北京中考六年真题荟萃《图形的平移旋转与轴对称》

1、北京中考六年真题荟萃图形的平移、旋转与轴对称图形的平移1、（ 06 年北京）我们给出如下定义：如一个四边形的两条对角线相等，就称这个四边形为等对角线四边形请解答以下问题：（ 1）写出你所学过的特别四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；（ 2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60时，这对 60角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论daobc图形的轴对称2、 如图，在四边形abcd 中， bc>ba ， ad dc ， bd 平分 abc. 求证： a+ c=180°.adbc3、如图，把矩形纸片oabc 放入平面直角坐标系中，使oa 、oc 分

2、别落在x 轴、 y 轴上，连结ob ，将纸片 oabc1沿 ob 折叠，使点a 落在 a 的位置，如ob5 ， tanboc，就点 a 的坐标是多少？2ycba'oax4、如图，在直角坐标系中有四个点a（ - 6， 3）、b（ - 2， 5）、c（ 0，m）、d （n， 0），当四边形abcd 的周长最短时，求 m、n 的值ybacdox5、（ 09 年漳州）几何模型：条件：如下左图，a 、 b 是直线 l 同旁的两个定点问题：在直线l 上确定一点p ，使 papb 的值最小方法：作点a 关于直线 l 的对称点a ，连结 a b 交 l 于点 p ，就 papba b 的值最小（不必证

3、明） 模型应用：（ 1） 如图 1，正方形 abcd 的边长为2， e 为 ab 的中点， p 是 ac 上一动点连结bd ，由正方形对称性可知，b 与 d 关于直线ac 对称连结ed 交 ac 于 p ，就 pbpe 的最小值是 ；（ 2） 如图 2，o 的半径为 2，点 a、b 、c的最小值是 ；在o 上，oaob ，aoc60°，p 是 ob上一动点， 就 papc（ 3）如图 3，aob45°， p 是aob 内一点， po10 ， q 、 r 分别是 oa、ob 上的动点，就 pqr 周长的最小值是 bbaelapcpadabcrpopbqa图 1图 2图 3（图

4、形的旋转6、（ 10 朝阳一模） 请阅读以下材料：问题： 如图 1，在等边三角形abc 内有一点p，且 pa=2， pb=3 ， pc=1求 bpc 度数的大小和等边三角形abc 的边长李明同学的思路是：将bpc 绕点 b 顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）连接 pp，可得 ppc是等边三角形， 而 ppa又是直角三角形 （由勾股定理的逆定理可证）所以 apc=150°，而 bpc= apc=150°进而求出等边abc 的边长为7 问题得到解决请你参考李明同学的思路，探究并解决以下问题：如图3，在正方形abcd 内有一点p，且 pa=5 ，bp=2 ，p

5、c=1 求 bpc 度数的大小和正方形abcd的边长图 1图 2图 37、如图，已知：如图，四边形abcd 中， ad=cd ，abc75，adc60，aab 2， bc2 ，（ 1）以线段bd ， ab， bc 作为三角形的三边，bd就这个三角形为三角形（填：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）；求 bd 边所对的角的度数；c（ 2）求四边形abcd 的面积8、在等腰直角abc 中， d 是 ab 中点， edf= 90°，求证： de=df .9、如图，已知abc 为等腰直角三角形，bac=90 °， e、f 是 bc 边上点，且 eaf =45 °求证：be

6、 2cf 2ef 2 abefc10、（ 1）在直角 abc 中， d 是 ab 中点， edf= 90°，求证：ae 2bf 2ef 2 .（ 2）如图， abc 中， d 是 bc 边的中点， e、f 分别是 ab、ac 边上的点，且edf =90°，求证 be+cf >efaefbdc11、（10 丰台二模）已知：如图，在正方形abcd 中，e、f 分别是 bc、dc 边上的点，且aeef 于 点 e（ 1）延长 ef 交正方形abcd 的外角平分线cp于点 p ，试判定ae与ep 的大小关系，并说明理由；（ 2）在 ab 边上是否存在一点m ，使得四边形dme

7、p 是平行四边形？如存在，请赐予证明；如不存在，请说明理由12、（ 09 年湖州）如p 为 abc马点 .所在平面上一点，且apbbpccpa120°，就点 p 叫做 abc 的费（ 1）如点 p 为锐角 abc的费马点，且abc60°， pa3， pc4 ，就 pb 的值为 ；（ 2）如图，在锐角 abc外侧作等边 acb连结 bb .求证： bb 过 abc的费马点 p ，且 bb =papbpc .apbc13、（ 10 福建宁德）如图，四边形abcd是正方形， abe 是等边三角形，m 为对角线bd （不含 b 点）上任意一点，将 bm 绕点 b 逆时针旋转60&#

8、176;得到 bn ，连接 en 、am 、cm. 求证： amb enb ； 当 m 点在何处时， am cm 的值最小；当 m 点在何处时， am bm cm 的值最小，并说明理由； 当 am bm cm 的最小值为31时，求正方形的边长.真题演练1、（ 07 北京）如图，已知 abc （ 1）请你在 bc 边上分别取两点d，e（ bc 的中点除外） ，连结 ad， ae，写出访此图中只存在两对 面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（ 2）请你依据使（1）成立的相应条件，证明abacadae abc2、（ 08 北京）请阅读以下材料：问题： 如图 1，在菱形 abcd 和

