高考数学一轮复习第二章第九节函数模型及其应用教案文(含解析)苏教版-苏教版高三全册数学教案

1、. .专心 . 第九节 函数模型及其应用1几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x) axb(a，b为常数，a0)反比例函数模型f(x) kxb(k，b为常数且k0)二次函数模型f(x) ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数模型f(x) baxc (a，b，c为常数，b0，a0 且a1)对数函数模型f(x) blogaxc (a，b，c为常数，b0，a0 且a1)幂函数模型f(x) axnb(a，b为常数，a0)2解函数应用问题的4 步骤(1) 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；(2) 建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利

2、用数学知识，建立相应的函数模型；(3) 解模：求解函数模型，得出数学结论；(4) 还原：将数学结论还原为实际意义的问题以上过程用框图表示如下： 小题体验 1(2019徐州诊断) 某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过 10 立方米的， 按每立方米3 元收费； 用水超过10 立方米的， 超过的部分按每立方米5 元收费某职工某月的水费为55 元，则该职工这个月实际用水为_立方米解析：设该职工某月的实际用水为x立方米时，水费为y元，由题意得y3x，0 x10，305x10，x 10，即y3x，0 x10，5x20，x10.易知该职工这个月的实际用水量超过10 立方米，所以5x

3、2055，解得x15. 答案： 15 . .专心 . 2用 18 m的材料围成一块矩形场地，中间有两道隔墙若使矩形面积最大，则能围成的最大面积是 _m2. 解析：设隔墙长为x m，则面积sx184x2 2x29x 2x942818. 所以当x94时，能围成的面积最大，为818 m2. 答案：8181函数模型应用不当，是常见的解题错误所以要正确理解题意，选择适当的函数模型2要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域3注意问题反馈在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性 小题纠偏 1据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000 辆次，其中变速车存车费是每辆一

4、次0.3 元，普通车存车费是每辆一次0.2 元若普通车存车量为x辆次， 存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是_答案：y 0.1x1 200(0 x4 000)2某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n) 12n(n1)(2n1)吨， 但如果年产量超过150 吨，将会给环境造成危害为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是_年解析：各年产量为anf(n) f(n1) 12n(n1)(2n1) 12n(n 1)(2n 1) 3n2(nn*) ，令 3n2150，得 1n52. 又nn*，所以 1n7，故生产

5、期限最长为7 年答案： 7 考点一二次函数模型重点保分型考点师生共研 典例引领 某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示抛物线的一段已知跳水板ab长为 2 m，跳水板距水面cd的高bc为 3 m为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点a处水平距hm(h1)时达到距水面最大高度4 m，规定：以cd为横轴，bc为纵轴. .专心 . 建立直角坐标系(1) 当h1 时，求跳水曲线所在的抛物线方程；(2) 若跳水运动员在区域ef内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h的取值范围解：由题意，最高点为(2h,4) ，h1.设抛物线方程为yax(2 h)24. (1) 当h1 时，最高点为

6、(3,4)，方程为ya(x3)2 4.(*) 将点a(2,3)代入 (*) 式得a 1. 即所求抛物线的方程为yx26x5. (2) 将点a(2,3) 代入yax (2 h)24，得ah2 1. 由题意，方程ax (2 h)240 在区间 5,6内有一解令f(x) ax(2 h)241h2x(2 h)24，则f51h23h240，f61h24h240.解得 1h43. 故达到比较好的训练效果时的h的取值范围是1，43. 由题悟法 二次函数模型问题的3 个注意点(1) 构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域；(2) 二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否

7、则极易出错；(3) 解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题 即时应用 (2019启东中学高三检测) 某企业实行裁员增效，已知现有员工a人，每人每年可创利润 1 万元， 据评估， 在生产条件不变的情况下，每裁员1 人，则留岗员工每人每年可多创收0.01 万元，但每年需付给每个下岗工人0.4 万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的34，设该企业裁员x人后纯收益为y万元(1) 写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；(2) 当 140a280 时，问该企业裁员多少人，才能获得最大的经济效益？( 在保证能获得较大经济效益的情况下，应尽量少裁员) . .专心 . 解： (1) 由

