高考数学新增分大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.7立体几何的综合问题讲义(含解析)-人教

1、. .专心 . 8.7立体几何的综合问题最新考纲考情考向分析1. 理解空间点、直线、平面的位置关系的定义，理解直线与平面所成角的概念，了解二面角及其平面角的概念. 2. 了解直线的方向向量与平面的法向量. 3. 了解求两直线夹角、直线与平面所成角、二面角的向量方法. 利用线面关系的判定、性质定理证明空间的平行和垂直；利用空间角的概念或借助空间向量计算空间角( 以线面角为主) ，题型为解答题，考查学生的空间想象能力和计算能力. 1. 直线的方向向量与平面的法向量的确定(1) 直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量. (2) 平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面内两不共线向

2、量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为na0，nb0.2. 空间中平行、垂直关系的证明方法(1) 利用空间平行、垂直关系的转化：线线关系线面关系面面关系 . (2) 利用直线的方向向量和平面的法向量的关系. 3. 求两条异面直线所成的角(1) 用“平移法”作出异面直线所成角( 或其补角 ). (2) 用“向量法”求两直线的方向向量所成的锐角. 4. 求直线与平面所成的角(1) 按定义作出线面角( 即找到斜线在平面内的射影) 解三角形 . (2) 直线与平面所成角的求法设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，a与n. .专心 . 的夹角为，则 sin|cos| |a

3、n|a|n|. 5. 求二面角的大小(1) 如图，ab，cd分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小ab，cd . (2) 如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足 |cos| |cos n1，n2| ，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角 (或其补角). 题组一思考辨析1. 判断下列结论是否正确( 请在括号中打“”或“”)(1) 平面的单位法向量是唯一确定的.( ) (2) 若两平面的法向量平行，则两平面平行.( ) (3) 若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.( ) (4) 直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角

4、.( ) (5) 两异面直线夹角的范围是0，2，直线与平面所成角的范围是0，2，二面角的范围是0 ，.() (6) 若二面角a的两个半平面，的法向量n1，n2所成角为，则二面角a的大小是 .( ) 题组二教材改编2.p104t2 设u，v分别是平面，的法向量，u( 2，2，5) ，当v (3 ， 2，2) 时，与的位置关系为_； 当v(4， 4， 10) 时，与的位置关系为 _. 答案解析当v (3， 2，2)时，. .专心 . uv( 2，2，5)(3， 2，2)0 得. 当v(4 ， 4， 10) 时，v 2u得. 3.p111t3 如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，o是底面正

5、方形abcd的中心，m是d1d的中点，n是a1b1的中点，则直线on，am的位置关系是_. 答案垂直解析以a为原点，分别以ab，ad，aa1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示. 设正方体的棱长为1，则a(0 ， 0，0) ，m0，1，12，o12，12，0 ，n12，0， 1 ，amon 0，1，12 0，12，1 0，on与am垂直 . 4.p104t2 已知两平面的法向量分别为m (0，1，0) ，n(0 ，1，1)，则两平面所成的二面角为 _. 答案45或 135解析cosm，nm n|m|n|11222，即m，n45.两平面所成二面角为45或 18045135.题组三易

6、错自纠5. 直线l的方向向量a(1 ， 3，5) ，平面的法向量n( 1，3， 5) ，则有 ( ) a.lb.lc.l与斜交d.l?或l. .专心 . 答案b 解析由an知，na，则有l，故选 b. 6. 已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n12，则l与所成的角为 _. 答案30解析设l与所成角为，cosm，n12，sin|cos m，n| 12，090，30.题型一证明平行或垂直问题1.(2018 台州调研) 如图所示， 在正方体abcda1b1c1d1中，棱长为a，m，n分别为a1b和ac上的点，a1man2a3，则mn与平面bb1c1c的位置关系是 ( )

