高考数学一轮复习第7讲三角函数考点讲义含解析

1、三角函数一、知识点( 一) 角的概念的推广1、角： 一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。其中顶点，始边，终边称为角的三要素。角可以是任意大小的。(1) 角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角。正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角。(2) 在直角坐标系中讨论角：角的顶点在原点，始边在x轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫轴线角。(3) 终边相同的角的集合：设表示任意角，所有与终边相同的角，包

2、括本身构成一个集合，这个集合可记为,360|znns。集合s的每一个元素都与的终边相同，当0k时，对应元素为。2、弧度制和弧度制与角度制的换算(1) 角度制： 把圆周 360 等分，其中1份所对的圆心角是1度，用度作单位来度量角的制度叫做角度制。(2)1弧度的角： 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。任一已知角的弧度数的绝对值rl|，这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制。(3) 角度制与弧度制的互化：2360，180；815730.571801rad；rad01745.01801。3、特殊角的三角函数值030

3、45609012013515018006432324365sin021222312322210cos123222102122231tan03313313302102252402703003153303606745342335476112sin21222312322210cos232221021222314、平面直角坐标系中特殊线表示的角的集合：其中：zn，zk；x轴正半轴360nk2第一象限角平分线36045nk24x轴负半轴360180nk2第二象限角平分线360135nk243x轴180nk第三象限角平分线360225nk245y轴正半轴36090nk22第四象限角平分线360315nk2

4、47y轴负半轴360270nk223第一、三象限角平分线18045nk4y轴18090nk2第二、四象限角平分线180135nk43坐标轴90n2k象限角平分线9045n24k5、弧长及扇形面积公式：弧长公式：rl|扇形弧长，扇形面积公式：lrrs21|212扇形，是圆心角且为弧度制，r是扇形半径。( 二) 任意角的三角函数1、任意角的三角函数：设是一个任意角，它的终边上一点p( 除了原点 ) 的坐标为)(yx，它与原点的距离为0|2222yxyxr，那么：(1) 半径等于单位长的圆叫做单位圆。设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x轴交点分别为)01( ，a，)01(，a，而与y轴的交点分

5、别为)10( ，b，) 10( ，b。由三角函数的定义可知，点p的坐标为)sin(cos ，即)sin(cos ，p。其中omcos，onsin。这就是说，角的余弦和正弦分别等于角终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标。 过点)01( ，a作单位圆的切线， 它与角的终边或其反向延长线交与点t( 或t) ， 则attan( 或ta) 。(2) 正弦rysin；余弦rxcos；正切xytan；余切yxcot；正割xrsec；余割yrcsc。(3) 有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。具有方向的线段叫做有向线段。规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。(4) 三

6、角函数线的定义：设任意角的顶点在原点o ，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点)(yxp，过p作x轴的垂线， 垂足为m；过点)01( ，a作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点t。我们就分别称有向线段mp，om，at为正弦线、余弦线、正切线。tan331331330tt(1,tan)xyoa(1,0)nb(0,-1)a(-1,0)p(cos,sin)a(1,0)b(0,1)moyx(5) 各象限的符号：sincostan一全正二正弦三正切四余弦2、几个重要结论(1) (2) (3) 若20 x，则xxxtansin。证明：在单位圆o 中，mpxsin，atxtan，当20 x

7、时，toapoapoasss扇形，则atoarxmpoa2121212，则atxmp，则xxxtansin。3、同角三角函数的基本关系：(1) 平方关系：1cossin22；(2) 商数关系：tancossin(k2，zk) 。(3) 几个常用关系式：cossin，cossin，cossin三式之间可以互相表示。推导：设tcossin，22，t，则：22cossin21)cos(sint21cossin2t；222cossin21)cos(sint22cossint。4、诱导公式：奇变偶不变，符号看象限：即公式中除以外的角是2的奇数倍则变，为角的相应的余名三角函数；是2的偶数倍则不变，为角的相

8、应的同名三角函数；等号后面的符号是把看成锐角时等号左边的三角函数值的符号。(1)sin)2sin( kcos)2cos( ktan)2tan( k (zk) (2)sin)sin(cos)cos(tan)tan(3)sin)sin(cos)cos(tan)tan(4)sin)sin(cos)cos(tan)tan(5)cos)2sin(sin)2cos(cot)2tan(6)cos)2sin(sin)2cos(cot)2tan(7)cos)23sin(sin)23cos(cot)23tan(8)cos)23sin(sin)23cos(cot)23tan( 三) 三角函数的图像与性质1、正弦函数

