勾股定理知识点与常见题型总结2

1、一学问归纳勾股定理复习dc勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；h222g表示方法：假如直角三角形的两直角边分别为a ， b ，斜边为 c ，那么 abce .勾股定理的证明，常见的是拼图的方法f图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有间隙，面积不会转变依据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4sss，1baacbba22a，化简可证c正方形 efgh正方形 abcd4ab2bacbc方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积cbc1四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为2s4abc 222abcaa aab d大正

2、方形面积为sab 2a 22abb 2 所以 abc222bc方法三： s1 ab ab ， s2ss2 1 ab1 c 2 ，化简得证e梯形梯形2adeabec22a .勾股定理的适用范畴：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必需明白所考察的对象是直角三角形bbc .勾股定理的应用：勾股定理能够帮忙我们解决直角三角形中的边长的运算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定理时，必需把握直角三角形的前提条件，明白直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾 股定理进行运算，应设法添加帮助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便

3、正确使用勾股定理进行求解已知直角三角形的任意两边长，求第三边；在abc 中，c90，就c2a2b， b22ca，a2cb知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定懂得决一些实际问题 .勾股定理的逆定理2假如三角形三边长a ， b ， c 满意 a2b2c ，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边；222勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形 ”来确定三角形的可2能外形，在运用这肯定理时，可用两小边的平方和 ab 与较长边的平方c 作比较，如它们相等时，以a ， b ， c为三边的三角形是直角三角形；如abc ，时，以 a ， b

4、， c 为三边的三角形是钝角三角形；如abc ，时，2222222222以 a ， b ， c 为三边的三角形是锐角三角形；2定理中 a ，b ，c 及 a2bc 只是一种表现形式，不行认为是唯独的， 如如三角形三边长a ，b ，c 满意 acb ，那么以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形222 .勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即一组勾股数abc 中， a ， b ， c 为正整数时，称a ， b ， c 为 记住常见的勾股数可以提高解题

5、速度，如 3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 等用含字母的代数式表示勾股数：n1,2n,n1（ n2, n 为正整数）；mn ,2 mn, mn （ mn,m ， n 为正整数）222222常见图形：cccc30°abadbbaadbd类型一：勾股定理的直接用法1、在 rt abc中， c=90°1 已知 a=6， c=10，求 b， 2已知 a=40， b=9，求 c； 3已知 c=25， b=15，求 a.2. 已知直角三角形两边的长为3 和 4 ，就此三角形的周长为【变式】 :如图 b= acd=90°, ad=13,cd=

6、12, bc=3就,类型二：勾股定理的构造应用ab 的长是多少 .1. 如一个三角形的边长分别是12、16 和 20，就这个三角形最长边上的高长是 ；2. 如图， abc中，有一点p 在 ac 上移动如ab=ac=5 ， bc=6 ，就 ap+bp+cp的最小值为（） a 8b 8.8c 9.8d 103.在abc 中， ab15, ac13 ， bc 边上的高ad12 ，就abc 的周长为（）a、42b、32c、42 或 32d、37 或 334. 等腰三角形的底边长为6 ，底边上的中线长为4，它的腰长为.5. 等边三角形的边长为2，求它的面积；【变式】 : abc中， bc=a，ac=b，

7、 ab=c，如 c=90°，如图 1，依据勾股定理，就 a 2b 2c2 ；如 abc 不是直角三角形，如图2 和 3，请你类比勾股定理，试猜想 a2b2 与 c2 的关系，并证明你的结论；类型三：勾股定理的实际应用1.如图，梯子 ab 靠在墙上， 梯子的底端a 到墙根 o 的距离为2m，梯子的顶端b 到地面的距离为7m ，现将梯子的底端a 向外移动到a，使梯子的底端a到墙根 o 的距离等于3m同时梯子的顶端b 下降至 b，那么bb（）a小于 1mb大于 1mc等于 1md小于或等于1m2.将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为15cm，高 8cm 的圆柱形水杯中，如下列图，设筷子

8、露在杯子外面的长度为hcm ，就 h 的取值范畴是（）a h17cmb h 8cmc15cm h 16cmd7cm h 16cm（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如下列图，在一次夏令营活动中，小明从营地a 点动身，沿北偏东60°方向走了到达 b 点，然后再沿北偏西30°方向走了500m 到达目的地c 点；（ 1）求 a、c 两点之间的距离； （2）确定目的地c 在营地 a 的什么方向；【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门外形如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门.如图，大路mn 和大路 pq 在 p 点处交汇，点a 处有一所

9、中学，ap=160 米，点 a 到大路 mn 的距离为 80 米，假使拖拉机行驶时，四周 100 米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在大路mn 上沿 pn 方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；假如受到影响，已知拖拉机的速度是18 千米 / 小时，那么学校受到影响的时间为多少？（二）用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄a、b、c、 d，且正好位于一个正方形的四个顶点，现方案在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮忙运算一下，哪种架设方案最省电线【变式】 1.如图，一圆柱体的底面周

10、长为20cm，高为4cm，是上底面的直径一只蚂蚁 从点 a 动身，沿着圆柱的侧面爬行到点c，试求出爬行的最短路程2. 如图 1，长方体的长为12cm，宽为 6cm，高为 5cm，一只蚂蚁沿侧面从a 点向 b 点爬行，问：爬到 b 点时，蚂蚁爬过的最短路程是多少？3.如图壁虎在一座底面半径为2 米，高为4 米的油罐的下底边沿a 处，它发觉在自己的正上方油罐上边缘的b 处有一只害虫，便打算捕获这只害虫，为了不引起害虫的留意，它有意不走直线，而是围着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然突击请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫.解题步骤归纳：1、标已知，标问题（边长的问题一般有什么方法解决？）