7、 a.相交b.平行c.垂直d.mn在平面bb1c1c内答案b 解析以点c1为坐标原点，分别以c1b1，c1d1，c1c所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由于a1man2a3，则ma，2a3，a3，n2a3，2a3，a，mn a3，0，2a3. 又c1d1平面bb1c1c，. .专心 . 所以c1d1(0 ，a，0) 为平面bb1c1c的一个法向量. 因为mnc1d1 0，所以mnc1d1，又mn?平面bb1c1c，所以mn平面bb1c1c. 2.(2010 浙江 )设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是( ) a.若lm，m?，则lb.若l，lm，则m

8、c.若l，m?，则lmd.若l，m，则lm答案b 解析对于 a，由lm及m?，可知l与的位置关系有平行、相交或在平面内三种，故a不正确 .b 正确 . 对于 c， 由l，m?知，l与m的位置关系为平行或异面，故 c不正确 .对于 d ，由l，m知，l与m的位置关系为平行、异面或相交，故d不正确 . 3. 如图，在三棱锥pabc中，pa底面abc，bac90. 点d，e，n分别为棱pa，pc，bc的中点，m是线段ad的中点，paac4，ab2. 求证：mn平面bde. 证明如图，以a为原点，分别以ab，ac，ap的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.由题意，可得a(0 ，0，0)

9、，b(2 ，0，0) ，c(0 ，4，0) ，p(0 ，0，4) ，d(0 ，0， 2) ，e(0，2， 2)，m(0 ，0，1) ，n(1， 2，0). de(0， 2，0) ，db(2 ，0， 2). 设n(x，y，z) 为平面bde的一个法向量，. .专心 . 则nde0，ndb0，即2y0，2x2z0.不妨设z1，可得n(1 ， 0，1). 又mn(1 ，2， 1) ，可得mnn0. 因为mn?平面bde，所以mn平面bde. 4. 如图所示，已知四棱锥pabcd的底面是直角梯形，abcbcd90，abbcpbpc2cd，侧面pbc底面abcd.证明：(1)pabd；(2) 平面pad

10、平面pab. 证明(1) 取bc的中点o，连接po，平面pbc底面abcd，pbc为等边三角形，平面pbc底面abcdbc，po? 平面pbc，po底面abcd. 以bc的中点o为坐标原点，以bc所在直线为x轴，过点o与ab平行的直线为y轴，op所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 不妨设cd1，则abbc2，po3，a(1， 2，0)，b(1 ，0，0) ，d(1， 1，0) ，p(0 ，0，3) ，bd( 2， 1，0) ，pa(1 ， 2，3). . .专心 . bdpa( 2)1 ( 1)( 2) 0( 3) 0，pabd，pabd. (2) 取pa的中点m，连接dm，则m1

11、2， 1，32. dm32，0，32，pb(1 ，0，3) ，dmpb3210032( 3) 0，dmpb，即dmpb. dmpa3210( 2)32( 3) 0，dmpa，即dmpa. 又papbp，pa，pb? 平面pab，dm平面pab. dm? 平面pad，平面pad平面pab. 思维升华 (1) 证明平行或垂直问题要以两条直线的平行或垂直为基础，灵活转化线线、线面、面面的关系 . (2) 利用向量法证明平行、垂直问题时， 要充分应用直线的方向向量和平面的法向量，将空间线面关系转化为向量的关系. 题型二空间角的计算命题点 1 求直线和平面所成的角例 1 (2018温州高考适应性测试)

12、如图，在四面体abcd中，abbccd33bd12ad1，平面abd平面cbd. (1) 求ac的长；(2) 点e是线段ad的中点，求直线be与平面acd所成角的正弦值. . .专心 . 解(1) ab 1，bd3，ad2，ad2ab2bd2，即abbd. 又平面abd平面cbd，平面abd平面cbdbd，ab? 平面abd，ab平面cbd，abbc，abbc1，ac2. (2) 方法一由 (1) 可知ab平面cbd，如图， 过点b作bgdc的延长线于点g，连接ag，则有cd平面abg，平面agd平面abg，过点b作bhag于点h，平面agd平面abgag，bh平面agd，连接he，则beh为