8、题意，y (ax)(1 0.01x) 0.4x1100 x2a10075xa，因为ax3a4，所以xa4. 故x的取值范围为0 xa4且xn*. (2) 由(1) 知y1100 xa2 7021100a2702a，当 140a280 时， 0a270a4，当a为偶数时，xa270，y取最大值；当a为奇数时，xa1270 或xa1270，y取最大值，因尽可能少裁员，所以xa12 70，所以当a为偶数时，应裁员a2 70人；当a为奇数时，应裁员a12 70 人考点二函数yxax模型的应用重点保分型考点师生共研 典例引领 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑

9、物要建造可使用20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6 万元该建筑物每年的能源消耗费用c( 单位： 万元 ) 与隔热层厚度x( 单位：cm)满足关系c(x) k3x5(0 x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8 万元，设f(x) 为隔热层建造费用与20 年的能源消耗费用之和(1) 求k的值及f(x) 的表达式；(2) 隔热层修建多厚时，总费用f(x) 达到最小，并求最小值解： (1) 由已知条件得c(0) 8，则k40，因此f(x) 6x20c(x) 6x8003x5(0 x10)(2)f(x) 6x108003x5102 6x 108003x51070( 万元 ) ，当且仅当 6

10、x108003x5，即x5 时等号成立所以当隔热层厚度为5 cm 时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70 万元. .专心 . 由题悟法 应用函数yxax模型的关键点(1) 明确对勾函数是正比例函数f(x) ax与反比例函数f(x) bx叠加而成的(2) 解决实际问题时一般可以直接建立f(x) axbx的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f(x) axbx的形式(3) 利用模型f(x) axbx求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件 即时应用 某隧道长2 150 m ，通过隧道的车速不能超过20 m/s. 一列有 55 辆车身长都为10 m的同一车型的车队( 这种型

11、号的车能行驶的最高速为40 m/s) ，匀速通过该隧道，设车队的速度为x m/s ，根据安全和车流的需要，当0 x10 时，相邻两车之间保持20 m 的距离；当 10 x20 时，相邻两车之间保持16x213xm的距离自第1 辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用的时间为y(s) (1) 将y表示为x的函数；(2) 求车队通过隧道的时间y的最小值及此时车队的速度(31.73)解： (1) 当 0 x10 时，y2 150 105520551x3 780 x，当 10 x20 时，y2 150 105516x213x551x2 700 x9x18，所以y3 780 x，0 x10，2 70

12、0 x9x18，10 x20.(2) 当x(0,10时，在x10 时，ymin3 78010378(s) 当x (10,20时 ，y2 700 x 9x 1818 2 9x2 700 x 18 1803329.4(s) ，. .专心 . 当且仅当 9x2 700 x，即x17.3(m/s) 时取等号因为 17.3 (10,20，所以当x17.3(m/s)时，ymin329.4(s)，因为 378329.4 ，所以当车队的速度为17.3 m/s时，车队通过隧道的时间y有最小值329.4 s. 考点三指数函数与对数函数模型重点保分型考点师生共研 典例引领 已知某物体的温度( 单位：摄氏度 ) 随时

13、间t( 单位：分钟 ) 的变化规律是：m2t 21t(t0，并且m0) (1) 如果m 2，求经过多少时间，物体的温度为5 摄氏度；(2) 若物体的温度总不低于2 摄氏度，求m的取值范围解： (1) 若m2，则22t21t2 2t12t，当5 时， 2t12t52，令 2tx(x1)，则x1x52，即 2x25x20，解得x2 或x12( 舍去 ) ，此时t1. 所以经过 1 分钟，物体的温度为5 摄氏度(2) 物体的温度总不低于2 摄氏度，即m2t22t2恒成立，亦即m212t122t恒成立令12tx，则 0 x1，所以m 2x22x，因为 2x2 2x 2x12212 0，12，所以m12

