高考数学难点突破_难点26__垂直与平行

1、难点 26 垂直与平行垂直与平行是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解线面平行与垂直、面面平行与垂直的判定与性质，并能利用它们解决一些问题. 难点磁场( )已知斜三棱柱abc a1b1c1中， a1c1=b1c1=2， d、 d1分别是 ab、 a1b1的中点，平面 a1abb1平面 a1b1c1，异面直线ab1和 c1b 互相垂直 . (1)求证： ab1c1d1；(2)求证： ab1面 a1cd；(3)若 ab1=3，求直线 ac 与平面 a1cd 所成的角 . 案例探究例 1两个全等的正方形abcd 和 abef 所在平面相交于ab，mac，nfb，且 am =

2、fn，求证： mn平面bce. 命题意图：本题主要考查线面平行的判定，面面平行的判定与性质，以及一些平面几何的知识，属级题目. 知识依托： 解决本题的关键在于找出面内的一条直线和该平面外的一条直线平行，即线(内)线(外)线(外)面 .或转化为证两个平面平行. 错解分析：证法二中要证线面平行，通过转化证两个平面平行，正确的找出mn 所在平面是一个关键. 技巧与方法：证法一利用线面平行的判定来证明.证法二采用转化思想，通过证面面平行来证线面平行. 证法一：作mp bc，nqbe，p、q 为垂足，则mpab，nqab. mpnq，又 am=nf，ac=bf，mc=nb， mcp=nbq=45rtmc

3、p rtnbqmp=nq,故四边形 mpqn 为平行四边形mn pqpq平面 bce，mn 在平面 bce 外，mn平面 bce. 证法二：如图过m 作 mh ab 于 h，则 mh bc，abahacam连结 nh，由 bf=ac，fn=am，得abahbffnmn平面 bce. 例 2在斜三棱柱a1b1c1abc 中，底面是等腰三角形，ab=ac，侧面bb1c1c底面abc. (1)若 d 是 bc 的中点，求证：ad cc1；(2)过侧面 bb1c1c 的对角线bc1的平面交侧棱于m，若 am =ma1，求证：截面mbc1侧面 bb1c1c；(3)am=ma1是截面 mbc1平面 bb1

4、c1c 的充要条件吗？请你叙述判断理由. 命题意图：本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质，属级题目. 知识依托：线面垂直、面面垂直的判定与性质. 错解分析： (3)的结论在证必要性时，辅助线要重新作出. 技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条件的思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙作辅助线. (1)证明： ab=ac，d 是 bc 的中点， adbc底面 abc平面 bb1c1c， ad侧面 bb1c1cadcc1. (2)证明：延长b1a1与 bm 交于 n，连结 c1nam=ma1， na1=a1b1 a1b1=a1c1，a1c1=a1n=a1b1c

5、1nc1b1底面 nb1c1侧面 bb1c1c， c1n侧面 bb1c1c截面 c1nb侧面 bb1c1c截面 mbc1侧面 bb1c1c. (3)解：结论是肯定的，充分性已由(2)证明，下面证必要性. 过 m 作 mebc1于 e，截面mbc1侧面 bb1c1cme侧面 bb1c1c，又 ad侧面 bb1c1c. mead， m、e、d、a 共面am侧面 bb1c1c，am decc1am ， de cc1d 是 bc 的中点， e 是 bc1的中点am =de=21211ccaa1， am=ma1. 锦囊妙计垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系：1.平行转化2.垂直转化每

6、一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的. 例如：有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直. 歼灭难点训练一、选择题1.( )在长方体 abcd a1b1c1d1中， 底面是边长为2的正方形，高为 4， 则点 a1到截面 ab1d1的距离是 ( ) a.38b.83c.34d.432.( )在直二面角 l中，直线 a ,直线 b ,a、b 与 l 斜交，则 ( ) a.a 不和 b 垂直，但可能ab b.a 可能和 b 垂直，也可能abc.a 不和 b 垂直， a 也不和 b 平行d.a 不和 b

7、 平行，但可能ab二、填空题3.( )设 x、y、z 是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“x z 且 yzxy”为真命题的是_(填序号 ). x、y、z 是直线x、y 是直线， z 是平面z 是直线， x、y 是平面x、y、z 是平面4.( )设 a,b 是异面直线，下列命题正确的是_. 过不在a、 b 上的一点p 一定可以作一条直线和a、b 都相交过不在a、 b 上的一点p 一定可以作一个平面和a、b 都垂直过 a 一定可以作一个平面与b 垂直过 a 一定可以作一个平面与b 平行三、解答题5.( )如图，在四棱锥pabcd 中，底面 abcd 是矩形，侧棱p a 垂直于底面， e、f

8、 分别是 ab、 pc 的中点. (1)求证： cdpd ; (2)求证： ef平面 p ad; (3)当平面 pcd 与平面 abcd 成多大角时，直线ef平面 pcd ？6.( )如图，在正三棱锥a bcd 中， bac =30， ab=a,平行于 ad 、bc 的截面 efgh 分别交 ab、bd、dc、ca 于点 e、f、g、h. (1)判定四边形efgh 的形状，并说明理由. (2)设 p 是棱 ad 上的点，当ap 为何值时，平面pbc平面 efgh ，请给出证明. 7.( )如图，正三棱柱abc a1b1c1的各棱长都相等，d、 e 分别是 cc1和 ab1的中点，点f 在 bc