13、直线be与平面acd所成的角 . 由bccd1，bd3，易得bcd120，bg32. 又ab1，ag72，bh217. 又be12ad 1，sin behbhbe217，即直线be与平面acd所成角的正弦值为217. 方法二在平面bcd上作bfbc，分别以b为原点，bc，bf，ba所在直线为x轴，y轴，z. .专心 . 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则有c(1，0，0) ，d32，32，0 ，a(0 ，0，1) ，设平面acd的法向量为n (x，y，z) ，ac(1 ，0， 1) ，cd12，32，0 ，又nac0，ncd0，xz0，12x32y0，令y 1，则xz3，n(3， 1，3) 是

14、平面acd的一个法向量. 又be34，34，12，设直线be与平面acd所成的角为，sin|cos be，n| |ben|be|n|317217. 命题点 2 求二面角例 2 (2018浙江名校( 诸暨中学 ) 交流卷四 ) 如图，已知abc为等边三角形，m为ab的中点，aa1，bb1分别垂直平面abc于点a，b，aa1ab，bb112ab，mna1b1，垂足为n. (1) 求证：cna1b1；(2) 求平面abc与平面a1b1c所成的锐二面角的正切值. (1) 证明因为aa1，bb1分别垂直平面abc于点a，b，所以平面aa1b1b平面abc，又m为ab的中点，所以cmab，于是cm平面a1

15、abb1，所以cma1b1. 又因为mna1b1，cmmnm，所以a1b1平面cmn，又cn? 平面cmn，. .专心 . 所以a1b1cn. (2) 解方法一如图，延长ab，a1b1相交于点d，连接cd，则cd为所求二面角的棱. 因为bb112aa1，bb1aa1，所以dbda12，于是bdbcba，于是acd90，即cdca. 又因为cdaa1，caaa1a，所以cd平面aa1c，所以cdca1.于是a1ca即为所求二面角的平面角. 在 rta1ac中，aa1abac，所以a1ca45，所以 tan a1ca1. 综上，平面abc与平面a1b1c所成的锐二面角的正切值为1. 方法二如图，以

16、m为原点，ma为x轴，mc为y轴建立空间直角坐标系，设ab2. 则c(0，3，0) ，a1(1 ，0，2) ，b1( 1，0，1) ，ca1(1 ，3，2) ，a1b1 ( 2，0，1) ，设平面a1b1c的法向量为n1(x，y，z). 由ca1n10，a1b1 n10，得x3y2z0，2xz0，取x1，则y3，z 2，故n1 (1，3， 2). 设所求二面角的大小为，又平面abc的一个法向量为n2(0 ，0，1). . .专心 . 所以 cos|n1n2|n1|n2|22222，所以 tan1. 思维升华 (1) 利用定义法计算空间角的三步曲：一作二证三计算. (2) 利用向量法求角时，可利

17、用基底法或建立空间直角坐标系，要注意两个向量的夹角和所求角的关系 . 跟踪训练(2018宁波模拟 ) 如图，四边形abcd为梯形，abcd，c60，点e在线段cd上， 满足becd， 且ceab14cd2， 现将ade沿ae翻折到ame位置，使得mc210. (1) 证明：aemb；(2) 求直线cm与平面ame所成角的正弦值. (1) 证明方法一在梯形abcd中，连接bd交ae于点n，由条件易得bd43，bc2bd2cd2，故bcbd. 又bcae，aebd，从而aebn，aemn，且bnmnn，ae平面mnb，又mb? 平面mnb，aemb. 方法二由mede6，ce2，mc210，得me

