高考数学大一轮复习第六章平面向量与复数第3节平面向量的数量积及其应用讲义理(含解析)新人教

1、. .专心 . 第 3 节平面向量的数量积及其应用考试要求1. 理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2. 了解平面向量的数量积与向量投影的关系； 3. 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4. 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5. 会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题. 知 识 梳 理1. 平面向量数量积的有关概念(1) 向量的夹角： 已知两个非零向量a和b， 记oaa，obb， 则aob(0180)叫做向量a与b的夹角 . (2) 数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则a与b的数量积 ( 或内积)ab|a|b|cos

2、_. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即 0a0. (3) 数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度 |a| 与b在a的方向上的投影|b|cos_的乘积 . 2. 平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a(x1，y1) ，b(x2，y2) ，为向量a，b的夹角 . (1) 数量积：ab|a|b|cos x1x2y1y2. (2) 模： |a| aax21y21. (3) 夹角： cos ab|a|b|x1x2y1y2x21y21x22y22. (4) 两非零向量ab的充要条件：ab0?x1x2y1y2 0. (5)|ab| |a|b|( 当且仅当ab时等号成立 ) ? |x1x2y1y2|

3、 x21y21x22y22. 3. 平面向量数量积的运算律(1)abba( 交换律 ). (2)ab(ab) a(b)( 结合律 ). (3)(ab) cacbc( 分配律 ). . .专心 . 微点提醒 1. 两个向量a，b的夹角为锐角?ab0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角?ab0且a，b不共线 . 2. 平面向量数量积运算的常用公式(1)(ab) (ab) a2b2. (2)(ab)2a22abb2. (3)(ab)2a22abb2. 基 础 自 测1. 判断下列结论正误( 在括号内打“”或“”)(1) 两个向量的夹角的范围是0，2.( ) (2) 向量在另一个向量方向上的投影

4、为数量，而不是向量.( ) (3) 两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( ) (4) 若abac(a0) ，则bc.( ) 解析(1) 两个向量夹角的范围是0 ，.(4) 由abac(a0) 得|a|b| cosa，b |a|c| cosa，c ，所以向量b和c不一定相等 . 答案(1) (2) (3) (4) 2.( 必修 4p108a10改编 ) 设a，b是非零向量 . “ab|a|b| ”是“ab”的 ( ) a.充分而不必要条件b.必要而不充分条件c.充分必要条件d.既不充分也不必要条件解析设a与b的夹角为. 因为ab|a| |b|cos |a| |b

5、| ，所以 cos 1，即a与b的夹角为0，故ab. 当ab时，a与b的夹角为0或 180，所以ab|a| |b|cos |a| |b| ，所以“ab|a| |b| ”是“ab”的充分而不必要条件. . .专心 . 答案a 3.( 必修 4p108a2改编 ) 在圆o中， 长度为2的弦ab不经过圆心， 则aoab的值为 _. 解析设向量ao，ab的夹角为，则aoab|ao|ab| cos |ao|cos |ab| 12|ab| |ab| 12(2)21. 答案1 4.(2018 全国卷) 已知向量a，b满足 |a| 1，ab 1，则a(2ab) ( ) a.4 b.3 c.2 d.0 解析a(

6、2ab) 2|a|2ab212 ( 1) 3. 答案b 5.(2018 上海嘉定区调研) 平面向量a与b的夹角为45，a(1 ，1)，|b| 2，则 |3ab| 等于 ( ) a.13 62 b.25 c.30 d.34 解 析依 题 意 得a2 2，ab22cos 45 2 ， |3ab| （3ab）29a26abb21812434. 答案d 6.(2017 全国卷) 已知向量a ( 1，2) ，b(m，1). 若向量ab与a垂直，则m_. 解析由题意得ab(m1，3) ，因为ab与a垂直，所以 (ab) a0，所以 (m1) 23 0，解得m7. 答案7 考点一平面向量数量积的运算【例 1

7、】 (1) 若向量m(2k1，k) 与向量n (4 ，1) 共线，则mn( ) . .专心 . a.0 b.4 c.92d.172(2)(2018 天津卷)在如图的平面图形中，已知om1，on2，mon120，bm2ma，cn2na，则bcom的值为 ( ) a. 15 b.9 c.6 d.0 解析(1) 由题意得2k 14k 0，解得k12，即m 2，12，所以mn24121172. (2) 连接oa. 在abc中，bcacab3an3am 3(onoa) 3(omoa) 3(onom) ，bcom3(onom) om3(onomom2) 3(21cos 120 12) 3( 2)6. 答案

