勾三股四弦五I

1、.第七讲 .勾三股四弦五I【教学目标】1. 复习直角三角形及勾股定理；2. 掌握勾股定理的直接应用；3. 掌握构造勾股定理法；4. 掌握勾股定理的综合应用。【知识、方法梳理】1.勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ， b ，斜边长为 c ，那么a2b2c2 . 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方B弦 ca 勾ACb 股勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a,b, c 有下面关系： a2b2c2 ，那么这个三角形是直角三角形 .2.勾股数 ：满足 a2b2c2 的三个 正整数 叫做勾股数（ 注意： 若 a,b,c

2、 为勾股数，那么ka, kb, kc 同样也是勾股数组 . ）* 附：常见勾股数：3,4,5 ； 6,8,10 ； 9,12,15 ； 5,12,133.判断直角三角形 ：如果三角形的三边长 a, b, c 满足 a2b2c2 ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法： （1）有一个角为90 的三角形是直角三角形.（ 2）有两个角互余的三角形是直角三角形.用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c ）；（2）若 c2a2b2 ，则ABC 是以 C 为直角的三角形；若 a2b2c2 ，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）；若

3、a2b2c2 ，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）4. 注意 ：（ 1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（ 2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半.（ 3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30 。5. 勾股定理的作用：（ 1）已知直角三角形的两边求第三边.1 / 9.（ 2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系.（ 3）用于证明线段平方关系的问题.（ 4）利用勾股定理，作出长为n 的线段【典例精讲】类型一：勾股定理的直接用法例 1在 Rt ABC 中，C90(1)已知 a6， c10，求 b ， (2)已

4、知 a40 ， b 9 ，求 c ； (3)已知 c 25，b15 ，求 a .【思路点拨】 :写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用.【解析】：(1)在ABC 中，C90， a6 ， c10， bc2a28(2)在ABC 中，C90， a40， b9, ca2b241(3)在ABC 中，C90， c25， b15, ac2b220类型二：勾股定理的构造应用例 2如图，已知：在ABC中， B60 ，AC70，AB30 。求：BC 的长。【思路点拨】 ：由条件B60 ，想到构造含 30角的直角三角形，为此作AD BC于D ，则有BAD30， BD1 AB15 ，再由

5、勾股定理计算出AD、 DC 的长，进而求出BC 的长。2【解析】 ：作 ADBC于D，则因B 60， BAD906030 （ Rt的两个锐角互余） BD115 （在 Rt 中，如果一个锐角等于 30 ，AB2那么它所对的直角边等于斜边的一半）.根据勾股定理，在RtABD 中，ADAB2BD 230215215 3.根据勾股定理，在 RtACD 中，CDAC 2AD 27021523 65. BCBDDC65 1580.类型三：勾股定理的实际应用：（一）用勾股定理求两点之间的距离问题例 3如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A 点出发，沿北偏东 60 方向走了 5003m 到达 B 点，然后

6、再沿北偏西302 / 9.方向走了 500m 到达目的地 C 点 .（ 1）求 A 、 C 两点之间的距离 .（ 2）确定目的地 C 在营地 A 的什么方向 .【解析】 ：（ 1）过 B 点作 BE /ADDABABE60 30CBAABE180 CAB 90即ABC 为直角三角形由已知可得：BC500m ， AB5003m由勾股定理可得：AC 2BC 2AB2所以 ACBC2AB250022500 31000 m（ 2）在 Rt ABC 中， BC 500m ， AC 1000m CAB 30 DAB 60 DAC 30即点 C 在点 A 的北偏东 30 的方向（二）用勾股定理求最短问题：例

7、 4国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A 、 B 、 C 、 D ，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线【思路点拨】 ：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论【解析】 ：设正方形的边长为1，则图（ 1）、图（ 2）中的总线路长分别为ABBCCD3,ABBCCD3图（ 3）中，在Rt ABC 中ACAB2BC22同理BD23 / 9.图（ 3）中的路线长为 2 22.828图（ 4

8、）中，延长 EF 交 BC 于 H ，则 FHBC，BH CH由FBH30 ,BH1及勾股定理得：2EAEDFB FC3 ,FH3EF12FH3633此图中总线路的长为4EAEF132.73232.8282.732图（ 4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线。类型四：利用勾股定理作长为n 的线段：例5作长为2、3、5的线段 .【思路点拨】：由勾股定理得，直角边为1 的等腰直角三角形，斜边长就等于2 ，直角边为2 和 1 的直角三角形斜边长就是3 ，类似地可作5 .【作法】 ：如图所示（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角ABC ，使 AB 为斜边；（ 2）以 AB 为一条直角边，作另