18、2ce2mc2，故ceme. 又cebe，且mebee，ce平面bem. mb? 平面bem，cemb，又abce，abmb. 易得amad27，. .专心 . 则在 rtabm中，mb 26，又be23，me2mb2be2，故bemb. 又abbeb，mb平面abe，又ae? 平面abe，aemb. (2) 解方法一设直线mc与平面ame所成角为，则 sinhmc，其中h为点c到平面ame的距离 . aebc，点c到平面ame的距离即为点b到平面ame的距离 . 由vmabe13sabembvbame13sameh，得hsabembsame263，sinhmc1515. 方法二mb平面abc

19、e，建立空间直角坐标系如图所示，则a(0，2，0)，c(23， 2，0) ，e(23，0，0) ，m(0 ，0，26) ，则am(0 ， 2，26) ，ae(23， 2，0) ，mc(23， 2， 26). 设平面ame的法向量为m (x，y，z) ，由mam0，mae0，可取m(2，6，1). 设直线cm与平面ame所成角为，. .专心 . 则 sin|cos m，mc| mmc|m|mc|1515. 利用空间向量求空间角例(15 分) 如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是边长为4 的正方形，侧面pcd为正三角形且二面角pcda的大小为60.(1) 设侧面pad与侧面pbc的交线为m，

20、求证：mbc；(2) 设直线ab与侧面pbc所成的角为，求 sin的值 . 思维点拨本题主要考查线线平行的证明，线面角的正弦值的求法以及空间中线线、线面、面面间的位置关系等，意在考查考生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算. 规范解答(1) 证明因为bcad，bc?平面pad，ad? 平面pad，所以bc侧面pad. 又侧面pad侧面pbcm，所以mbc.5分 (2) 解方法一取cd的中点m，ab的中点n，连接pm，mn，则pmcd，mncd. 所以pmn是侧面pcd与底面abcd所成二面角的平面角，从而pmn60.作pomn于点o，则p

21、o底面abcd. 因为cm2，所以pm 23，. .专心 . 所以om3，op3.9 分 以o为原点，on所在直线为x轴，op所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则a(43， 2，0)，b(4 3， 2，0)，c( 3， 2，0)，p(0 ， 0，3) ，ab(0 ，4，0) ，pb(43，2， 3) ，pc( 3，2， 3). 设n(x，y，z) 是平面pbc的法向量，则43x 2y3z0，3x2y3z0，解得x0，2y3z.取n(0 ，3，2). 则 sin|cos n，ab| 1213431313.15分 方法二如图，取cd的中点m，ab的中点n，连接pm，mn，则pmcd，m

22、ncd，所以pmn是侧面pcd与底面abcd所成二面角的平面角，从而pmn60.作pomn于点o，则po底面abcd. 因为cm2，所以pm 23，所以op 3.9 分 作oeab交bc于点e，连接pe. 因为bcpo，bcoe，opoeo，所以bc平面poe. 从而平面poe平面pbc. 所以peo就是直线oe即直线ab与平面pbc所成的角 . 所以peo. 在 rtpoe中， tanpooe32，故 sin31313.15分 利用向量求空间角的步骤. .专心 . 第一步：建立空间直角坐标系，确定点的坐标；第二步：求向量( 直线的方向向量、平面的法向量) 坐标；第三步：计算向量的夹角( 或函

23、数值 ) ，并转化为所求角. 1. 若直线l的方向向量为a(1 ，0，2) ，平面的法向量为n( 2，1，1) ，则 ( ) a.lb.lc.l?或ld.l与斜交答案c 解析a(1 ，0，2) ，n( 2，1， 1) ，an 0，即an，l或l?. 2. 如图，在空间直角坐标系中，有直三棱柱abca1b1c1，cacc12cb，则直线bc1与直线ab1所成角的余弦值为( ) a.55b.53c.56d.54答案a 解析设ca2，则c(0 ，0，0) ，a(2， 0，0) ，b(0 ， 0，1) ，c1(0 ，2，0) ，b1(0 ，2， 1)，可得向量ab1( 2， 2， 1)，bc1(0 ，