14、，因此，当物体的温度总不低于2 摄氏度时，m的取值范围是12，. 由题悟法 指数函数与对数函数模型的应用技巧(1) 与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快( 底数大于1) 的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型. .专心 . (2) 在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题 即时应用 候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v( 单位： m/s) 与其耗氧量q之间的关系为：vab

15、log3q10( 其中a，b是实数 ) 据统计， 该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30 个单位， 而其耗氧量为90 个单位时， 其飞行速度为 1 m/s. (1) 求出a，b的值；(2) 若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？解：(1) 由题意可知， 当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30 个单位，故有ablog330100，即ab0. 当耗氧量为90 个单位时，速度为1 m/s ，故ablog390101，整理得a2b1. 解方程组ab0，a2b1，得a 1，b1.(2) 由(1) 知，vablog3q10 1log3q10. 所以要使

16、飞行速度不低于2 m/s ，则有v2，所以 1log3q102，即 log3q103，解得q1027，即 q270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要270 个单位一抓基础，多练小题做到眼疾手快1某种商品进价为4 元/ 件，当日均零售价为6 元/ 件，日均销售100 件，当单价每增加 1 元，日均销量减少10 件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20 元，则预计单价为 _元/ 件时，利润最大解析：设单价为6x，日均销售量为10010 x，则日利润y(6x4)(100 10 x) 20 10 x280 x180 10(x4)2340(0 x 10)

17、. .专心 . 所以当x4 时，ymax340. 即单价为 10 元/ 件，利润最大答案： 10 2(2018盐城中学检测 ) “好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的 已知某品牌商品靠广告销售的收入r与广告费a之间满足关系ra a(a为常数) ，广告效应为dra. 那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入广告费应为_( 用常数a表示 ) 解析：draaaa，令ta(t0) ，则at2，所以datt2t12a214a2. 所以当t12a，即a14a2时，d取得最大值答案：14a23某市出租车收费标准如下：起步价为8 元，起步里程为3 km( 不超过 3 km 按起步价付费

18、 ) ；超过 3 km 但不超过 8 km 时，超过部分按每千米2.15 元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85 元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1 元现某人乘坐一次出租车付费22.6 元，则此次出租车行驶了_km. 解析：设出租车行驶x km 时，付费y元，则y9，0 x3，82.15x31，3x8，82.155 2.85x81，x8，由y22.6 ，解得x 9. 答案： 9 4(2019盐城调研) 一批货物随17 列货车从a市以v km/h 匀速直达b市，已知两地铁路线长400 km，为了安全，两列货车间距离不得小于v202 km，那么这批物资全部运到b市，最快需要 _ h(

19、不计货车的身长) 解析：设这批物资全部运到b市用的时间为y，因为不计货车的身长，所以设列车为一个点，可知最前的点与最后的点之间距离最小值为16v202时，时间最快. .专心 . 则yv20216 400vv25400v2 v25400v8，当且仅当v25400v，即v100 时等号成立，ymin8. 答案： 8 5(2019南通模拟)用长度为24 的材料围成一个矩形场地，中间有两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_解析：设矩形场地的宽( 即隔墙的长度 ) 为x， 则长为244x2， 其面积s244x2x12x2x2 2(x3)218，当x3 时，s有最大值18，所以隔墙的长度为3. 答

20、案： 3 6有一位商人，从北京向上海的家中打电话，通话m分钟的电话费由函数f(m) 1.06(0.5m 1)( 元) 决定，其中m0，m 是大于或等于m的最小整数则从北京到上海通话时间为5.5 分钟的电话费为_元解析：因为m5.5 ，所以 5.5 6. 代入函数解析式，得f(5.5) 1.06(0.5 6 1)4.24. 答案： 4.24 二保高考，全练题型做到高考达标1某电信公司推出两种手机收费方式：a种方式是月租20 元，b种方式是月租0元 一个月的本地网内通话时间t( 分钟 ) 与电话费s( 元)的函数关系如图所示，当通话150 分钟时，这两种方式电话费相差_元解析：依题意可设sa(t)

