高考数学备考训练-直线与椭圆

1、高考数学备考训练 -直线与椭圆一、选择题1给定四条曲线：x2y252；x29y241； x2y241；x24y21.其中与直线 xy50 仅有一个交点的曲线是 () abcd答案d 2直线 ykxk1 与椭圆x29y241 的位置关系为 () a相交b相切c相离d不确定答案a 解析直线方程可化为 y1k(x1)恒过(1,1)定点，而 (1,1)在椭圆内部，选 a. 3如图，椭圆中心在坐标原点，离心率为12，f 为椭圆左焦点，直线ab 与fc 交于 d 点，则 bdc 的正切值是 () a3 3 b33 c3 3 d33 答案a 解析 e12 a2c a2b2c2 b3c32a tan abob

2、a32tan dfbtan cfobc3 tan bdctan( abo dfb) 32313233 3，选 a. 4椭圆的焦点为 f1，f2，过 f1的最短弦 pq 的长为 10，pf2q 的周长为36，则此椭圆的离心率为 () a.33b.13c.23d.63答案c 解析pq 为过 f1垂直于 x轴的弦，则 q(c，b2a)， pf2q 的周长为 36， 4a36，a9，由已知b2a5，即a2c2a5，又 a9，解得 c6，解得ca23，即 e23. 5设直线 l：2xy20 关于原点对称的直线为l.若 l与椭圆 x2y241 的交点为 a、b，点 p 为椭圆上的动点，则使 pab的面积为

3、12的点 p 的个数为() a1 b2 c3 d4 答案b 解析由已知求得l：2xy20 与椭圆两交点分别为长、短轴端点，其中 a(0,2)，b(1,0)，|ab|5. 顶点p 到底边 ab 的距离 hs abp12|ab|55. 设与直线 l平行且距离为55的直线 l：2xyc0(c2)由两平行直线间距离公式，得d55|c 2 |2212|c2|5. c1 或 c3. 两平行线为 2xy10,2xy30. 联立2xy10，x2y241，2xy30，x2y241.对于方程组， 10，直线与椭圆有两个交点对于方程组，2b0)中心的一条弦， m 是椭圆上任意一点，且am、bm 与坐标轴不平行， k

4、am、kbm分别表示直线 am、bm的斜率，则 kam kbm() ac2a2bb2a2cc2b2da2b2答案b 解析解法一 (直接法 )：设 a(x1，y1)，m(x0，y0)，则 b(x1，y1)，则 kam kbmy0y1x0 x1y0y1x0 x1y20y21x20 x21b2a2x20b2 b2a2x21b2x20 x21b2a2. 解法二 (特值法 )：因为四个选项为确定值，取a(a,0)，b(a,0)，m(0，b)，可得 kam kbmb2a2. 二、填空题7过椭圆x2a2y2b21(ab0)的焦点 f 作弦 ab，若|af|d1，|fb|d2，那么1d11d2的值为 _答案2

5、ab2解析法一(特殊值法 )：令弦 ab 与 x 轴垂直d1d2b2a，1d11d22ab2. 法二：设 ab 的方程为 yk(xc) b2x2a2k2(xc)2a2b20 (a2k2b2)x22a2k2cxa2k2c2a2b20 x1x22a2k2ca2k2b2，x1 x2a2k2c2a2b2a2k2b21d11d22ae x1x2aex1aex22aca2a2k2ca2k2b2a2c x1x2c2a2 x1 x22ab2. 8若直线 ykx1(kr)与焦点在 x 轴上的椭圆x25y2t1 恒有公共点，则t 的范围为 _答案1,5) 9以椭圆x216y241 内的点 m(1,1)为中点的弦所

6、在的直线方程是_答案x4y50 解析由点差法知，从 m(1,1)为中点弦的斜率 k4161114. 弦的直线方程为 y114(x1)10. 已知椭圆x2a2y2b21(ab0)，以 o 为圆心，短半轴长为半径作圆o，过椭圆的长轴的一端点 p 作圆 o 的两条切线， 切点为 a、b，若四边形 paob 为正方形，则椭圆的离心率为 _答案22解析如题图，因为四边形 paob 为正方形，且 pa、pb 为圆 o 的切线，所以 oap 是等腰直角三角形，故a2b，所以 eca22. 11椭圆 mx2ny21 与直线 y1x 交于 m、n 两点，原点 o 与线段 mn的中点 p 连线的斜率为22，则mn