24、 2， 1) ， 由向量的夹角公式得cos ab1，bc1 ab1bc1|ab1|bc1|04144 104 11555，故选 a. 3. 在正方体abcda1b1c1d1中，点e为bb1的中点，则平面a1ed与平面abcd所成的锐二面角的余弦值为 ( ) a.12b.23c.33d.22答案b . .专心 . 解析以a为原点，ab，ad，aa1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系axyz，设棱长为1，则a1(0， 0，1) ，e1，0，12，d(0 ，1，0) ，a1d(0 ，1， 1) ，a1e 1，0，12. 设平面a1ed的一个法向量为n1(1 ，y，z) ，则

25、有a1dn1 0，a1en1 0，即yz0，112z 0，y2，z2，n1(1，2，2). 平面abcd的一个法向量为n2(0，0，1)，cosn1，n223123，即所成的锐二面角的余弦值为23. 4.(2018 金华模拟) 如图，平面，l，a，b，a，b到l的距离分别是a和b，ab与，所成的角分别是和，线段ab在，内的射影长分别是m和n，若ab，则 ( ) a.，mnb.，mnc.，mnd.n答案d . .专心 . 解析由题意得ab2a2n2b2m2，ab，tanan，tanbm，解得mn，故选 d. 5. 已知正三棱柱abca1b1c1，abaa12，则异面直线ab1与ca1所成角的余弦

26、值为( ) a.0b. 14c.14d.12答案c 解析以a为原点，在平面abc内过a作ac的垂线为x轴，以ac所在直线为y轴，以aa1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则a(0，0，0)，b1(3，1，2) ，a1(0， 0，2)，c(0 ， 2，0) ，ab1 (3，1，2) ，a1c(0 ，2， 2) ，设异面直线ab1和a1c所成的角为，则 cos|ab1a1c|ab1|a1c| 2|8814. 异面直线ab1和a1c所成的角的余弦值为14. 6.(2018 宁波十校高三适应性考试) 如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，点p是棱ab上的动点 (p点可以运动到端点a和b) ，

27、设在运动过程中，平面pdb1与平面add1a1所成的最小角为，则 cos等于 ( ) . .专心 . a.22b.23c.33d.63答案d 解析以点d为坐标原点，da，dc，dd1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，apa(0a1)，则易得d(0 ，0，0) ，p(1 ，a，0) ，b1(1 ，1，1) ，则dp(1 ，a，0) ，db1(1 ，1，1) ，设平面pdb1的法向量为n (x，y，z) ，则dpnxay0，db1nxyz0，令xa，得平面pdb1的一个法向量为n(a， 1，a1) ，易得平面add1a1的一个法向量为m(0，1，0)，由图易得

28、平面pdb1与平面add1a1所成的二面角 为 锐 角 ， 设 其 为， 则 其 余 弦 值 为cosnm|n|m| 1|a2 12 a1212a12232，易得当二面角取得最小值时，a12，此时有cos63，故选 d. 7. 在三棱锥pabc中，pa平面abc，bac90，d，e，f分别是棱ab，bc，cp的中点，abac 1，pa 2，则直线pa与平面def所成角的正弦值为_. 答案55解析以a为原点，ab，ac，ap所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由abac1，pa2，. .专心 . 得a(0，0，0)，b(1 ，0，0) ，c(0，1，0)，p(0 ，0，2

29、) ，d12，0， 0，e12，12， 0 ，f0，12，1 . pa(0 ，0， 2) ，de 0，12，0 ，df 12，12，1 . 设平面def的法向量为n (x，y，z) ，则由nde0，ndf0，得y0，xy2z 0.取z1，则n(2 ，0，1)，设直线pa与平面def所成的角为，则 sin|cos n，pa| |pan|pa|n|55，直线pa与平面def所成角的正弦值为55. 8. 如图，在正方形abcd中，efab，若沿ef将正方形折成一个二面角后，aeedad112，则af与ce所成角的余弦值为_. 答案45解析aeedad112，aeed，即ae，de，ef两两垂直，所以