21、 20kt，sb(t) mt，又sa(100) sb(100) ，所以 100k 20100m，得km 0.2 ， 于是sa(150) sb(150) 20 150k150m 20150( 0.2) 10，即两种方式电话费相差10 元答案： 10 2某商店已按每件80 元的成本购进某商品1 000 件，根据市场预测，销售价为每件100 元时可全部售完，定价每提高1 元时销售量就减少5 件，若要获得最大利润，销售价应定为每件 _元解析：设售价提高x元，利润为y元，则依题意得y(1 0005x) (100 x) 801 000 5x2500 x20 000 5(x50)232 500 ，故当x50

22、 时，ymax32 500 ，此时售价为每件150 元. .专心 . 答案： 150 3(2019海安中学检测) 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该公司2017 年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12% ，则该公司全年投入的研发资金开始超过200 万元的年份是_( 参考数据： lg 1.12 0.05，lg 1.3 0.11，lg 2 0.30)解析：设 2017 年后的第n年，该公司全年投入的研发资金开始超过200 万元，由 130(112%)n200，得 1.12n2013，两边取常用对数，得nlg 2 lg 1.3lg 1.120.30

23、0.110.053.8 ，所以n4，所以从2021 年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200 万元答案： 2021 年4(2019启东中学检测) 某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比据测算，如果在距离车站 10 千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是 2 万元和 8 万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_千米处解析：由题意设仓库在离车站x千米处，则y1k1x，y2k2x，其中x0，由k1102，10k28得k120k245，即y1y220 x45x2 20 x45x8，当且仅当20 x45x，即

24、x5 时等号成立答案： 5 5将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线yaent. 假设过5 分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m分钟甲桶中的水只有a8，则m_. 解析：根据题意知12 e5n，令18aaent，即18ent，因为12 e5n，故18e15n，比较知t15，m15510. 答案： 10 . .专心 . 6一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v的平方成正比，且比例系数为k，除燃料费外其他费用为每小时96 元当速度为10 海里 / 小时时，每小时的燃料费是6元若匀速行驶10 海里，当这艘轮船的速度为_海里 / 小时时，总费用最小解析：设每小时

25、的总费用为y元，则ykv296，又当v10 时，k1026，解得k0.06 ，所以每小时的总费用y0.06v296，匀速行驶10 海里所用的时间为10v小时，故总费用为w10vy10v(0.06v296) 0.6v960v20.6v960v48，当且仅当0.6v960v，即v40 时等号成立故总费用最小时轮船的速度为40 海里 / 小时答案： 40 7 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料( 如图 ) ， 为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片( 如图阴影部分 ) 备用，则截取的矩形面积的最大值为_解析：依题意知：20 x20y8248，即x54(24y) ，所以阴影部分的面积s

26、xy54(24y) y54( y224y) 54(y12)2 180. 所以当y12 时，s有最大值为180. 答案： 180 8某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为 8 万元时，奖励 1 万元 销售额x为 64 万元时， 奖励 4 万元 若公司拟定的奖励模型为yalog4xb.某业务员要得到8 万元奖励，则他的销售额应为_( 万元 ) 解析：依题意得alog48b1，alog464b4，即32ab1，3ab4.解得a2，b 2. 所以y2log4x2，当y8 时，即 2log4x28. x1 024( 万元 ) 答案： 1 024 9某科研小组研究发现：一棵水蜜桃

27、树的产量w( 单位：百千克 ) 与肥料费用x(单位：百元 ) 满足如下关系：w43x1，且投入的肥料费用不超过5 百元，此外，还需要投入其他成本 ( 如施肥的人工费等)2x百元 已知这种水蜜桃的市场售价为16 元 / 千克 ( 即 16 百元 /. .专心 . 百千克 ) ，且市场需求始终供不应求记该棵水蜜桃树获得的利润为l(x)( 单位：百元 ) (1) 求l(x) 的函数关系式，并写出定义域；(2) 当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？解： (1)l(x) 16 43x1x2x6448x13x，x(0,5(2) 法一：l(x) 6448x13x6748x1