11、，明确目标在哪个直角三角形中，设适当的未知数x；2、利用折叠，找全等；3、将已知边和未知边（用含x 的代数式表示）转化到同始终角三角形中表示出来；4、利用勾股定理，列出方程，解方程，得解；类型四：利用勾股定理作长为的线段1、作长为、的线段；举一反三【变式】在数轴上表示的点；类型五：勾股定理逆定理7、假如 abc 的三边分别为a、b 、c，且满意 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判定 abc的外形；举一反三 【变式 1】四边形 abcd中， b=90°， ab=3，bc=4， cd=12， ad=13，求四边形abcd的面积；【变式 2】已知 : abc的三边分别为m 2

12、n2,2mn,m 2+n2m,n 为正整数 ,且 m n,判定 abc 是否为直角三角【变式 3】如图正方形abcd，e 为 bc 中点， f 为 ab 上一点，且bf=ab；请问 fe与 de是否垂直 .请说明；类型六：与勾股定理有关的图形问题1.如图，是由四个大小完全相同的直角三角形拼合而成的，如图中大小正方形的面积分别为62.5 和 4 ，求直角三角形两直角边的长；2如图，直线l 经过正方形abcd的顶点 b，点 a、c 到直线 l 的距离分别是1、2，就正方形的边长是 3. 在直线 l 上依次摆放着七个正方形（如图 4 所示）；已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个

13、正方形的面积依次是s1 、s2、s3、s4 ，就 s1s2s3s4 = ；类型七：关于图形变换问题1. 如图，把矩形纸片abcd沿对角线 ac 折叠，点 b 落在点 e 处，ec与 ad 相交于点f.如 ab=4，eafdbc=6，求 fac的周长和面积.2.如图，将矩形 abcd 沿直线 ae 折叠，顶点 d 恰好落在bc 边上 f 点处，已知ce6cm ，ab16cm ，求 bf 的长adbcebfc3. 如图， abc是直角三角形， bc 是斜边， 将 abp 绕点 a 逆时针旋转后， 能与 acpap重合，如 ap=3，求 pp的长；pbc勾股定理在旋转中的运用例 1、如图 1， p

14、是正三角形abc内的一点，且pa=6， pb=8，pc=10，求 apb的度数；bbfppacac练习：如图：设p 是等边 abc内的一点， pa=3， pb=4， pc=5，就apb的度数是 .a 3p54cb例2 .如图 p 是正方形abcd内一点，点p 到正方形的三个顶点a、 b、c 的距离分别为pa=1， pb=2， pc=3；求此正方形 abcd面积；+5dcpab练习 1：正方形abcd内一点 p，使得 pa： pb： pc=1：2： 3，求 apb的度数；练习 2：请阅读以下材料：问题：如图 1，在等边三角形abc内有一点 p，且 pa=2，pb=， pc=1、求 bpc度数的大

15、小和等边三角形 abc的边长李明同学的思路是：将bpc绕点 b 顺时针旋转 60°，画出旋转后的图形（如图2），连接 pp，可得ppc是等边三角形， 而 pp a 又是直角三角形 （由勾股定理的逆定理可证） ，所以 apc=150°， 而 bpc=ap c=150°，进而求出等边 abc的边长为，问题得到解决请你参考李明同学的思路， 探究并解决以下问题： 如图 3，在正方形 abcd内有一点 p，且 pa=，bp=，pc=1求 bpc度数的大小和正方形abcd的边长解：（ 1）如图，将 bpc绕点 b 逆时针旋转 90°，得 bpa，就 bpc bpa

16、ap =pc=1，bp=bp =；连接 pp，在 rt bp p 中，bp=bp=， pbp =90°， pp =2， bpp=45°；在 ap p 中， ap 2+pp 2=ap2； app 是直角三角形，即 app=90°， ap b=135°， bpc=apb=135°（2）过点 b 作 be ap，交 ap的延长线于点e； epb=45°，ep=be=1， ae=2；在 rt abe中，由勾股定理，得ab=； bpc=135°，正方形边长为0例 3如图（ 4-1 ），在 abc中，acb =90 ， bc=ac，p

17、为 abc内一点，且pa=3，pb=1， pc=2；求bpc的度数；练习 1.如图，在 rt abc 中， abac ，d、e 是斜边 bc上两点，且 dae=45°，将 adc 绕点 a 顺时针旋转 90后，得到 afb ，连接 ef ，以下结论： aed aef ； abe acd ；bedcde ；be2dc 2de 2 其中正确选项（）a a；fb；c；dbedc练习 2： . 阅读下面材料，并解决问题：(1) 、如图 10 ，等边 abc内有一点 p 如点 p 到顶点 a， b， c的距离分别为3，4， 5 就 apb= ，由于 pa，pb不在一个三角形中，为明白决此题我们

18、可以将abp绕顶点 a 旋转到 acp处，此时 acp 这样，就可以利用全等三角形学问，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出apb的度数(2) 、请你利用第 1 题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图11 ，abc中， cab=9°0 ， ab=ac， e、f 为 bc上的点222且 eaf=45°，求证： ef =be+fc 数学思想方法（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，经常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决1、如下列图，abc 是等腰直角三角形，ab=ac， d 是斜边 bc 的中点， e、f 分别是ab、 ac边上的点，且de df，如 be=12， cf=5求（ 1）线段 ef的长；（ 2） def的面积；总结： 此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等学问；通过此题，我们可以明白：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同始终角三角形中求解；（二）方程的思想方法1.如直角三角形的三边长分别是n+1， n+2，n+3 ，求 n；2.直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积；【变式 】1.如下列图，折叠矩形的一边ad