8、(1)d (2)c 规律方法1. 数量积公式ab|a|b|cos 在解题中的运用，解题过程具有一定的技巧性，需要借助向量加、减法的运算及其几何意义进行适当变形；也可建立平面直角坐标系，借助数量积的坐标运算公式abx1x2y1y2求解，较为简捷、明了. 2. 在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现 . 【训练 1】 (1)在abc中，ab4，bc 6， abc2，d是ac的中点，e在bc上， 且aebd，则aebc等于 ( ) a.16 b.12 c.8 d. 4 (2)(2019 皖南八校三模) 已知 |a| |b| 1，向量a与b的夹角为45，则

9、(a2b) a_. 解析(1) 以b为原点，ba，bc所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系( 图略 ) ，a(4 ，. .专心 . 0)，b(0 ，0) ，c(0 ，6) ，d(2，3). 设e(0 ，t) ，bdae(2 ，3)( 4，t) 83t0，t83，即e0，83，aebc 4，83(0， 6) 16. (2) 因为 |a| |b| 1，向量a与b的夹角为 45，所以 (a2b) aa2 2ab |a|22|a| |b|cos 45 12. 答案(1)a (2)1 2 考点二平面向量数量积的应用多维探究角度 1 平面向量的垂直【例 21】 (1)(2018 北京卷 ) 设向量a(

10、1 ，0)，b( 1，m). 若a(m ab)，则m_. (2)(2019 宜昌二模) 已知abc中，a120， 且ab3，ac4，若apabac，且apbc，则实数的值为 ( ) a.2215b.103c.6 d.127解析(1)a(1 ， 0)，b ( 1，m) ，a21，ab 1，由a(m ab) 得a(m ab) 0，即m a2ab0. m( 1)0，m 1. (2) 因为apabac，且apbc，所以有apbc(abac) (acab) abacab2ac2abac(1)abacab2ac20，整理可得 (1)34cos 120 9160，解得2215. 答案(1) 1 (2)a 规

11、律方法1. 当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算. 2. 数量积的运算ab0?ab中， 是对非零向量而言的，若a0，虽然有ab0，但不. .专心 . 能说ab. 角度 2 平面向量的模【例 2 2】 (1) 已知平面向量，| 1， | 2，(2) ，则 |2|的值是 _. (2)(2019 杭州调研) 已知直角梯形abcd中，adbc，adc90，ad2，bc1，p是腰dc上的动点，则|pa3pb| 的最小值为 _. 解析(1) 由(2) 得(2) 220，所以12，所以 (2)242244122241210，所以

12、|2| 10. (2) 建立平面直角坐标系如图所示，则a(2 ，0) ，设p(0 ，y) ，c(0 ，b) ，则b(1，b). 所以pa3pb(2 ，y) 3(1 ，by) (5 ，3b4y) ，所以 |pa3pb| 25（ 3b 4y）2(0yb) ，所以当y34b时， |pa3pb| 取得最小值5. 答案(1)10 (2)5 规律方法1. 求向量的模的方法：(1) 公式法，利用|a| aa及 (ab)2|a|22ab|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2) 几何法，利用向量的几何意义. 2. 求向量模的最值( 范围 ) 的方法： (1) 代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再

13、用求最值的方法求解；(2) 几何法 ( 数形结合法 ) ，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解 . 角度 3 平面向量的夹角. .专心 . 【例 2 3】 (1)(2019 衡水中学调研) 已知非零向量a，b满足 |ab| |ab| 233|a| ，则向量ab与ab的夹角为 _. (2) 若向量a(k，3) ，b(1 ，4) ，c(2，1)，已知 2a3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是 _. 解析(1) 将 |ab| |ab| 两边平方，得a2b22aba2b22ab，ab 0. 将|ab| 233|a| 两边平方，得a2b22ab43a2，b213a2. 设ab与ab的夹角

14、为，cos （ab）（ab）|ab| |ab|a2b2233|a| 233|a|23a243a212. 又0 ， ，3. (2) 2a3b与c的夹角为钝角，(2a3b) c0，即(2k3，6)(2， 1)0 ，解得k3. 又若 (2a3b) c，则 2k3 12，即k92. 当k92时， 2a3b( 12， 6) 6c，此时 2a3b与c反向，不合题意. 综上，k的取值范围为，92 92，3 . 答案(1)3(2)，9292，3规律方法1. 研究向量的夹角应注意“共起点”；两个非零共线向量的夹角可能是0 或 ；注意向量夹角的取值范围是0 ， ；若题目给出向量的坐标表示，可直接套用公式cos x

15、1x2y1y2x21y21x22y22求解 . 2. 数量积大于0 说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0 说明不共线的两向量的夹. .专心 . 角为直角，数量积小于0 且两向量不共线时两向量的夹角为钝角. 【训练 2】 (1) 已知向量a( 2，3) ，b(3 ，m) ，且ab，则m_. (2)( 一题多解 )(2017 全国卷) 已知向量a，b的夹角为60， |a| 2，|b| 1，则 |a2b| _. (3)(2017 山东卷)已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若3e1e2与e1e2的夹角为 60，则实数的值是 _. 解析(1) 由ab，得ab0，又a( 2，3) ，b(3，m)