28、3x167 248x13x143，当且仅当48x13(x1)，即x3 时取等号故l(x)max43. 答：当投入的肥料费用为300 元时，该水密桃树获得的利润最大，为4 300 元法二：l(x) 48x 123，令l(x) 0，得x3. 故当x(0,3) 时，l(x) 0，l(x) 在(0,3) 上单调递增；当x(3,5时，l(x) 0，l(x)在 (3,5上单调递减故l(x)maxl(3) 43. 答：当投入的肥料费用为300 元时，该水蜜桃树获得的利润最大，为4 300 元10(2019镇江调研) 如图，政府有一个边长为400 m 的正方形公园abcd，在以四个角的顶点为圆心，以150 m

29、为半径的四分之一圆内都种植了花卉 现在中间修建一块长方形的活动广场pqmn，其中p，q ，m，n四点都在相应的圆弧上，并且活动广场边界与公园边界对应平行，记 qbc，长方形活动广场的面积为s. (1) 请把s表示成关于的函数关系式；(2) 求s的最小值解： (1) 过 q作 qebc于e，连结bq(图略 ) 在 rtbqe中，be150cos ，qe 150sin ，02，可得矩形pqmn的pq400 300sin ，qm400300cos ，则spqqm(400 300sin )(400 300cos ) 10 000(4 3sin )(4 3cos ) ， 0，2. (2) 由(1) 知，

30、s10 00016 12(sin cos ) 9sin cos ，设tsin cos 2sin 4，则4434，可得 1t2，sin cos t212，s10 0001612t92t21. .专心 . 5 000 9t4327 . 当t43时，s取得最小值5 0007 35 000 m2. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校某辆汽车以x千米 / 时的速度在高速公路上匀速行驶( 考虑到高速公路行车安全要求60 x120)时，每小时的耗油量( 所需要的汽油量) 为15xk4 500 x升，其中k为常数，且 60k100.(1) 若汽车以120 千米 / 时的速度行驶时，每小时的耗油量为11.5 升，欲

31、使每小时的耗油量不超过9 升，求x的取值范围；(2) 求该汽车行驶100 千米的耗油量的最小值解： (1) 由题意知，当x120 时，15xk4 500 x 11.5 ，k100，由15x 1004 500 x9，得x2145x4 5000，45x100.又 60 x120，60 x100.故x的取值范围为 60,100(2) 设该汽车行驶100 千米的耗油量为y升，则y100 x15xk4 500 x2020kx90 000 x2(60 x120)令t1x，则t1120，160，y90 000t220kt20 90 000tk9 000220k2900，该函数图象的对称轴为直线tk9 000

32、. 60k100，k9 0001150，190. 若k9 0001120，即 75k100，则当tk9 000，即x9 000k时，ymin20k2900. 若k9 0001120，即 60k75，. .专心 . 则当t1120，即x120 时，ymin1054k6. 答： 当 75k100 时，该汽车行驶100 千米的耗油量的最小值为20k2900升；当 60k75 时，该汽车行驶100 千米的耗油量的最小值为1054k6升命题点一基本初等函数 ( ) 1(2017全国卷改编) 设x，y，z为正数，且2x 3y5z，则 2x,3y,5z的大小关系为_解析：设 2x 3y 5zk1，所以xlo

33、g2k，ylog3k，zlog5k. 因为 2x3y2log2k3log3k2logk23logk32logk33logk2logk2logk3logk32logk23logk2logk3logk98logk2logk30，所以 2x3y；因为 3y5z3log3k5log5k3logk35logk53logk55logk3logk3logk5logk53logk35logk3logk5logk125243logk3logk50，所以 3y5z；因为 2x5z2log2k5log5k2logk25logk52logk55logk2logk2logk5logk52logk25logk2logk5

34、logk2532logk2logk50，所以 5z2x. 所以 5z2x3y. 答案： 5z2x3y2(2018天津高考改编) 已知alog372，b1413，clog1315，则a，b，c的大小关系为 _解析：clog1315log35，alog372，. .专心 . 又ylog3x在(0 ， ) 上是增函数，log35log372log331，ca1. y14x在 ( ， ) 上是减函数，1413140 1，即b1. cab. 答案：cab3(2015江苏高考) 不等式 22xx4 的解集为 _解析：因为2x2x4，所以 22xx22，所以x2x2，即x2x2 0，所以 1x2. 答案：