9、、余弦函数和正切函数的图像与性质(zk)函数xysinxycosxytan定义域rr,|zkkxrxx值域 11，22kx时1maxy22kx时1miny 11，kx2时1maxykx2时1minyr无最大值无最小值周期性周期为 2周期为 2周期为奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2222kk，上在23222kk，上在22kk，上在22kk ，上在)22(kk，内对称性对称中心：)0(，k对称轴：2kx对称中心：)02(，k对称轴：kx对称中心：)02(，k推导：|sin|xy与|sin xy的性质 (zk) 函数|sin|xy|sin xy定义域rr值域 10 ， 11，奇偶性偶函数偶函数周期

10、t不是周期函数单调性在2kk ，上；在2kk，上增减区间规律不明显，只能就具体区间分析2、函数)sin(xay，0a，0 ，rx的图像的作法五点法(1) 确定函数的最小正周期2t；(2) 令0 x、2、23、 2得x、)2(1、)(1、)23(1、)2(1，得到五个关键点)0(，、)1)2(1(，、)0)(1(，、) 1)23(1(，、)0)2(1(，；(3) 描点作图，先作出函数在一个周期内的图像，然后根据函数的周期性，把函数在一个周期内的图像向左、右扩展，得到函数)sin(xay，0a，0 ，rx的图像。3、三角函数的伸缩变化复习：函数图像平移基本结论小结如下：(0)( )()aayf x

11、yf xa左移 个单位(0)( )()aayf xyf xa右移个单位(0)( )( )aayf xyaf x上移 个单位(0)( )( )aayf xyaf x下移个单位1( )()yf xyfx各点横坐标变成原来的倍( )( )yf xayf x1各点纵坐标变成原来的倍a( )( )xyf xyf x绕 轴翻折(1) 先平移后伸缩：xysin的图像向左 (0)或向右 (0)平移个单位长度得)sin(xy的图像()横坐标伸长 (01)1到原来的纵坐标不变得)sin( xy的图像()aaa纵坐标伸长 (1) 或缩短 (01)为原来的倍 横坐标不变得)sin(xay的图像(0)(0)kkk向上或

12、向下平移个单位长度得kxay)sin(的图像。(2) 先伸缩后平移：xysin的图像(1)(01)aaa纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变 )得xaysin的图像(01)(1)1()横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变得)sin(xay的图像(0)(0)向左或向右平移个单位得)sin(xay的图像(0)(0)kkk向上或向下平移个单位长度得kxay)sin(的图像。4、函数)sin(xay的有关概念)sin( xay，0a，0振幅周期频率相位初相a2t21tfx( 四) 三角函数公式1、两角和与差公式：sincoscossin)sin(；sinsincoscos)cos(；tantan1ta

13、ntan)tan(；tantan1tantan)tan(。2、倍角公式：cossin22sin，2222sin211cos2sincos2cos，2tan12tan2tan；3、半角公式：2cos12sin，2cos12cos，cos1sinsincos1cos1cos12tan；推导：cos1cos12cos12cos12cos2sin2tan；2tan2cos2sin2cos2sin22sin22cos2sin2)2sin21(1sincos122；2tan2cos2sin2cos22cos2sin2)12cos2(12cos2sin2cos1sin22。4、万能公式：2tan12tan2

14、sin2aa，2tan12tan1cos22aa，2tan12tan2tan2aa；5、其它公式：2)2cos2(sinsin1，2)2cos2(sinsin1；)sin()sin()sin(sin)sin(sin推导：)sincoscos(sin)sincoscos(sin)sin()sin(2222sincoscossin2222sin)sin1()sin1(sin222222sinsinsinsinsinsin22sinsin)sin()sin(。二、解题技巧1、三角函数恒等变形的基本策略。(1) 常值代换：特别是用“1”的代换，如45tan0cos90sincottancossin12

15、2xxxx等。(2) 项的分拆与角的配凑。在三角化简、求值、证明中，表达式往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中的角，使问题获解。分拆项：xxxxxx222222cos1cos)cos(sincos2sin；配凑角：)2()2()(，22，)4(24，)4()4()()(2等。特别地，4与4为互余角，它们之间可以互相转化在三角变形中使用频率最高。(3) 降次与升次：利用升幂和降幂公式，注意遇无理变有理。(4) 转化法：遇切化弦，求角把边都化成角，求角把角都化成边。异角化同角，负角化单角，异名化同名，高次化低次，特殊值化特殊角。(5)