16、 ， 63m 0，则m2. (2) 法一|a2b| （a2b）2a24ab4b222421cos 60 4121223. 法二( 数形结合法 ) 由|a| |2b| 2 知，以a与 2b为邻边可作出边长为2 的菱形oacb，如图， 则|a2b| |oc|. 又aob60，所以 |a 2b| 23. (3) 由题意知 |e1| |e2| 1，e1e20，|3e1e2| （3e1e2）23e2123e1e2e223 012. 同理 |e1e2| 12. 所以 cos 60 （3e1e2）（e1e2）|3e1e2|e1e2|3e21（31）e1e2e22212321212，解得33. 答案(1)2

17、(2)23 (3)33. .专心 . 考点三平面向量与三角函数【例 3】 (2019潍坊摸底 ) 在abc中， 角a，b，c的对边分别为a，b，c，向量m(cos(ab) ，sin(ab) ，n(cos b， sin b) ，且mn35. (1) 求 sin a的值；(2) 若a42，b5，求角b的大小及向量ba在bc方向上的投影. 解(1) 由mn35，得 cos(ab)cos bsin(ab)sin b35，所以 cos a35. 因为 0ab，所以ab，且b是abc一内角，则b4. 由余弦定理得 (42)252c225c 35，解得c 1，c 7 舍去，故向量ba在bc方向上的投影为|b

18、a|cos bccos b12222. 规律方法平面向量与三角函数的综合问题的解题思路：(1) 题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解. (2) 给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等. 【训练 3】 (2019石家庄模拟) 已知a，b，c分别为abc的三边a，b，c所对的角，向量m(sin a，sin b) ，n(cos b， cos a) ，且mnsin 2c. (1) 求角c的大小；. .专心 . (2) 若 sin a，

19、sin c，sin b成等差数列，且ca(abac) 18，求边c的长 . 解(1) 由已知得mn sin acos b cos asin bsin(ab) ，因为abc，所以 sin(ab) sin( c) sin c，所以mnsin c，又mnsin 2c，所以 sin 2csin c，所以 cos c12. 又 0c，所以c3. (2) 由已知及正弦定理得2cab. 因为ca(abac) cacb18，所以abcos c18，所以ab36. 由余弦定理得c2a2b22abcos c(ab)23ab所以c24c2336，所以c236，所以c6. 思维升华 1. 计算向量数量积的三种方法定义

20、、 坐标运算、数量积的几何意义，要灵活运用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用 . 2. 求向量模的常用方法利用公式 |a|2a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算. 3. 利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧. 易错防范 数量积运算律要准确理解、应用，例如，abac(a0) 不能得出bc，两边不能约去一个向量 .数量积运算不满足结合律，(ab) c不一定等于a(bc). . .专心 . 数学运算、数学建模平面向量与三角形的“四心”1. 数学运算是指在明晰运算的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养. 通过学习平面向量与三角形的“四心”，学生能进一步

21、发展数学运算能力，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神. 2. 数学建模要求在熟悉的情境中，发现问题并转化为数学问题，能够在关联的情境中，经历数学建模的过程， 理解数学建模的意义. 本系列通过学习平面向量与三角形的“四心”模型，能够培养学生用模型的思想解决相关问题. 设o为abc所在平面上一点，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，则(1)o为abc的外心 ? |oa| |ob| |oc| a2sin a. (2)o为abc的重心 ?oaoboc0. (3)o为abc的垂心 ?oaobobococoa. (4)o为abc的内心 ?aoabobcoc0. 类型 1 平面向

22、量与三角形的“重心”【例 1】 已知a，b，c是平面上不共线的三点，o为坐标原点， 动点p满足op13(1 )oa(1 )ob(1 2) oc ，r，则点p的轨迹一定经过( ) a.abc的内心b.abc的垂心c.abc的重心d.ab边的中点解析取ab的中点d，则 2odoaob，op13(1 )oa(1)ob (1 2)oc ，op132(1 )od(1 2)oc 2（1）3od123oc，而2（1）31231，p，c，d三点共线，点p的轨迹一定经过abc的重心 . . .专心 . 答案c 类型 2 平面向量与三角形的“内心”问题【例 2】 在abc中，ab5，ac6，cos a15，o是a

23、bc的内心，若opxobyoc，其中x，y0 ， 1 ，则动点p的轨迹所覆盖图形的面积为( ) a.1063b.1463c.43 d.62 解析根据向量加法的平行四边形法则可知，动点p的轨迹是以ob，oc为邻边的平行四边形及其内部，其面积为boc的面积的2 倍. 在abc中，设内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a2b2c2 2bccos a，得a7. 设abc的内切圆的半径为r，则12bcsin a12(abc)r，解得r263，所以sboc12ar127263763. 故动点p的轨迹所覆盖图形的面积为2sboc1463. 答案b 类型 3 平面向量与三角形的“垂心”问题【例