35、( 1,2) 4(2015全国卷) 若函数f(x)xln(xax2) 为偶函数，则a_. 解析：因为f(x) 为偶函数，所以f( x) f(x) 0 恒成立，所以xln( xax2) xln(xax2) 0 恒成立，所以xln a0 恒成立，所以ln a0，即a 1. 答案： 1 5(2018上海高考) 已知常数a0，函数f(x) 2x2xax的图象经过点p p，65，qq，15，若 2pq36pq，则a_. 解析：因为函数f(x)的图象经过点p p，65， qq，15，所以f(p) f(q) 2p2pap2q2qaq2pqaq2p2pqap2q2pqaq2pap2qa2pq65151，化简得

36、 2pqa2pq. 因为 2pq36pq，所以a2 36且a0，所以a 6. 答案： 6 6(2016江苏高考) 已知函数f(x) axbx(a0，b0，a1，b1)(1) 设a2，b12. 求方程f(x) 2 的根；若对于任意xr，不等式f(2x) mf(x) 6 恒成立，求实数m的最大值(2) 若 0a1，b 1，函数g(x)f(x) 2 有且只有1 个零点，求ab的值解： (1) 因为a2，b12，所以f(x) 2x2x. . .专心 . 方程f(x) 2，即 2x2 x 2，亦即 (2x)222x10，所以 (2x1)20，即 2x1，解得x0. 由条件知f(2x) 22x22x(2x

37、2x)22(f(x)2 2. 因为f(2x) mf(x) 6 对于xr恒成立，且f(x) 0，所以mfx24fx对于xr恒成立而fx24fxf(x) 4fx2 fx4fx4，且f024f0 4，所以m4，故实数m的最大值为4. (2) 因为函数g(x) f(x) 2axbx2 有且只有1 个零点， 而g(0) f(0) 2a0b020，所以 0 是函数g(x) 的唯一零点因为g(x) axln abxln b，又由 0a1，b1 知 ln a 0，ln b0，所以g(x) 0 有唯一解x0 logbaln aln b. 令h(x) g(x) ，则h(x) (axln abxln b) ax(l

38、n a)2bx(ln b)2，从而对任意xr，h(x) 0，所以g(x) h(x) 是( ， ) 上的单调增函数于是当x( ，x0) 时，g(x) g(x0) 0；当x(x0， ) 时，g(x) g(x0) 0. 因而函数g(x) 在( ，x0) 上是单调减函数，在(x0， ) 上是单调增函数下证x00. 若x00，则x0 x020，于是gx02g(0) 0. 又g(loga2) aloga2bloga22aloga220，且函数g(x) 在以x02和 loga2 为端点的闭区间上的图象不间断，所以在x02和 loga2 之间存在g(x) 的零点，记为x1. 因为 0a 1，所以 loga2

39、0. 又x020，所以x10，与“0 是函数g(x) 的唯一零点”矛盾若x00，同理可得，在x02和 logb2 之间存在g(x) 的非 0 的零点，与“0是函数g(x) 的唯一零点”矛盾因此，x00. . .专心 . 于是ln aln b 1，故 ln aln b0，所以ab1. 7(2016上海高考) 已知ar，函数f(x) log21xa. (1) 当a5 时，解不等式f(x) 0；(2) 若关于x的方程f(x) log2(a4)x2a5 0 的解集中恰有一个元素，求a的取值范围；(3) 设a 0，若对任意t12，1 ，函数f(x) 在区间 t，t1 上的最大值与最小值的差不超过1，求a

40、的取值范围解： (1) 由 log21x5 0，得1x51，解得x ，14(0 ， ) (2) 由原方程可得1xa(a4)x2a5，即(a4)x2(a5)x10. 当a4 时，x 1，经检验，满足题意当a3 时，x1x2 1，经检验，满足题意当a3 且a4 时，x11a4，x2 1，x1x2. 若x1是原方程的解，则1x1a0，即a2；若x2是原方程的解，则1x2a0，即a1. 由题意知x1，x2只有一个为方程的解，所以a2，a1或a2，a1，于是满足题意的a (1,2 综上，a的取值范围为(1,2 3,4 (3) 易知f(x) 在(0 ， ) 上单调递减，所以函数f(x) 在区间 t，t1