30、建立如图所示的空间直角坐标系，设abefcd2，则e(0，0，0)，a(1 ，0，0) ，f(0，2，0)，c(0 ，2，1) ，af( 1，2， 0) ，ec(0 ， 2，1) ，cosaf，ecafec|af|ec|45，af与ce所成角的余弦值为45. . .专心 . 9. 如图所示，在三棱柱abca1b1c1中，aa1底面abc，abbcaa1，abc90，点e，f分别是棱ab，bb1的中点，则直线ef和bc1所成的角是 _. 答案60解析以b点为坐标原点， 以bc所在直线为x轴，ba所在直线为y轴，bb1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系. 设abbcaa1 2，则c1(2， 0，2

31、) ，e(0 ， 1，0) ，f(0，0，1) ，则ef(0 ， 1，1) ，bc1(2 ，0，2) ，efbc12，cosef，bc1efbc1|ef|bc1|222212，异面直线所成角的范围是(0，90 ，ef和bc1所成的角为60.10. 已知点e，f分别在正方体abcda1b1c1d1的棱bb1，cc1上，且b1e2eb，cf 2fc1，则平面aef与平面abc所成的锐二面角的正切值为_. 答案23解析方法一延长fe，cb相交于点g，连接ag，如图所示 . . .专心 . 设正方体的棱长为3，则gbbc3，作bhag于点h，连接eh，则ehb为所求锐二面角的平面角 . bh322，e

32、b1，tan ehbebbh23. 方法二如图，以点d为坐标原点，da，dc，dd1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系dxyz，设da1，由已知条件得a(1 ， 0，0) ，e1，1，13，f0，1，23，ae 0， 1，13，af 1，1，23，设平面aef的法向量为n (x，y，z) ，由nae0，naf0，得y13z0，xy23z0.令y1，z 3，x 1，则n( 1，1， 3) ，取平面abc的法向量为m (0 ，0， 1) ，设平面aef与平面abc所成的锐二面角为，则 cos|cos n，m| 31111，tan23. 11.(2018 嘉兴基础测试) 如图，在四棱

33、锥pabcd中，底面abcd为菱形，pa平面abcd，paab 2，e为cd的中点，abc60. .专心 . (1) 求证：ae平面pab；(2) 求直线ae与平面pcd所成角的正弦值. (1) 证明由题易知adeabc60，adcd，e是cd的中点，aecd. 又abcd，aeab. pa平面abcd，paae，又paaba，ae平面pab. (2) 解方法一连接pe，过点a作ahpe于点h( 图略 ). cdea，cdpa，eapaa，cd平面pae，cdah. 又ahpe，cdpee，cd，pe? 平面pcd，ah平面pcd. aep为直线ae与平面pcd所成的角 . 在 rtpae中，

34、pa2，ae3，pe7，sin aeppape27277，直线ae与平面pcd所成角的正弦值为277. 方法二以a为坐标原点，ab，ae，ap所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系axyz，. .专心 . 则a(0，0，0)，p(0 ，0，2) ，e(0，3，0) ，c(1，3， 0)，d( 1，3，0) ，ae(0 ，3，0) ，pc(1 ，3， 2) ，dc(2 ，0，0). 设平面pcd的法向量为n (x，y，z) ，则pcn0，dcn0，即x3y 2z0，2x0，令y1，则n 0，1，32为平面pcd的一个法向量，设直线ae与平面pcd所成的角为，则 sin|co

35、s ae，n| aen|ae| |n|277. 直线ae与平面pcd所成角的正弦值为277. 12.(2018 浙江“七彩阳光”联盟联考) 如图，四边形abcd为正方形， 四边形pdce为直角梯形，pdce，pdc90，平面abcd平面pdce，且pdad2ec2. (1) 若pe和dc的延长线交于点f，求证：bf平面pac；(2) 若q为ec边上的动点，求直线bq与平面pdb所成角的正弦值的最小值. (1) 证明在梯形pdce中，pd2ec，c为df的中点，cfcdab，又abcf，四边形abfc为平行四边形，bfac，又ac? 平面pac，bf?平面pac，bf平面pac. (2) 解方法

