高考热点问题和解题策略之探索性问题

1、二、探索性问题近年来，随着社会主义经济建设的迅速发展，要求学校由“应试教育”向“素质教育”转化，培养全面发展的开拓型、创造型人才。在这种要求下，数学教学中开放型问题随之产生。于是，探索性问题成了近几年来高考命题中的热点问题，它既是高等学校选拔高素质人材的需要，也是中学数学教学培养学生具有创造能力、开拓能力的任务所要求的。实际上，学生在学习数学知识时，知识的形成过程也是观察、分析、归纳、类比、猜想、概括、推证的探索过程，其探索方法是学生应该学习和掌握的，是今后数学教育的重要方向。一般地，对于虽给出了明确条件，但没有明确的结论，或者结论不稳定，需要探索者通过观察、分析、归纳出结论或判断结论的问题（

2、探索结论）；或者虽给出了问题的明确结论，但条件不足或未知，需要解题者寻找充分条件并加以证明的问题（探索条件），称为探索性问题。此外，有些探索性问题也可以改变条件，探讨结论相应发生的变化；或者改变结论，探讨条件相应发生的变化；或者给出一些实际中的数据，通过分析、探讨解决问题。探索性问题一般有以下几种类型：猜想归纳型、存在型问题、分类讨论型。猜想归纳型问题是指在问题没有给出结论时，需要从特殊情况入手，进行猜想后证明其猜想的一般性结论。它的思路是：从所给的条件出发，通过观察、试验、不完全归纳、猜想，探讨出结论，然后再利用完全归纳理论和要求对结论进行证明。其主要体现是解答数列中等与n 有关数学问题。存

3、在型问题是指结论不确定的问题，即在数学命题中，结论常以“是否存在”的形式出现，其结果可能存在，需要找出来，可能不存在，则需要说明理由。解答这一类问题时，我们可以先假设结论不存在，若推论无矛盾，则结论确定存在；若推证出矛盾，则结论不存在。代数、三角、几何中，都可以出现此种探讨“是否存在”类型的问题。分类讨论型问题是指条件或者结论不确定时，把所有的情况进行分类讨论后，找出满足条件的条件或结论。此种题型常见于含有参数的问题，或者情况多种的问题。探索性问题，是从高层次上考查学生创造性思维能力的新题型，正确运用数学思想方法是解决这类问题的桥梁和向导，通常需要综合运用归纳与猜想、函数与方程、数形结合、分类

4、讨论、等价转化与非等价转化等数学思想方法才能得到解决，我们在学习中要重视对这一问题的训练，以提高我们的思维能力和开拓能力。、再现性题组：1. 是否存在常数a、b、c，使得等式122232 n(n1)2n n()112(an2 bnc) 对一切自然数n 都成立？并证明你的结论。（89 年全国理）2. 已知数列811322，823522，8212122nnn()()，。 sn为其前n 项和，求s1、s2、s3、s4，推测 sn公式，并用数学归纳法证明。（93 年全国理）【简解】 1 题：令n1、2、3 代入已知等式列出方程组，解得a3、b11、c10，猜测 a、b、 c的值对所有的n n 都成立，

5、再运用数学归纳法进行证明。（属于是否存在型问题，也可属于猜想归纳型问题）2 题：计算得到s189、s22425、s34849、s48081，观察后猜测sn()()2112122nn，再运用数学归纳法进行证明。、示范性题组：【例 1】已知方程kx2y24，其中k 为实数，对于不同范围的k 值，分别指出方程所代表图形的类型，并画出曲线简图。（78 年全国高考题）【分析】 由圆、椭圆、双曲线等方程的具体形式，结合方程kx2y24 的特点，对参数k 分 k1、 k1、0k1、k0、k1、k1、0k1、k0、 k1 时，表示椭圆，其中心在原点，焦点在y 轴上， a2，b2k; 当 k1 时，表示圆，圆心

6、在原点，r 2； 当 0k1 时，表示椭圆，其中心在原点，焦点在x 轴上， a2k，b2； 当 k0 时，表示两条平行直线 y 2； 当 k0 时，表示双曲线，中心在原点，焦点在y 轴上。所有五种情况的简图依次如下所示：【注】分类讨论型问题，把所有情况分类讨论后，找出满足条件的条件或结论。【例 2】给定双曲线x2y221， 过点 a(2,0) 的直线l 与所给双曲线交于p1及 p2，求线段p1p2的中点 p的轨迹方程； 过点 b(1,1) 能否作直线m，使 m与所给双曲线交于两点q1、q2，且点b 是线段 q1、q2的中点？这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。（81 年全

