匀速圆周运动典型例题

1、学习必备欢迎下载“匀速圆周运动”的典型例题【例 1】如下列图的传动装置中，a 、b 两轮同轴转动a 、b 、c 三轮的半径大小的关系是ra=rc=2rb 当皮带不打滑时，三轮的角速度之比、三轮边缘的线速度大小之比、三轮边缘的向心加速度大小之比分别为多少？【分析】 皮带不打滑，表示轮子边缘在某段时间内转过的弧长总是跟皮带移动的距离相等，也就是说， 用皮带直接相连的两轮边缘各处的线速度大小相等依据这个特点， 结合线速度、角速度、向心加速度的公式即可得解【解】 由于皮带不打滑，因此，b 、c 两轮边缘线速度大小相等，设vb=vc=v 由 v= r得两轮角速度大小的关系 b c=rc rb=2 1因

2、a 、b 两轮同轴转动，角速度相等，即 a = b，所以 a 、b、c 三轮角速度之比a b c=2 2 1因 a 轮边缘的线速度va= ara=2 brb=2vb ，所以 a 、b 、c 三轮边缘线速度之比va vb vc=2 1 1依据向心加速度公式a= 2r，所以 a 、b、c 三轮边缘向心加速度之比=8 42=4 21【例 2】 一圆盘可绕一通过圆盘中心o 且垂直于盘面的竖直轴转动在圆盘上放置一木块，当圆盘匀速转动时，木块随圆盘一起运动（见图），那么学习必备欢迎下载 a 木 块 受 到 圆 盘 对 它 的 摩 擦 力 ， 方 向 背 离 圆 盘 中 心b木块受到圆盘对它的摩擦力，方向指

3、向圆盘中心c由于木块随圆盘一起运动，所以木块受到圆盘对它的摩擦力，方向与木块的运动方向相同d由于摩擦力总是阻碍物体运动，所以木块所受圆盘对它的摩擦力的方向与木块的运动方向相反e由于二者是相对静止的，圆盘与木块之间无摩擦力【分析】 由于木块随圆盘一起作匀速圆周运动，时刻存在着一个沿半径指向圆心的向心加速度，因此，它必定会受到一个沿半径指向中心、产生向心加速度的力向心力以木块为讨论对象进行受力分析：在竖直方向受到重力和盘面的支持力，它处于力平稳状 态在盘面方向，可能受到的力只有来自盘面的摩擦力（静摩擦力），木块正是依靠盘面的摩擦力作为向心力使它随圆盘一起匀速转动所以，这个摩擦力的方向必沿半径指向中

4、心【答】 b【说明】 常有些同学认为，静摩擦力的方向与物体间相对滑动的趋势方向相反，木块随圆盘一起匀速转动时， 时时有沿切线方向飞出的趋势，因此静摩擦力的方向应与木块的这种运动 趋势方向相反， 好像应当选d 这是一种极普遍的错误熟悉，其缘由是遗忘了讨论运动时所 相对的参照系 通常说做圆运动的物体有沿线速度方向飞出的趋势，是指以地球为参照系而言的而静摩擦力的方向总是跟相对运动趋势的方向相反，应当是指相互接触的两个相关物 体来说的， 即是对盘面参照系也就是说，对站在盘上跟盘一起转动的观看者，木块时刻有沿半径向外滑出的趋势，所以，木块受到盘面的摩擦力方向应当沿半径指向中心【例 3】 在一个水平转台上

5、放有a 、b 、c 三个物体，它们跟台面间的摩擦因数相同a 的质量为 2m， b、 c 各为 m a 、b 离转轴均为r ，c 为 2r 就 a 如 a 、b、 c 三物体随转台一起转动未发生滑动，a 、c 的向心加速度比b 大学习必备欢迎下载b如 a 、 b、 c 三物体随转台一起转动未发生滑动，b 所受的静摩擦力最小c当转台转速增加时，c 最先发生滑动d当转台转速连续增加时，a 比 b 先滑动【分析】 a 、 b、 c 三物体随转台一起转动时，它们的角速度都等于转台的角速度，设为依据向心加速度的公式an= 2r，已知 ra=rb rc，所以三物体向心加速度的大小关系为 aa=ab aca

