ，函数f(x) ab. (1) 若 ab，求 tanx4的值；(2) 求函数yf x12，x 0，2的最小值和最大值解： (1) 由 ab，得 sin x2cos x所以 tan x2. 所以 tanx4tan x11 tan x 3. (2) 因为f(x) absin xcos x212sin 2x2，所以yf x1212sin2x62. 因为x0，2，所以 2x66，56，从而12sin2x61. .专心 . 于是，当 2x66，即x0 时，函数yf x12有最小值74，当 2x62，即x3时，函数yf x12有最大值52. 由题悟法 平面向量与三角函数的综合问题

15、的解题思路(1) 题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解(2) 给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求值域等 即时应用 已知向量m (3cos x， 1) ，n (sin x，cos2x)(1) 当x3时，求 m n 的值；(2) 若x 0，4，且 m n3312，求 cos 2x的值解： (1) 当x3时， m 32， 1 ，n32，14，所以 m n341412. (2)m n3cos xsin xcos2x32sin 2x12co

16、s 2x12sin2x612. 若 m n3312，则 sin2x6123312，即 sin2x633. 因为x 0，4，所以62x63，所以 cos 2x663，则 cos 2xcos2x66cos 2x6cos6 sin2x6sin66332. .专心 . 33123236. 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2019海门模拟) 向量 a(3,4) 在向量 b(1 ， 1)方向上的投影为_解析：向量a(3,4)，b(1 ， 1) ，向量 a 在向量 b 方向上的投影为|a|cos ab| b|314112 1222. 答案：222(2018江苏百校联盟联考) 已知平面向量a，b 的夹角为2

17、3，且 a(ab)8，|a|2，则 |b| _. 解析：因为a(a b) 8，所以 aaab8，即|a|2|a|b|cosa，b8，所以 42|b | 128，解得 |b| 4. 答案： 4 3(2018苏州期末) 已知 a(m,2)，b(1 ，n) ，m0，n 0，且 |a| 4，|b| 2，则向量 a 与 b 的夹角是 _解析：设向量a 与 b 的夹角是，0 ， ，a(m,2) ， b(1 ，n) ，m 0，n0，且 |a| 4，|b| 2，m2416,1 n24，解得m23，n3. abm2n4342cos ，cos 32，则向量a 与 b 的夹角是6. 答案：64 (2018滨海期末

18、) 已知向量a ( 1,3) ， b(3，t) ， 若 ab， 则|2a b| _. 解析：向量a( 1,3) ， b(3，t) ，ab，ab 33t0，解得t1，. .专心 . b(3,1) ， 2ab (1,7) ，故|2a b| 1 4952. 答案： 52 5(2018淮安高三期中) 在平行四边形abcd中，ab2，ad1，abc60，则ab ac _. 解析：由题意得acab ad，所以abacab (ab ad) ab2ab ad 421cos 120 3. 答案： 3 6(2018南通一调) 已知边长为6 的正三角形abc，bd12bc，ae13ac ，ad与be交于点p，则pb

19、pd的值为 _解析：如图，以d为原点，以bc为x轴，ad为y轴，建立平面直角坐标系，则b( 3,0) ，c(3,0) ，d(0,0) ，a(0，33) ，e(1, 23) ，p0，332，所以pbpd|pd|23322274. 答案：274二保高考，全练题型做到高考达标1(2018淮安调研) 已知向量a(1 ，x) ，b( 1，x) ，若 2ab 与 b 垂直，则 |a|_. 解析：由已知得2ab(3 ，x) ，而 (2a b) b 0? 3x20?x23，所以 |a| 1x242. 答案： 2 2(2019如皋模拟) 已知平面向量a 与 b 的夹角为60， a (3,4) ，|b| 1，则

20、|a2b| _. 解析： a(3,4) ， |a| 32425，又|b| 1， ab |a | | b|cos 60 511252，|a 2b|2a24b24ab2541019，则|a 2b| 19. . .专心 . 答案：19 3(2018苏北四市期末) 已知非零向量a，b 满足 |a| |b| |a b| ，则 a 与 2ab夹角的余弦值为_解析：因为非零向量a，b 满足 |a| |b| |a b| ，所以 a2b2a22a bb2，ab12a212b2， 所以 a(2 a b) 2a2ab52a2， |2a b| 2a b25a24 a b7|a| ，cosa,2a ba2ab|a |

