高考数学三轮冲刺大题提分立体几何：建系困难问题理

1、1 大题精做 7 立体几何：建系困难问题已知三棱锥pabc （如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形abcd 为边长等于2 的正方形，abe和bcf均为正三角形，在三棱锥pabc 中：（1）证明：平面pac平面 abc ；（2）若点m在棱pa上运动，当直线bm与平面 pac 所成的角最大时，求二面角pbcm 的余弦值图一图二【答案】（1）见解析；（2）5 3333【解析】（1）设ac的中点为o，连接bo，po由题意，得2papbpc，1po，1aoboco在pac中， papc ， o 为 ac 的中点，poac ，在pob中，1po，1ob，2pb，222poobpb ， poob aco

2、bo， ac ， ob平面， po平面 abc ， po平面 pac ，平面 pac平面 abc （2）由（ 1）知，bopo，boac，bo平面pac，bmo 是直线bm与平面 pac 所成的角，且1tanbobmoomom，当 om 最短时，即m是pa的中点时，bmo 最大由 po平面 abc ， obac ， poob ， pooc ，于是以 oc ， ob ， od 所在直线分别为x轴，y轴， z 轴建立如图示空间直角坐标系，2 则0,0,0o，1,0,0c，0,1,0b，1,0,0a，0,0,1p，11,0,22m，1, 1,0bc，1,0, 1pc，31,0,22mc设平面 mbc

3、 的法向量为111,x yzm，则由00bcmcmm得：1111030 xyxz令11x，得11y，13z，即1,1,3m设平面 pbc 的法向量为222,xyzn，由00bcpcnn得：222200 xyxz，令1x，得1y，1z，即1,1,1n5533cos,3333nmm nn m由图可知，二面角pbcm 的余弦值为5 33331矩形 abcd 中，1ab，2ad，点e为ad中点，沿be将abe折起至pbe，如图所示，点p在面bcde 的射影 o 落在be上（1）求证：面pce面pbe；（2）求平面 pcd 与平面pbe所成锐二面角的余弦值3 2如图 1，在矩形 abcd 中，3 5ab

4、，2 5bc，点e在线段 dc 上，且5de，现将aed沿ae折到aed的位置，连结cd ，bd，如图 2（1）若点p在线段 bc 上，且52bp，证明：aed p；（2）记平面ad e与平面 bcd 的交线为 l 若二面角baed为23，求 l 与平面 d ce 所成角的正弦值4 3如图，在四棱锥 pabcd 中，已知底面abcd 是边长为 1 的正方形， 侧面pad平面 abcd ，papd，pa与平面 pbc 所成角的正弦值为217（1）求侧棱pa的长；（2）设e为ab中点，若paab，求二面角bpce 的余弦值5 1 【答案】（1）详见解析；（2）11116 【解析】（1）在四棱锥pb

5、cde 中，2bece，2bc，从而有 cebe ，又 po面 bcde ，而 ce面 bcde ， cepo ，而 po 、be面pbe，且pobeo，由线面垂直定理可证ce面pbe，又 ce面 pce ，由面面垂直判断定定理即证面pce面pbe（2）由条件知op面 bcde ，过点e做 op 的平行线ez，又由（ 1）知 ec面pbe，以eb、 ec 、ez分别为x、y、 z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：22,0,22p，0,2,0c，22,022d，22,2,22cp，22,022dc，面pbe的一个法向量为10,1,0n，设面 pcd 的法向量为2, ,x y zn，则有22202

6、222022xyzxy，从而可得面pcd 的一个法向量为21, 1, 3n，12111cos,1111n n，设平面 pcd 与平面pbe所成锐二面角为，与12,n n互补，则11cos11，故平面 pcd 与平面pbe所成二面角的余弦值为11112 【答案】（1）详见解析；（2）155【解析】 证明：（1）先在图1 中连结dp，在 rtade中，由2 5adbc，5de，得1tan2dae，在 rtpcd中，由3 5dcab，53 52 522pcbcbp，得1tan2pdc， tantanpdcdae ，则pdcdae ，90doe，从而有aeod ， aeop ，即在图2 中有aeod

7、， aeop ，ae平面pod ，则aed p；7 解： （2）延长ae， bc 交于点 q ，连接d q ，根据公理3 得到直线d q 即为 l ，再根据二面角定义得到23d op在平面pod 内过点 o 作底面垂线，以 o 为原点，分别为oa ， op ，及所作垂线为x轴、y轴、 z 轴建立空间直角坐标系，则0, 1, 3d，1,0,0e，11,0,0q，3,4,0c，11,1,3d q，2,4,0ec，1, 1, 3ed，设平面 d ec 的一个法向量为, ,x y zn，由24030ecxyedxyznn，取1y，得32,1,3n l 与平面d ce 所成角的正弦值为15cos,5dq

8、d qd qnnn3 【答案】（1）1pa或216pa； （2）427【解析】（1）取ad中点 o ， bc 中点m，连结 op ， om ，papd， opad ，又平面pad平 面 abcd ， op 平面pad，平面pad平面 abcdad ， op平面 abcd ， opoa ， opom ，又 abcd 是正方形，oaom ，以 o 为原点 oa ， om ， op 为x，y， z 轴建立空间直角坐标系oxyz（如图），则1,0,02a，1,0,02d，1,1,02b，1,1,02c，设0,0,0pcc，则1,1,2pbc ，1,0,0cb，设平面 pbc 的一个法向量为1111,xy zn，则有11111020 xyczx，取11z，则1yc，从而10, ,1cn，8 设pa与平面 pbc 所成角为，1,0,2pac，1122121sincos1,714pacpapaccnnn，解得234c或213c，1pa或216pa（2）由（ 1）知，1paab，1pa，32c，由（ 1）知，平面pbc 的一个法向量为130, ,10,12cn，设平面 p