9、一直角边为1 的直角 B1BA . 斜边为 B1 A ；（ 3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形2 3 ，这样斜边AB、 AB1、 AB2 、 AB3 的AB B长度就是2 、 3、4、5.类型五：逆命题与勾股定理逆定理：例 6写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1 原命题：猫有四只脚（正确）2 原命题：对顶角相等（正确）3 原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等（正确）4 原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等（正确）【 思路点拨】： 掌握原命题与逆命题的关系 .【 解析】： 1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）4 / 9.3

10、.逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上?（正确）4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上（正确）【 总结升华】： 本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。例 7如果ABC 的三边分别为 a 、 b 、 c ，且满足 a2b2c2506a 8b 10c ，判断ABC 的形状 .ABC 的形状，需要找到a 、 b 、 c 的关系，而题目中只有条件【思路点拨】 ：要判断a2b2c2506a8b10c ，故只有从该条件入手，解决问题 .【解析】 ：由 a2b2c2506a8b10c ，得 ：a26a 9b28b16c2 10c250 ,a2b2c20 .34520 ,2

11、0 ,20 .a 3b 4c 5 a3, b4, c5 . 324252 , a2b2c2.由勾股定理的逆定理，得ABC 是直角三角形 ., 在证明中也常【总结升华】 ：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的要用到。【双基训练】1. 如图， BACD90 , AD 13,CD 12, BC 3, 则 AB 的长是多少 ?2. 如图，已知：C90 ， AMCM ， MPAB于 P .求证： BP2AP2BC2。3. 已知：如图，BD90 ，A60 ， AB4, CD2 . 求：四边形ABCD 的面积 .5 / 9.4. 四边形 ABCD 中， B 90 ， AB 3， BC 4，

12、CD 12 ， AD 13，求四边形ABCD 的面积。CBAD5. 已知 : ABC 的三边分别为 m2n2 , 2mn, m2n2( m,n 为正整数 , 且 mn ), 判断ABC 是否为直角三角形 .6. 如图正方形ABCD ， E 为 BC 中点， F 为 AB 上一点，且 BF1 AB 。请问 FE 与 DE 是4否垂直？请说明。【纵向应用】7. 一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门 ?8. 在数轴上表示10 的点。【横向拓展】6 / 9.9. 如图，一圆柱体的底面周长为 20cm ，高 AB 为 4cm

13、， BC 是上底面的直径一只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C ，试求出爬行的最短路程练习题目答案【双基训练】1.【答案】ACD90AD 13,CD12,AC 2AD 2CD 213212 225 AC 5又ACB90 且BC3由勾股定理可得222ABACBC16 AB 4 AB 的长是 4.2. 【解析】： 连结BM ，根据勾股定理，在Rt BMP 中，BP2BM 2PM 2.而在 Rt AMP 中，则根据勾股定理有MP 2AM 2AM 2. BP2BM 2AM 2AP2BM 2AM 2AP2又AMCM （已知）， BP2BM 2CM 2AP 2.在 RtBCM 中，根据勾股定理

14、有BM 2CM 2BC 2， BP2BC 2AP2 .AC ，或延长 AB 、 DC 交于3. 【分析】 ：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结F ，或延长 AD 、 BC 交于点 E ，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单 .【解析】：延长 AD、 BC交于 E.A60 ，B90 ，E30 . AE 2AB 8,CE 2CD 4,BE 2AE2AB 2824248, BE484 3.DE 2CE2CD 2422212,DE1223 .S四边形 ABCDS ABES CDE1 ABBE1 CDDE6 3 .224. 【答案】：连结 AC B 90 ，AB 3

15、，BC 47 / 9. AC 2AB2 BC 2 25 （勾股定理） AC 5 AC2CD 2169, AD 2169 AC2CD 2AD 2 ACD 90 （勾股定理逆定理）S四边形 ABCDS ABCS ACD11AC CD36AB BC225. 【分析】 : 本题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明 : a2b2c2 即可【证明】： m2n2222m2 n2n44m2n22mnm4m42m2n2n4m2n22所以ABC 是直角三角形。6. 【答案】答： DE EF .证明：设 BFa ，则 BEEC2a , AF 3a， AB4a, EF2BF 2BE 2a24a25a2；DE 2CE 2

16、CD 24a216a220a2 .连接DF （如图）DF 2AF 2AD 29a216a225a2 .DF 2EF 2DE2 ,DEEF .7. 【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH 如图所示，点D 在离厂门中线0.8米处，且CDAB ， 与地面交于 H 【解析】： OC 1米 ( 大门宽度一半 ) ，OD 0.8米 （卡车宽度一半）在 RtOCD 中，由勾股定理得：CDOC2OD 2120.820.6 米，CH0.62.32.9 （米）2.5 （米）因此高度上有0.4 米的余量，所以卡车能通过厂门。10 看作是直角三角形的斜边，1028. 【解析】