24、3】 已知o是平面上的一个定点，a，b，c是平面上不共线的三个点，动点p满足opoaab|ab|cos b+ac|ac|cos c，(0， ) ，则动点p的轨迹一定通过abc的( ) a.重心b.垂心c.外心d.内心解析因为opoaab|ab|cos b+ac|ac|cos c，所以apopoaab|ab|cos b+ac|ac|cos c，所以bcapbcab|ab|cos b+ac|ac|cos c( |bc| |bc|) 0，. .专心 . 所以bcap，所以点p在bc的高线上，即动点p的轨迹一定通过abc的垂心 . 答案b 类型 4 平面向量与三角形的“外心”问题【例 4】 已知在ab

25、c中，ab1，bc6，ac 2，点o为abc的外心， 若aoxabyac，则有序实数对 (x，y) 为( ) a.45，35b.35，45c. 45，35d. 35，45解析取ab的中点m和ac的中点n，连接om，on，则omab，onac，omamao12ab(xabyac) 12x abyac，onanao12ac(xabyac) 12y acxab. 由omab，得12x ab2yacab0，由onac，得12y ac2xacab0，又因为bc2(acab)2ac22acabab2，所以acabac2ab2bc2212，把代入、得12xy0，4x8y0，解得x45，y35. 故实数对 (

26、x，y) 为45，35. 答案a 基础巩固题组( 建议用时： 40 分钟 ) 一、选择题1. 已知向量a(m1，1) ，b(m， 2)，则“m2”是“ab”的 ( ) . .专心 . a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件解析当m2 时，a(1 ，1) ，b(2 ， 2) ，所以ab(1，1)(2， 2) 220，所以ab，充分性成立；当ab时，ab(m1，1)(m， 2)m(m1)20，解得m 2或m 1，必要性不成立. 所以“m2”是“ab”的充分不必要条件. 答案a 2.(2019 北京通州区二模) 已知非零向量a，b的夹角为60，且 |b| 1，|2a

27、b| 1，则|a| ( ) a.12b.1 c.2 d.2 解析由题意得ab|a| 112|a|2，又|2ab| 1，|2ab|24a2 4abb24|a|22|a| 11，即 4|a|22|a| 0，又 |a| 0，解得 |a| 12. 答案a 3.(2019 石家庄二模) 若两个非零向量a，b满足 |ab| |ab| 2|b| ，则向量ab与a的夹角为 ( ) a.3b.23c.56d.6解析设|b| 1，则 |ab| |ab| 2. 由|ab| |ab| ，得ab 0，故以a、b为邻边的平行四边形是矩形，且|a| 3，. .专心 . 设向量ab与a的夹角为，则 cos a（ab）|a|

28、|ab|a2ab|a| |ab|a|ab|32，又 0，所以6. 答案d 4. 如图，在等腰梯形abcd中，ab4，bccd2，若e，f分别是边bc，ab上的点，且满足bebcafab，则当aedf0 时，的值所在的区间是( ) a.18，14b.14，38c.38，12d.12，58解析在等腰梯形abcd中，ab4，bccd2，可得ad，bc60，所以ab，ad60，ab，bc120，所以abad42124，abbc4212 4，adbc22122，又bebcafab，所以bebc，afab，则aeabbeabbc，dfafadabad，所以aedf(abbc) (abad) ab2abad

29、2abbcadbc 0，即 2272 0，解得7334( 舍去 ) 或733414，38. 答案b 5.(2017 浙江卷 ) 如图，已知平面四边形abcd，abbc，abbcad2，cd3，ac与bd. .专心 . 交于点o.记i1oaob，i2oboc，i3ocod，则 ( ) a.i1i2i3b.i1i3i2c.i3i1i2d.i2i1i3解析如图所示， 四边形abce是正方形，f为正方形的对角线的交点，易得aoaf，而afb90，aob与cod为钝角，aod与boc为锐角，根据题意，i1i2oaobobocob(oaoc) obca |ob|ca| cosaob0，i1i3，作agbd于g，又abad，obbggdod，而oaaffcoc，|oa|ob|oc|od| ，而 cosaobcoscodocod，即i1i3. i3i14，且tsin 取最大值4时，求oaoc. 解(1) 由题设知ab(n 8，t)，aba，8n2t0. 又5|oa| |ab| ，564 (n8)2t25t2，得t8.当t8 时，n24；当t 8 时，n 8，ob(24 ，8) 或ob( 8， 8). (2) 由题设知ac(ksin 8，t) ，ac与a共线，t 2ksin 16，ts