6、错三物体随转台一起转动时，由转台的静摩擦力供应向心力，即f =fn=m 2r，所以三物体受到的静摩擦力的大小分别为fa=ma 2ra=2m 2r， fb=mb 2rb=m 2r，fc=mc 2rc =m 2· 2r=2m 2r 即物体 b 所受静摩擦力最小b 正确由于转台对物体的静摩擦力有一个最大值，设相互间摩擦因数为 ，静摩擦力的最大值可认为是 fm= mg由 fm=fn ，即得不发生滑动的最大角速度为即离转台中心越远的物体，使它不发生滑动时转台的最大角速度越小由于 rc ra=rb ，所以当转台的转速逐步增加时，物体c 最先发生滑动转速连续增加时，物体 a 、b 将同时发生滑动c

7、 正确， d 错【答】 b、 c【例 4】 如图，光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉a 、b，相距 l0=0.1m 长 l=1m 的松软细线一端拴在a 上， 另一端拴住一个质量为500g 的小球 小球的初始位置在ab 连线上 a 的学习必备欢迎下载一侧把细线拉直，给小球以2ms 的垂直细线方向的水平速度，使它做圆周运动由于钉子 b 的存在，使细线逐步缠在a 、b 上如细线能承担的最大张力tm=7n ，就从开头运动到细线断裂历时多长？【分析】 小球转动时，由于细线逐步绕在a 、b 两钉上，小球的转动半径会逐步变小，但小球转动的线速度大小保持不变【解】 小球交替地绕a 、b 作匀速圆周运动，因线速度不变

8、，随着转动半径的减小，线中张力 t 不断增大，每转半圈的时间t 不断减小令 tn=tm=7n ，得 n=8 ，所以经受的时间为【说明】 圆周运动的显著特点是它的周期性通过对运动规律的讨论，用递推法就写出解答结果的通式（一般表达式）有很重要的意义对此题，仍应当娴熟把握数列求和方法假如题中的细线始终不会断裂，有爱好的同学仍可运算一下，从小球开头运动到细线完全绕在 a 、b 两钉子上，共需多少时间？学习必备欢迎下载【例 5】 如图 a所示，在光滑的圆锥顶用长为l 的细线悬挂一质量为m 的小球，圆锥顶角为 2 ，当圆锥和球一起以角速度 匀速转动时，球压紧锥面此时绳的张力是多少？如 要小球离开锥面，就小

9、球的角速度至少为多少？【分析】 小球在水平面内做匀速圆周运动，由绳子的张力和锥面的支持力两者的合力供应向心力，在竖直方向就合外力为零；由此依据牛顿其次定律列方程，即可求得解答；【解】 对小球进行受力分析如图b 所示，依据牛顿其次定律，向心方向上有t· sin -n· cos =m 2r y 方向上应有n · sin +t· cos -g=0 r = l · sin 由、式可得t = mgcos +m 2lsin 当小球刚好离开锥面时n=0 （临界条件）就有 tsin =m 2r t· cos -g=0 学习必备欢迎下载【说明】 此题是

10、属于二维的牛顿其次定律问题，解题时，一般可以物体为坐标原点，建立xoy 直角坐标，然后沿x 轴和 y 轴两个方向，列出牛顿其次定律的方程，其中一个方程是向心力和向心加速度的关系，最终解联立方程即可；【例 6】杂技节目中的“水流星”表演，用一根绳子两端各拴一个盛水的杯子，演员抡起杯子在竖直面上做圆周运动，在最高点杯口朝下，但水不会流下，如下图所示，这是为什么？【分析】 水和杯子一起在竖直面内做圆周运动，需要供应一个向心力；当水杯在最低点时，水做圆周运动的向心力由杯底的支持力供应，当水杯在最高点时，水做圆周运动的向心力由重力和杯底的压力共同供应；只要做圆周运动的速度足够快，所需向心力足够大，水杯在

11、最高点时，水就不会流下来；【解】 以杯中之水为讨论对象，进行受力分析，依据牛顿其次定律【例 7】如下图所示，自行车和人的总质量为m ，在一水平地面运动如自行车以速度v 转过半径为 r 的弯道 （ 1）求自行车的倾角应多大？（ 2）自行车所受的地面的摩擦力多大？学习必备欢迎下载【分析】 骑车拐弯时不摔倒必需将身体向内侧倾斜从图中可知， 当骑车人拐弯而使身体偏 离竖直方向 角时，从而使静摩擦力f 与地面支持力n 的合力 q 通过共同的质心o，合力q 与重力的合力f 是维护自行车作匀速圆周运动所需要的向心力【解】 （ 1）由图可知，向心力f=mgtg ，由牛顿其次定律有：（2）由图可知， 向心力 f