16、 合一变形：把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的)sin(xay的形式：)sin(cossin22baba，这里辅助角所在象限由a、 b 的符号确定，角的值由abtan确定。2、证明三角等式的思路和方法。(1) 思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。(2) 证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。3、证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。4、特殊值的记忆(1) 常用勾股数)543(，)1086(，)13125(，)25247

17、(，仍然注意“符号看象限”。(2)426125cos12sin；42612cos125sin。三、母题分析母题 1、关于cossin与cossin( 或2sin) 的关系的推广应用：由 于cossin21cossin2cossin)cos(sin222， 故 知 道cossin， 必 可 推 出cossin( 或2sin)，公式如下：设tcossin，22，t，则22cossint，21cossin2t。例 1-1 已知21cossin，为abc 一个内角，则求：(1)cossin； (2)cossin； (3)22cossin； (4)22cossin；(5)33cossin； (6)33c

18、ossin； (7)44cossin； (8)44cossin；(9)66cossin； (10)66cossin。【解析】 (1)8321)21(cossin2；(2)27)21(2cossin2，又为abc 一个内角，则sin为正值，cossin为负值，cos为负值，取正值为27；(3)1cossin22；(4)472721)cos)(sincos(sincossin22；(5)1611)83(121)coscossin2)(sincos(sincossin2233；(6)1675)83(127)coscossin2)(sincos(sincossin2233；(7)32233291)83

19、(21cossin2)cos(sincossin22222244；(8)47471)cos)(sincos(sincossin222244；(9)643725627256121)83(2)1611(cossin2)cos(sincossin323323366；(10)25675516751611)cos)(sincos(sincossin333366。例 1-2 已知mcossin，且ntan1tan，则m与n的关系为 ( )。a、nm2 b、122nm c、nm22 d、22mn【答案】 b 【解析】cossin与cossin的关系2121)cos(sincossin22m，而ncossin

20、1tan1tan， 故nm1212122nm，故选 b。点评：通过以上例子可以得出以下结论：由于cossin与cossin三者之间可以互化，知其一可知其余二，但有一点要注意如果通过已知cossin，求含 sincos的式子， 必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号。这是由于cossin21)cos(sin2，要进行开方运算才能求出cossin。母题 2、关于“托底”方法的应用：在三角函数的化简计算或证明题中，往往需要把式子添加分母，利用齐次式的结构特点( 如果不具备，通过构造的办法得到 ) ， 进行含tan与含 sin或cos的式子弦、 切互化，这种添配分母的方法叫做“托底”法。“托底”适用于

21、通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互化的计算。由于cossintan，即正切与正弦、余弦间是比值关系，故它们间的互化需“托底”，通过保持式子数值不变的情况下添加分母的方法，使它们之间可以互相转化，达到根据已知求值的目的。而添加分母的方法主要有两种：一种利用1cossin22，把22cossin作为分母，并不改变原式的值，另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又或者它们的积，产生分母。例 2-1 已知2tan，求 (1)sincossincos；(2)22cos2cossinsin的值。【解析】 (1) 原式2232121tan1tan1cossin1cossin1；(2) 原式

22、324122221cossin2cossincossincossincos2cossinsin22222222。例 2-2 已知35cossincos3sin，则2cossinsin2的值为。【答案】513【解析】21tan，原式51321tantantan2cossincossinsin22222。母题 3、三角恒等变换：例 3-1 已知432，1312)cos(，53)sin(，求2sin、2cos的值。【解析】)()(2，432，40，23，又1312)cos(，53)sin(，135)(cos1)sin(2，54)(sin1)cos(2，6556)sin()cos()cos()sin(

23、)()sin(2sin，6533)sin()sin()cos()cos()()cos(2cos。总结：三角函数式的化简、求值，常从角的差异入手，寻求条件与结论之间的关系，通过三角恒等变换消除差异，使问题获解。注意正负值的选取。2220222，22，22，0 ，0 ，例 3-2 若3cossincossin，2)tan(，则)2tan(。【答案】34【解析】31tan1tan得2tan，又2)tan(，2)tan(，34tan)tan(1tan)tan()tan()2tan(。例 3-3 )5tan5tan1(10sin20sin220cos1。【答案】23【解析】原式10sin220sin21