9、 上且满足 bffc=13. (1)若 m 为 ab 中点，求证：bb1平面 efm ；(2)求证： efbc；(3)求二面角 a1b1dc1的大小 . 8.( )如图，已知平行六面体abcd a1b1c1d1的底面是菱形且c1cb= c1cd=bcd =60, (1)证明： c1cbd；(2)假定 cd=2，cc1=23，记面 c1bd 为 ,面 cbd 为,求二面角 bd的平面角的余弦值；(3)当1cccd的值为多少时，可使a1c面 c1bd？参考答案难点磁场1.(1)证明： a1c1=b1c1，d1是 a1b1的中点， c1d1a1b1于 d1，又平面a1abb1平面 a1b1c1， c

10、1d1平面 a1b1ba，而 ab1平面 a1abb1， ab1c1d1. (2)证明：连结d1d， d 是 ab 中点， dd1cc1，c1d1cd，由 (1)得 cdab1，又 c1d1平面 a1abb1，c1b ab1，由三垂线定理得bd1ab1，又 a1dd1b， ab1a1d 而 cda1d=d， ab1平面 a1cd. (3)解：由 (2)ab1平面 a1cd 于 o，连结 co1得 aco 为直线 ac 与平面 a1cd 所成的角， ab1=3，ac=a1c1=2，ao=1， sinoca=21acao， oca=6. 歼灭难点训练一、1.解析：如图， 设 a1c1b1d1=o1

11、，b1d1a1o1，b1d1aa1，b1d1平面 aa1o1，故平面 aa1o1ab1d1，交线为 ao1，在面 aa1o1内过 a1作 a1h ao1于 h，则易知a1h 长即是点a1到平面 ab1d1的距离，在rta1o1a 中，a1o1=2，ao1=32，由 a1o1a1a=hao1,可得 a1h=34. 答案： c2.解析：如图，在l 上任取一点p，过 p 分别在 、 内作 a a,b b,在 a上任取一点a，过 a 作 acl，垂足为 c，则 ac,过 c 作 cbb交 b于 b，连 ab，由三垂线定理知abb， apb 为直角三角形,故 apb 为锐角 . 答案： c 二、3.解析

12、： 是假命题， 直线 x、y、z 位于正方体的三条共点棱时为反例，是真命题， 是假命题， 平面 x、y、z 位于正方体的三个共点侧面时为反例. 答案：4.三、 5.证明： (1)pa底面 abcd， ad 是 pd 在平面 abcd 内的射影，cd平面 abcd 且 cdad， cd pd. (2)取 cd 中点 g，连 eg、fg ，e、f 分别是 ab、pc 的中点， egad ，fgpd平面 efg平面 pad，故 ef平面 pad(3）解：当平面pcd 与平面 abcd 成 45角时，直线ef面 pcd证明： g 为 cd 中点，则egcd,由(1)知 fgcd，故 egf 为平面 p

13、cd 与平面 abcd 所成二面角的平面角.即egf =45，从而得adp=45， ad=ap由 rt paertcbe,得 pe=ce又 f 是 pc 的中点， efpc，由 cdeg，cdfg ，得 cd平面 efg ，cdef 即 efcd，故 ef平面pcd. 6.(1)证明：同理 effg， efgh 是平行四边形abcd 是正三棱锥，a 在底面上的射影o 是 bcd 的中心，dobc， adbc，hgeh，四边形efgh 是矩形 . (2)作 cpad 于 p 点，连结 bp， adbc， ad面 bcphgad， hg面 bcp，hg面 efgh .面 bcp面 efgh ，在

14、rt apc 中， cap=30， ac=a,ap=23a. 7.(1)证明：连结em、mf ， m、e 分别是正三棱柱的棱ab 和 ab1的中点，bb1me ，又 bb1平面 efm ， bb1平面 efm . (2)证明：取 bc 的中点 n，连结 an 由正三棱柱得：an bc，又 bffc=13， f 是 bn 的中点，故mf an，mf bc，而 bcbb1， bb1me. mebc，由于 mf me=m，bc平面 efm ，又 efefm ， bcef. (3)解：取 b1c1的中点 o，连结 a1o 知，a1o面 bcc1b1，由点 o 作 b1d 的垂线 oq，垂足为 q，连结 a1q，由三垂线定理， a1qb1d，故 a1qd 为二面角 a1b1dc 的平面角，易得a1qo=arctan15. 8.(1)证明：连结a1c1、ac，ac 和 bd 交于点 o，连结 c1o，四边形abcd 是菱形， acbd ，bc=cd又 bcc1=dcc1， c1c 是公共边，c1bc c1dc， c1b=c1ddo=ob， c1obd，但 acbd ，acc1o=obd平面 ac1，又 c1c平面 ac1， c1cbd. (2)解：由 (1)知 acbd，c1obd ， c1oc 是二面角 bd 的平面角 . 在 c1bc