12、 可看做合力q 在水平方向的分力，而 q 又是水平方向的静摩擦力f 和支持力n 的合力，所以静摩擦力f 在数值上就等于向心力f，即f = mgtg 【例 8】用长 l1=4m 和长为 l2=3m 的两根细线， 拴一质量m=2kg 的小球 a ，l1 和 l2 的另两端点分别系在一竖直杆的o1， o2 处，已知 o1o2=5m 如下图（ g 10m· s-2）（1）当竖直杆以的角速度 匀速转动时， o2a 线刚好伸直且不受拉力求此时角速度 1（2）当 o1a 线所受力为100n 时，求此时的角速度2【分析】 小球做圆周运动所需的向心力由两条细线的拉力供应，当小球的运动速度不同时，所受拉

13、力就不同；【解】 （ 1）当 o2a 线刚伸直而不受力时，受力如下列图；就 f1cos =mg 学习必备欢迎下载f1sin =mr 12 由几何学问知 r=2.4m =37°代入式 1=1.77 （rad/s）（2）当 o1a 受力为 100n 时，由（ 1）式f1cos =100×0.8=80 （ n） mg由此知 o2a 受拉力 f2；就对 a 受力分析得f1cos -f2sin -mg=0 f1sin +f2cos = mr 22 由式（ 4）（ 5）得【说明】 向心力是一种成效力，在此题中o2a 受力与拒绝定于物体a 做圆周运动时角速度的临界值在这种题目中找好临界值

14、是关键例 9一辆试验小车可沿水平地面（图中纸面）上的长直轨道匀速向右运动，有一台发出细光束的激光器装在小转台 m 上，到轨道的距离 mn 为 d=10m，如下列图；转台匀速转动， 使激光束在水平面内扫描，扫描一周的时间为 t=60s ，光束转动方向如图箭头所示；当光束与 mn 的夹角为 45°时，光束正好射到小车上，假如再经过 t=2.5s 光束又射到小车上， 就小车的速度为多少？（结果保留二位数字）学习必备欢迎下载分析 激光器扫描一周的时间t=60s ，那么光束在t=2.5s 时间内转过的角度激光束在竖直平面内的匀速转动，但在水平方向上光点的扫描速度是变化的，这个速度是沿经向方向速

15、度与沿切向方向速度的合速度；当小车正向n 点接近时，在t 内光束与mn 的夹角由45°变为 30°随着 减小， v 扫在减小如45°时，光照在小车上，此时v 扫 v 车时，此后光点将照到车前但 v 扫 v 车不变，当v 车 v 扫时，它们的距离在缩小；解在 t 内，光束转过角度如图，有两种可能（1）光束照耀小车时，小车正在接近n 点， t 内光束与mn 的夹角从45°变为 30°，小车走过 l1，速度应为由图可知l1=dtg45 ° - tg30 ° 由、两式并代入数值，得学习必备欢迎下载v1=1.7m/s （2）光束照到小

16、车时，小车正在远离n 点， t 内光束与mn 的夹角从45°为 60°，小车走过 l2 速度为由图可知l2=dtg60 ° - tg45 ° 由、两代并代入数值，得v2=2.9m/s说明 光点在水平方向的扫描速度是变化的，它是沿经向速度和切向速度的合速度；许多人把它懂得为切向速度的分速度，即就扫描速度不变化，就谈不上与小车的“追逐”了，将不行能发生经过一段时间，再照耀小车的问题；这一点速度的合成与分解应懂得正确；另外光束与mn 的夹角为 45°时，光束正好射到小车上有两种情形（见分析）要考虑周全，不要丢解；例 10 图所示为测量子弹速度的装置，一根水平转轴的端部焊接一个半径为r 的薄壁圆筒（图为其横截面），转轴的转速是每分钟n 转，一颗子弹沿圆筒的水平直径由a 点射入圆筒，在圆筒转过不到半圆时从b 点穿出，假设子弹穿壁时速度大小不变，并在飞行中保持水平方向，测量出a 、b 两点间的孤长为l ，写出子弹速度的表达式；学习必备欢迎下载分析 子弹穿过筒壁，子弹与筒壁发生相互作用，既影响筒的转速，又影响子弹飞