7、的值是 _答案22解析由y1x，mx2ny21.消去 y，得(mn)x22nxn10，则 mn 的中点 p 的坐标为 (nmn，mmn)， kopmn22. 三、解答题12 已知椭圆x22y21 及点 b(0， 2)， 过左焦点 f1与 b 的直线交椭圆于 c、d 两点，f2为其右焦点，求 cdf2的面积解析 f1(1,0) 直线cd 方程为 y2x2，由y2x2x22y21得 9x216x60，而 0，设 c(x1，y1)，d(x2，y2)，则x1x2169x1 x223|cd|1k2x1x224x1x2， |cd|516924231092. f2到直线 dc 的距离 d4 55，故 s c

8、df212|cd| d4910. 13(2011 盐城)在平面直角坐标系xoy 中，经过点 (0，2)且斜率为 k 的直线 l 与椭圆x22y21 有两个不同的交点p 和 q. (1)求 k 的取值范围；(2)设椭圆与 x 轴正半轴、 y轴正半轴的交点分别为a、b，是否存在常数 k，使得向量 opoq与ab共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由解析(1)由已知条件，直线l 的方程为 ykx2，代入椭圆方程得x22(kx2)21，整理得 (12k2)x22 2kx10直线 l 与椭圆有两个不同的交点p 和 q 等价于 8k24(12k2)4k220，解得 k22.即 k 的取值范围为(，

9、22)(22，)(2)设 p(x1，y1)，q(x2，y2)，则opoq(x1x2，y1y2)，由方程，x1x24 2k12k2又 y1y2k(x1x2)2 2所以opoq与 ab 共线等价于x1x22(y1y2)，将代入上式，解得k22. 由(1)知 k22，故没有符合题意的常数k. 14 (2011 合肥质检 )已知椭圆 c的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过 a(0,2)、b(12，2)(1)求椭圆 c 的方程；(2)设过 e(1,0)的直线 l 与 c 交于两个不同点 m、n，求em en的取值范围解析(1)设椭圆 c 的方程为 mx2ny21，由椭圆 c 过 a(0,2)、b(12，2

10、)得：m1222n14n1?m2n14. 椭圆c 的方程为： 8x2y24. (2)当过 e(1,0)的直线 l 与 x 轴垂直时， l 与曲线 c 无交点，不合题意，设直线 l 的方程为： yk(x1)，l 与曲线 c 交于 m(x1，y1)、n(x2，y2)，由yk x18x2y24 ? (8k2)x22k2xk240， 4k44 8k2k24 0? k28x1x22k28k2x1x2k248k2em(x11，y1)，en(x21，y2)， em en(x11，y1) (x21，y2)x1x2x1x21y1y2x1x2x1x21k2(x1x2x1x21)(1k2)(k24k282k2k28

11、1)4 1k2k28428k28. 0k2b0)的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为3. (1)求椭圆 c 的方程；(2)设直线 l 与椭圆 c 交于 a、b 两点，坐标原点 o 到直线 l 的距离为32，求aob面积的最大值解析(1)设椭圆的半焦距为c，依题意ca63，a3， b1，所求椭圆方程为x23y21. (2)设 a(x1，y1)，b(x2，y2)当 abx 轴时， |ab|3. 当 ab 与 x 轴不垂直时，设直线ab 的方程为 ykxm. 由已知|m|1k232，得 m234(k21)把 ykxm 代入椭圆方程，整理得(3k21)x26kmx3m230， x1x26km3

12、k21，x1x23 m213k21. |ab|2(1k2)(x2x1)2(1k2)36k2m23k21212 m213k2112 k21 3k21m23k2123 k21 9k213k212312k29k46k213129k21k26(k0) 3122364. 当且仅当 9k21k2，即 k33时等号成立当 k0 时， |ab|3，综上所述 |ab|max2. 当 |ab|最大时，aob 面积取最大值s12|ab|max32321设 a、b 是椭圆 3x2y2 上的两点，点 n(1,3)是弦 ab 的中点，弦 ab的垂直平分线与椭圆相交于c、d 两点(1)求弦 ab 所在直线的方程，并确定 的取值范围；(2)求以弦 cd 的中点 m 为圆心且与直线 ab 相切的圆的方程解(1)设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则有3x21y213x22y22，整理得 3(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0. 由题意知， x1x2， kaby1y2x1x23 x1x2y1y2. n(1,3)是弦 ab 的中点， x1x22，y1y26， kab1，弦ab 所在直线的方程为y3(x1)，即 xy40. 又 n(1,3)在椭圆内， 3123212， 的取值范围是 (12， )(2)弦cd 垂直平分弦 ab，弦cd 所在直线的方程为y