7、国高考题）【分析】 两问都可以设直线l 的点斜式方程，与双曲线方程联立成方程组，其解就是直线与双曲线的交点坐标，再用韦达定理求解中点坐标等。【解】设直线 l：yk(x 2) yk xxy()22122消 y 得(2 k2)x2 4k2x(2 4k2) 0 x1x24222kkxp2222kk代入直线l 得： yp422kky y y y y x x x x x xkkykk2242222消 k 得 2x24xy20 即()x1122y221 线段 p1p2的中点 p的轨迹方程是：()x1122y221 设所求直线m的方程为： yk(x 1) 1 yk xxy() 112122消 y 得(2 k

8、2)x2(2k22k)x 2kk230 x1x222222kkk2 2 k2 代入消 y 后的方程计算得到：0，解得 ak 124k4(k 1) 2，所以 nk 1 时，结论也成立。综上所述，上述结论对所有的自然数n 都成立。 设 cnbn112（aann1aann 1） 112（4242nn4242nn2）12 （2121nn1） (2121nn1) 121n121nb1b2 bn n c1 c2 cn（ 113）+（1315） (121n121n) 1121nlimn(b1b2 bnn) limn(1 121n)1 【注】本题求数列的通项公式，属于猜想归纳型问题，其一般思路是：从最简单、最

9、特殊的情况出发，推测出结论，再进行严格证明。第问对极限的求解，使用了“裂项相消法”，设立新的数列cn具有一定的技巧性。此外，本题第问数列通项公式的求解，属于给出数列中sn与 an的函数关系式求an，对此类问题我们还可以直接求解，解答思路是由an 1sn 1 sn的关系转化为数列通项之间的递推关系，再发现数列的特征或者通过构造新的数列求解。具体的解答过程是：由题意有an222sn，整理得到sn18(an2)2，所以 sn 118(an 12)2， an 1sn 1sn18(an 12)2(an2)2 整理得到 (an 1an)( an 1an4) 0 由题意 an0 可以得到： an 1an40

10、, 即 an 1an4 数列 an 为等差数列，其中a12，公差 d4，即通项公式为an4n2。【例 4】 已知 x10，x1 1，且 xn 1xxxnnn()22331 (nn)，比较 xn与 xn 1的大小。 (86 年全国理 ) 【分析】比较xn与 xn 1的大小，采用“作差法”，判别差式的符号式，分情况讨论。【解】 xn 1xnxxxnnn()22331xn213122xxxnnn()由 x10 及数列 xn 的定义可知，xn0，所以 xn 1xn与 1xn2的符号相同。假定 x10；假设 n k 时 1xk20，那么当 nk 1 时，1 xk 12 1 xxxkkk()223312(

11、)()1312322xxkk0，因此对一切自然数n 都有1 xn20, 即xn1，当 n1 时， 1x120；假设 n k 时 1xk20，那么当 nk 1 时，1 xk 12 1 xxxkkk()223312()()1312322xxkk0，因此对一切自然数n 都有1 xn20, 即xnxn 1。所以，对一切自然数n 都有 xnxn 1。【注】本题对1xn2的符号的探讨，由于其与自然数n 有关，考虑使用数学归纳法解决。一般地，探索性问题与自然数n 有关时，我们可以用归纳猜想证明的方法解出。、巩固性题组：1. 设 an 是由正数组成的等比数列，sn是前n 项和。 . 证明：lglgssnn 220，使得lg()lg()scscnn220)，an2111aann (n 2，nn)。 用 a 表示 a2、 a3、a4； 猜想 an的表达式，并证明你的结论。6. 在 abc中， a、 b、 c 的对边分别是a、b、c，且b、 a、c 成等差数列，bc。已知 b(-1,0)、c(1,0) 。 求顶点 a的轨迹 l； 是否存在直线m ，使 m过点 b并与曲线l交于不同的两点p、 q且 |pq| 恰好等于原点o到直线 m