36、一设点q在平面pbd上的射影为o，连接oq，ob( 图略 ) ，则qbo为直线bq与平面pdb所成的角 . ecpd，ec?平面pbd，ec平面pbd. . .专心 . 四边形abcd为正方形，acbd，又平面abcd平面pdce，平面abcd平面pdcecd，pddc，pd? 平面pdce，pd平面abcd，pdac，又bdpdd，ac平面pbd，点c到平面pbd的距离为2. ec平面pbd，点q到平面pbd的距离oq2. 令cqk(0k1)，bqk24，sin qbooqbq2k242124105. 故直线bq与平面pdb所成角的正弦值的最小值为105. 方法二平面abcd平面pdce，平

37、面abcd平面pdcecd，pddc，pd? 平面pdce，pd平面abcd，pdda. 以d为坐标原点，da，dc，dp的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，易知a(2， 0，0)，c(0 ，2，0) ，b(2，2，0) ，平面pdb的一个法向量为ac( 2，2， 0) ，设q(0，2，t)(0 t1)，bq( 2，0，t) ，记直线bq与平面pdb所成的角为，sin|bqac|bq|ac|48t242124105. 故直线bq与平面pdb所成角的正弦值的最小值为105. 13.(2019 金华模拟) 已知点p是正方体abcda1b1c1d1表面上一动点，且满

38、足pa2pb，设. .专心 . pd1与平面abcd所成的角为，则的最大值为 ( ) a.4b.3c.6d.2答案a 解析以b为坐标原点，bc，ba，bb1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，p(x，y，z) ，则a(0 ，2，0)，因为pa2pb，所以x02y22z022x2y2z2，即x2y232z2169，所以点p的轨迹为以点q0，23， 0 为球心，43为半径的球与正方体表面的交线， 即为如图的emg、gsf、enf，要使得pd1与底面abcd所成的角最大， 则pd1与底面abcd的交点r到点d的距离最短，从而点p在 enf 上，且在qd上，

39、则dpdq43103432，从而 tan的最大值为1，故的最大值为4. 14.(2018 浙江名校联盟联考) 在直三棱柱abca1b1c1中，bac2，abacaa11，已知g和e分别为a1b1和cc1的中点，d与f分别为线段ac和ab上的动点 (不包括端点 ) ，若gdef，则线段df的长度的取值范围为_. 答案55， 1解析如图，以a为坐标原点，ab，ac，aa1的方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系axyz，. .专心 . 则e0，1，12，g12，0，1 ，令d(0，b，0)，f(a，0，0) ，0a1，0b1，则dg12，b，1 ，efa， 1，12，dgef，dgef 0

40、，12ab120，即a12b，而 0a1，0b12，dfa2b212b2b25b24b15b25215，当b25时，df取得最小值55，又 0b12，df1，故df的取值范围是55， 1 . 15. 如图，在长方体abcda1b1c1d1中，abad2，aa12， 点p为bdc1内一点 (不含边界 )，则a1pc1不可能为 ( ) a.等腰三角形b.锐角三角形c.直角三角形d.钝角三角形答案a 解析连接ac与bd交于点o，连接a1o，c1o，a1b，a1d，依题意得，acbd，aa1bd，又acaa1a，bd平面aa1c1c. bda1o，bdc1o，故a1oc1为二面角a1bdc1的平面角. 易知a1oc1o2，a1c122，由勾股定理的逆定理，知a1oc190，故平面a1bd平面c1bd. 连接po， 若a1pc1为直角， 即a1ppc1， 又a1opc1，a1pa1oa1， c1p平面poa1