41、上的最大值与最小值分别为f(t) ，f(t1) f(t) f(t1)log21ta log21t1a1，即at2(a1)t10 对任意t12，1 恒成立. .专心 . 因为a0，所以函数yat2(a1)t1 在区间12，1 上单调递增，当t12时，y有最小值34a12. 由34a120，得a23. 故a的取值范围为23，. 命题点二函数与方程1.(2017 江苏高考) 设f(x) 是定义在r上且周期为1 的函数，在区间0,1) 上，f(x) x2，xd，x，x?d，其中集合dx xn1n，nn*，则方程f(x) lg x0 的解的个数是_解析：由于f(x) 0,1) ，因此只需考虑1x10 的

42、情况，在此范围内，当x q且x?z 时，设xqp，q，p n*，p2 且p，q互质若 lg xq，则由 lg x(0,1)，可设 lg xnm，m，nn*，m2且m，n互质，因此 10nmqp，则 10nqpm，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x?q ，故 lg x不可能与每个周期内xd对应的部分相等，只需考虑 lg x与每个周期内x?d部分的交点画出函数草图( 如图 ) ，图中交点除(1,0) 外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x?d的部分，且x1 处(lg x) 1xln 101ln 101，则在x1 附近仅有一个交点，因此方程f(x) lg x0 的解的个数为8. 答

43、案： 8 2(2015江苏高考) 已知函数f(x) |ln x| ，g(x) 0，0 x1，|x24| 2，x1，则方程|f(x) g(x)| 1 实根的个数为 _解析：当0 x1 时，方程为ln x1，解得x1e. 当 1x 2 时，f(x) g(x) ln x2x2单调递减，值域为(ln 22,1) ，方程f(x)g(x) 1 无解，方程f(x) g(x) 1 恰有一解. .专心 . 当x2 时，f(x) g(x) ln xx26 单调递增， 值域为 ln 22，) ，方程f(x)g(x) 1 恰有一解，方程f(x) g(x) 1 恰有一解综上所述，原方程有4 个实根答案： 4 3 (20

44、18全国卷改编) 已知函数f(x) ex，x0，ln x，x0，g(x) f(x) xa.若g(x)存在 2 个零点，则a的取值范围是_解析：令h(x) xa，则g(x) f(x)h(x) 在同一坐标系中画出yf(x) ，yh(x)的示意图，如图所示若g(x) 存在 2 个零点，则yf(x) 的图象与yh(x) 的图象有 2 个交点，平移yh(x) 的图象，可知当直线yxa过点 (0,1) 时，有 2 个交点，此时1 0a，a 1. 当yxa在yx1 上方，即a 1 时，仅有1个交点，不符合题意当yxa在yx1 下方，即a 1 时，有 2 个交点，符合题意综上，a的取值范围是 1， ) 答案：

45、 1，)4(2018天津高考) 已知a0，函数f(x) x22axa，x0，x22ax2a，x0.若关于x的方程f(x) ax恰有 2 个互异的实数解，则a的取值范围是 _解析：法一：作出函数f(x) 的大致图象如图所示l1是过原点且与抛物线yx22ax2a相切的直线，l2是过原点且与抛物线yx22axa相切的直线由图可知，当直线yax在l1，l2之间 ( 不含直线l1，l2) 变动时，符合题意由yax，yx22ax2a，消去y，整理得x2ax2a0. 由a28a0，得a8(a0 舍去 ) 由yax，yx22axa，消去y，整理得x2axa0. 由a24a0，得a4(a0 舍去 ) 综上可得a的取值范围是 (4,8)法二：当x0 时，由x22axaax，得ax2ax；当x 0 时，由x2 2ax 2aax，得2ax2ax. 令g(x) x2ax，x0，x2a