24、0cos10cos210sin210cos)5cos5sin5sin5cos(10sin10cos10sin410cos222330cos10sin210sin30cos210cos30sin210cos10sin2)1030sin(210cos。母题 4、关于形如：xbxacossin的式子在解决三角函数的极值问题时的应用：可以从公式)sin(sincoscossinxxx中得到启示，如下处理式子：)sin()cossin(cossin22222222xbaxbabxbaabaxbxa，由于1)()(222222babbaa，故可设：22sinbab，22cosbaa，辅助角所在象限由a、

25、b 的符号确定，角的值由abtan确定；当rx时，1)sin(1x，222222)sin(baxbaba，即：2222cossinbaxbxaba；当x取值范围有要求时，根据要求判断端点范围。例 4-1 求函数xxxxfcossincos3)(2，rx的值域。解题模板：出现xx cossin(x2sin) 与xx22sincos(x2sin、x2cos) 关系式时，先用降幂扩角公式再用辅助角公式化一角一函数，再利用角的取值范围讨论值域。【解析】xxxxx2sin21cossin221cossin，212coscos2xx，则23)62cos(232sin212cos232sin21212cos

26、3)(xxxxxxf，则231)(maxxf，231)(minxf，函数值域为231231，。例 4-2 求函数2cossin2cossin)(xxxxxf，rx的值域。解题模板：出现xx cossin(x2sin) 与xxcossin关系式时，先用知一可求二公式换元再化二次函数，再利用新元的取值范围讨论值域。【解析】设)4sin(2cossinxxxt，22，t，则21cossin2txx，则原函数化为43)21(122ttty，22，t，当2t时23)(maxxf，21t时43)(minxf，函数值域为2343，。例 4-3 已知函数22sin2sin4)(2xxxf，rx。(1) 求)(

27、xf的最小正周期、最大值及此时x的集合；(2) 证明：函数)(xf的图像关于直线8x对称。【解析】)42sin(222cos22sin2)sin21(22sin222sin2sin4)(22xxxxxxxxf；(1) )(xf的最小正周期t，rx，当2242kx，即83kx时，)(xf最大值为22；(2) 证明：xxxxf2cos22)22sin(224)8(2sin22)8(，xxxxf2cos22)22sin(224)8(2sin22)8(，)8()8(xfxf成立，)(xf的图像关于直线8x对称。例 4-4 已知函数1cossin23cos21)(2xxxxf(rx) 。(1) 当函数)

28、(xfy取得最大值时，求自变量x的集合；(2) 该函数的图像可由xysin)(rx的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？【解析】45)62sin(452sin432cos4145)cossin2(43) 1cos2(41)(2xxxxxxxf，(1) 当)(xfy取最大值时，只需kx2262，zk，即kx6，zk，当函数y取最大值时，自变量x的集合为,6|zkkxx；(2) 将函数xysin依次进行如下变换：把函数xysin的图像向左平移6，得到函数)6sin(xy的图像，把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍 ( 纵坐标不变 ) ，得到函数)62sin( xy的图像，把得到的图像上各点纵坐

29、标缩短到原来的21倍 ( 横坐标不变 ) ，得到函数)62sin(21xy的图像，把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数45)62sin(21xy的图像，综上得到1cossin23cos21)(2xxxxf的图像。母题 5、关于函数)sin(xay的图像： 多选 例 5-1 给出下列六种图像变换方法：图像上所有点的横坐标缩短到原来的21，纵坐标不变；图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；图像向右平移3个单位长度；图像向左平移3个单位长度；图像向右平移32个单位长度；图像向左平移32个单位长度。请用上述变换中的两种变换，将函数xysin的图像变换到函数)32sin(xy的图像，

30、 那么这两种变换的序号依次是 ( )。a、 b、 c、 d、【答案】 bc 【解析】xysin2sinxy)32sin()32(21sinxxy，b正确，xysin)3sin(xy)32sin(xy，c正确，故选bc 。总结：三角函数图像进行变换时，要注意先伸缩变换后平移变换与先平移变换后伸缩变换的差异。例 5-2 函数)sin()(xaxf，其中0a，0 ，)20 ，)(xf的图像如下图，则。【答案】4【解析】8)37(2t，482，3a，)4sin(3)(xxf，将)0, 3(代入得kx243，即42k，又)2, 0，4。总结：a、这三个值求解以最困难，其中如果图像上没有给出最高点和最低点坐标，而只给了函数的零点时，