高考数学三轮冲刺大题提分函数与导数：零点方程的解的判断理

1、1 大题精做 14 函数与导数：零点（方程的解）的判断已知函数2ln1fxxaxxa， ar （1）若1a，且曲线yfx 在xt处的切线 l 过原点，求t的值及直线l 的方程；（2）若函数fx 在 1,e 上有零点，求实数a的取值范围【答案】（1）2t，3ln20 xy； （ 2）2e1, 2,e1【解析】（1）若1a，则2ln2fxxx x，所以21lnfxxx ，因为 fx 的图象在xt处的切线 l 过原点，所以直线 l 的斜率f tkftt，即221lnlnttttt，整理得120tt，因为0t，所以2t，3ln2k，所以直线 l 的方程为3ln20 xy（2）函数 fx 在 1,e 上

2、有零点，即方程2ln10 xaxxa在 1,e 上有实根，即方程1ln0axaxx在 1,e 上有实根设1lnah xxaxx，则221111xxaaahxxxx，当11a，即0a，1,ex时，0hx， h x 在 1,e 上单调递增，若0h x在 1,e 上有实根，则10e0hh，即22e1e1aa，所以2a当 11ea，即 0e1a时，1,1xa时，0hx， h x 单调递减，1,exa时，0hx， h x 单调递增，所以min12ln1h xh aaaa，由 11ea，可得 0ln1aaa，所以12h a，0h x在 1,e 上没有实根当1ea，即e1a，1,ex时，0hx， h x 在

3、 1,e 上单调递减，若0h x在 1,e 上有实根，则10e0hh，即22e1e1aa，解得2e1e1a因为2e1e1e1，所以2e1e1a时，0h x在 1,e 上有实根2 综上可得实数a的取值范围是2e1, 2,e11已知函数22eexxfxaa x （1）当2a时，求曲线yfx 在点0,0f处的切线方程；（2）当0a时，讨论函数fx 的零点个数2已知函数22lnfxaxaxx （1）讨论 fx 的单调性；（2）若fx有两个零点，求a的取值范围3 3已知函 数21e1 e2xxfxaax （1）讨论fx的单调性；（2）若 fx 有两个零点，求a的取值范围4 5 1 【答案】（1）3y；

4、（2）见解析【解析】（1）因为22e2e4xxfx，所以02240f，又0123f，所以曲线yfx 在点0,0f处的切线方程为3y（2）222ee2eexxxxfxaaaa ，当0a时，2exfx，无零点；当0a时，由0fx，得ln2ax当,ln2ax时，0fx；当ln,2ax时，0fx，所以2min3lnln242aafxfa22eexxfxaa x，当0 x时，0fx；当0 x时，x，0fx所以当23ln042aa，即342ea时，函数fx 有两个零点；所以当23ln042aa，即342ea时，函数fx 有一个零点；当23ln042aa，即3402ea时，函数fx 没有零点综上，当342e

5、a时，函数fx 有两个零点；当342ea时，函数fx 有一个零点；当3402ea时，函数fx 没有零点2 【答案】（1）见解析；（2） 0,1 【解析】（1）1211220axxfxaxaxxx，若0a，0fx， fx 在 0,上单调递减；若0a，当10,xa时，0fx，即 fx 在10,a上单调递减，当1,xa时，0fx，即 fx 在1,a上单调递增6 （2）若0a， fx 在 0,上单调递减，fx 至多一个零点，不符合题意若0a，由（ 1）可知，fx 的最小值为11ln1faaa，令1ln1h aaa，2110haaa，所以 h a 在 0,上单调递增，又10h，当0h a时，1,a， f

6、x 至多一个零点，不符合题意，当0h a时，0,1a，又因为2120ee1eeaaf，结合单调性可知fx 在1e1,a有一个零点，令lng xxx ，111xgxxx，当0,1x时， g x 单调递减；当1,x时， g x 单调递增，g x 的最小值为110g，所以lnxx ，当3axa时，2222ln2330fxaxaxxaxaxxaxaxx axa，结合单调性可知fx 在3,aa有一个零点，综上所述，若fx 有两个零点，a的范围是0,1 3 【答案】（1）见解析；（2）1,02【解析】（1）21e1eeexxxxfxaaa ，（）若0a，当,0 x时，0fx， fx 为减函数；当0,x时，

7、0fx， fx 为增函数，当0a时，令0fx，则10 x，2lnxa；（）若1a，12xx，0fx恒成立，fx 在,上为增函数；（）若 01a，12xx，当,lnxa 时，0fx， fx 为增函数；当ln ,0 xa时，0fx， fx 为减函数；7 当0,x时，0fx， fx 为增函数，（）若1a，12xx，当,0 x时，0fx， fx 为增函数；当0,lnxa 时，0fx， fx 为减函数；当ln ,xa，0fx， fx 为增函数；综上所述：当0a， fx 在,0 上为减函数，fx 在 0,上为增函数；当1a时， fx 在,上为增函数；当 01a时， fx 在,ln a 上为增函数，fx 在

8、 ln ,0a上为减函数，fx 在 0,上为增函数；当1a时， fx 在,0 上为增函数，fx 在 0,lna 上为减函数，fx 在 ln ,a上为增函数（2） （）当0a时，211eeee122xxxxf x，令0fx，ln2x，此时 1 个零点，不合题意；（）当0a时，由（ 1）可知，fx 在,0 上为减函数，fx 在 0,上为增函数，因为 fx 有两个零点，必有1002fa，即12a，注意到22111e1 eee1e022faaa，所以，当0,1x时， fx 有 1 个零点；当0 x时，1ee11 e12xxxfxaxaaxaaxa，取0110 xa，则00fx，所以当00,xx时， fx 有 1 个零点；所以当102a时， fx 有 2 个零点，符合题意；8 （）当1a时， fx 在,上为增函数，不可能有两个零点，不合题意；（）当 01a时， fx 在,lna 上为增函数，fx 在 ln ,0a上为减函数，fx 在 0,上为增函数；2lnln22111lne1 elnlnln1222aafaaa aaaaa aaaa，因为1ln02aaa，所以ln0fa，此时