21、|2 ab|52a2|a| 7|a|5275714. 答案：57144(2018泰州中学高三学情调研)矩形abcd中，p为矩形abcd所在平面内一点，且满足pa3，pc4，矩形对角线ac6，则pbpd_. 解析：由题意可得pbpd (paab) (paad) pa2paadab pa abad9pa(adab) 09paac 936cos( pac) 918pa2ac2pc22paac91893616236112. 答案：1125(2018苏锡常镇调研) 已知菱形abcd边长为 2，b3，点p满足ap ab， r，若bdcp 3，则_. 解析：法一：由题意可得ba bc 22cos 32，bd

22、 cp(babc ) (bpbc ) (ba bc) (apab) bc (ba bc) (1)abbc (1 )ba2babc (1)ba bcbc2(1 ) 4 22(1 ) 4 6 3，. .专心 . 所以12. 法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则b(2,0) ，c(1，3) ，d( 1，3) 令p(x,0) ，由bdcp( 3，3) (x1，3) 3x33 3x 3 得x1. 因为ap ab，所以12. 答案：126(2018苏北四市调研) 如图，在平面四边形abcd中，o为bd的中点，且oa3，oc5. 若abad 7，则bcdc_. 解析：bcdc (ocob) (ocod )

23、 (oc od) (ocod) oc2od 2，同理，abadao 2od 2 7，所以bcdcoc2od2oc2ao 279. 答案： 9 7(2019崇川一模) 若非零向量a 与 b 满足 |a| |a b| 2，|b| 1，则向量 a 与 b夹角的余弦值为_解析：非零向量a 与 b 满足 |a| |a b| 2，|b| 1，|a|2|a b|2|a|2|b|22ab，即 ab12|b|2121212，设 a 与 b 的夹角为，则 cos ab|a|b|122114，向量 a 与 b 夹角的余弦值为14. 答案：148(2018盐城期中) 如图，在四边形abcd中，a3，ab2，ad3，.

24、 .专心 . 分别延长cb，cd至点e，f，使得ce cb ，cf cd ，其中 0，若efad15，则的值为 _解析：efcfce cd cb bd(adab) ，efad(adab) ad (ad2abad) (93) 15，52. 答案：529(2019通州调研) 设两个向量a，b 不共线(1) 若ab ab，bc2a 8b，cd3(a b)，求证：a，b，d三点共线；(2) 若|a| 2，|b| 3，a，b 的夹角为60，求使向量kab 与 akb 垂直的实数k的值解： (1) 证明：adabbccd (a b) (2a 8b) 3(a b) 6(a b) 6ab ，ad与ab共线，且

25、有公共点a，a，b，d三点共线(2) kab 与 akb 垂直，(ka b) (akb) 0，ka2(k21)|a|b| cos 60 kb20，即 3k213k 30，解得k131336. 10在四边形abcd中，已知ab9，bc 6，cp2pd. (1) 若四边形abcd是矩形，求ap bp的值；(2) 若四边形abcd是平行四边形，且apbp6，求ab与ad夹角的余弦值解： (1) 因为四边形abcd是矩形，所以ab ad，即abad 0，. .专心 . 又ab9，bc6，cp2pd，所以ap addpad13ab，bp bccpad23ab ，所以ap bpad13abad 23aba

26、d213abad29ab 2622992 18. (2) 设ab与ad的夹角为，由 (1) 得，ap bpad13abad23abad213abad29ab 2621396cos 29926，所以 cos 23. 故ab与ad夹角的余弦值为23. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2018徐州高三年级期中考试)如图，在半径为2 的扇形aob中，aob90，p为ab上的一点，若op oa2，则opab_. 解析：如图，以o为原点，oa所在直线为x轴，ob所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则a(2,0) ，b(0,2) ，设p(x，y) ，由op oa2，可得 2x2，x1，p为a b上的一点，

27、所以 |op | 2，所以p(1 ，3) ，op (1 ，3) ，又ab( 2,2) ，所以opab 223. 答案： 223 2(2018南通、扬州、泰州、淮安调研) 如图，已知abc的边bc. .专心 . 的垂直平分线交ac于点p， 交bc于点 q.若|ab 3，|ac5， 则 (apaq) (abac ) 的值为 _解析：法一：因为apaq qp ， 所以apaq2aq qp，而abaccb，由 于 qpcb， 所 以 qpcb 0， 所 以 (apaq) (abac) (2aqqp ) cb2aq cb，又因为 q是bc的中点，所以2aqabac，故 2aq cb(abac) (aba

28、c ) ab2ac 2925 16. 法二：由题意得abc是不确定的，而最后的结果是唯一的，因此取abbc，从而p为ac的中点又|ab | 3，|ac| 5，所以 |bc | 4，cosbac35，故apaq12ac 12(abac) 12abac，从而 (apaq) (abac ) 12abac(abac) 12ab212abacac 212912353525 16. 答案： 16 3(2019姜堰中学调研) 在锐角abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，向量 m(cos(ab) ，sin(ab) ，n(cos b， sin b) ，且 m n35. (1) 求 sin a的值；(2)

29、 若a42，b5，adbc于d，求baad的值解： (1) 由 m n35，得 cos(ab)cos bsin(ab) sin b35，所以 cos a35. 因为 0a2，所以 sin a1cos2a45. . .专心 . (2) 由正弦定理，得asin absin b，则 sin bbsin aa5454222. 因为 0b2，所以b4，所以 sin csin(ab) 22(sin a cos a) 7210. 又|ad | |ac|sin c57210722，所以ba ad(bdda) ad ad2 |ad|2492. 命题点一平面向量基本定理1(2018全国卷改编) 在abc中，aba

30、，acb，ad为bc边上的中线，e为ad的中点，则eb_.( 用 a， b 表示 ) 解析：由题知eb eaab12ad ab1212abacab 34ab14ac34a14b. 答案：34a14b 2(2018全国卷) 已知向量a(1,2)，b (2 ，2) ，c(1 ，) 若 c(2a b) ，则_. 解析：由题易得2ab(4,2)，因为 c(2a b) ，所以 42，解得12. 答案：123 (2017江苏高考) 如图，在同一个平面内， 向量oa，ob，oc的模分别为1,1 ， 2，. .专心 . oa 与oc的夹角为，且 tan 7，ob与oc的夹角为45. 若ocmoan ob (m

31、，nr)，则mn_. 解析：如图，以o为坐标原点，oa所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则a(1 ，0)，由 tan 7， 0，2，得 sin 752，cos 152，设c(xc，yc) ，b(xb，yb)，则xc|oc |cos 215215，yc |oc|sin 275275，即c15，75. 又 cos(45) 152127521235，sin(45) 752121521245，则xb|ob |cos(45) 35，yb |ob|sin(45) 45，即b35，45. 由ocmoan ob，可得15m35n，7545n，解得m54，n74，所以mn54743. 答案： 3 4(2015江

32、苏高考) 已知向量a(2,1) ，b(1， 2) ，若manb(9 ， 8)(m，nr)，则mn的值为 _解析：因为manb(2mn，m 2n) (9 ， 8) ，所以2mn9，m2n 8，所以m2，n5，所以mn2 5 3. . .专心 . 答案： 3 命题点二平面向量的数量积1.(2016 江苏高考) 如图， 在abc中，d是bc的中点，e，f是ad上的两个三等分点，ba ca 4，bfcf 1，则be ce的值是 _解析：由题意，得bfcf(bd df) (cddf) (bd df) ( bddf ) df2bd2|df |2|bd|2 1，ba ca(bdda ) (cdda) (bd

33、 3df) ( bd3df) 9df 2bd29|df |2|bd |2 4. 由得 |df|258， |bd |2138. 所以be ce(bdde) (cd de) (bd 2df) ( bd2df) 4df2bd24|df |2|bd |245813878. 答案：782(2014江苏高考) 如图，在平行四边形abcd中，已知ab8，ad5，cp3pd，ap bp 2，则abad 的值是 _解析：因为apaddp ad14ab，bp bccpad34ab ，. .专心 . 所以ap bpad14abad 34ab|ad|2316|ab|212ad ab2，将ab8，ad5 代入解得abad22. 答案： 22 3(2018全国卷改编) 已知向量a，b 满足 |a| 1，a b 1，则a(2 ab) _. 解析： a(2 ab) 2a2ab2|a|2ab. |a| 1，ab 1，原式 212