9、菱形 befg 中，点 a， b， e 在同一条直线上，p 是线段 df 的中点， 连结 pg，pc 如abcbef60 ，探究 pg 与pc 的位置关系及pgpc的值小聪同学的思路是：延长gp 交 dc 于点 h ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决请你参考小聪同学的思路，探究并解决以下问题：（ 1）写出上面问题中线段pg 与 pc 的位置关系及pgpc的值；（ 2）将图 1 中的菱形 befg 绕点 b 顺时针旋转， 使菱形 befg 的对角线 bf 恰好与菱形abcd 的边 ab 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图 2）你在（ 1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想

10、并加以证明（ 3）如图 1 中abcbef2090 ，将菱形 befg 绕点 b 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出pgpc的值（用含的式子表示） 3、（ 09 北京）在abcd 中，过点 c 作 cecd 交 ad 于点 e,将线段 ec 绕点 e 逆时针旋转90 得到线段ef如图1（ 1）在图 1 中画图探究：当 p 为射线 cd 上任意一点（ p1 不与 c 重合）时，连结ep1 绕点 e 逆时针旋转90得到线段ec 1.判定直线fc1 与直线 cd的位置关系，并加以证明；当 p2 为线段dc 的延长线上任意一点时，连结ep2,将线段ep2 绕点 e 逆时针旋转 9

11、0 得到线段ec 2.判定直线 c1c2 与直线 cd 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.（ 2）如 ad=6,tanb=43量 x 的取值范畴 .,ae=1, 在的条件下，设cp1= x ，sp1fc1 = y ，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变4、（ 10 北京）问题：已知abc 中，bac=2acb，点 d 是abc 内的一点，且ad =cd ， bd=ba；探究dbc 与abc 度数的比值；请你完成以下探究过程：先将图形特别化，得出猜想，再对一般情形进行分析并加以证明；b(1) 当bac =90 时，依问题中的条件补全右图； 观看图形， ab 与 ac 的数量关系为；

12、当推出dac =15 时，可进一步推出dbc 的度数为；可得到dbc 与abc 度数的比值为；(2) 当bac90 时，请你画出图形，讨论dbc 与abc 度数的比值ca是否与 1中的结论相同，写出你的猜想并加以证明；5、（ 11 北京）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题，如图1，在梯形abcd中， ad bc，对角线ac， bd相交于点o；如梯形abcd的面积为1，试求以 ac， bd， adbc 的长度为三边长的三角形的面积；adadoobcbce图1图2小伟是这样摸索的：要想解决这个问题，第一应想方法移动这些 分散的线段，构造一个三角形，再运算其面积即可；他先后尝试了翻折，旋转，平移的方

13、法，发觉通过平移可以解决这个问题；他的方法是过点d作 ac的平行线交bc的延长线于点e，得到的 bde即是以 ac，bd， adbc 的长度为三边长的三角形（如图2）；a参考小伟同学的摸索问题的方法，解决以下问题： 如图 3， abc的三条中线分别为ad，be， cf；（ 1）在图 3 中利用图形变换画出并指明以ad，be， cf的长度为三边fe长的一个三角形（保留画图痕迹）；（ 2）如 abc的面积为1，就以 ad， be， cf的长度为三边长的三角d形的面积等于 ；bc图3（五）补充例题：供学用余力的同学提高使用1、（11 海淀一模）在rt abc 中， acb=90 °， ta

14、n bac= 12. 点 d 在边 ac 上（不与 a，c 重合），连结 bd ，f 为bd 中点 .（ 1）如过点d 作 de ab 于 e，连结 cf 、ef、ce，如图 1 设 cfkef ， 就 k =；（ 2）如将图1 中的 ade 绕点 a 旋转，使得d、e、b 三点共线，点f 仍为 bd 中点，如图2 所示求证： be-de=2 cf；（ 3）如 bc=6，点 d 在边 ac 的三等分点处，将线段ad 绕点 a 旋转，点 f 始终为 bd 中点，求线段cf 长度的最大值aaadeedffcbcbcb图 1图 2备图2、（ 11 海淀二模）已知 abc，以 ac 为边在 abc外作

15、等腰 acd，其中 ac=ad.（ 1）如图 1，如dac2abc ， ac=bc，四边形abcd 是平行四边形，就abc°；22（ 2）如图 2，如abc30 ， acd是等边三角形，ab=3， bc=4. 求 bd 的长；2（ 3）如图 3，如abc 为锐角，作ahbc 于 h，当 bd4 ahbc时，dac2abc 是否成立？如不成立，说明你的理由，如成立，并证明你的结论.dadadabcbcbhc图 1图 2图 33、（ 10 西城二模）在abc 中，点 p 为 bc 的中点1（ 1）如图 1，求证： ap（ ab+bc）；2（ 2）延长 ab 到 d ，使得 bd =ac，

16、延长 ac 到 e，使得 ce =ab，连结 de如图 2，连结 be，如 bac=60°，请你探究线段be 与线段 ap 之间的数量关系写出你的结论， 并加以证明；请在图3 中证明： bc1de 24、（ 09 宣武一模）如图，已知等边三角形abc 中，点 d、e、f 分别为边ab、ac、bc 的中点， m 为直线 bc 上一动点， dmn 为等边三角形（点m 的位置转变时，dmn 也随之整体移动） （ 1）如图 1，当点 m 在点 b 左侧时， 请你连结en，并判定 en 与 mf 有怎样的数量关系？点f 是否在直线ne 上？请写出结论，并说明理由；（ 2）如图 2，当点 m 在

17、 bc 上时，其它条件不变， （1）的结论中en 与 mf 的数量关系是否仍旧成立. 如成立，请利用图 2 证明；如不成立，请说明理由；（ 3）如图 3，如点 m 在点 c 右侧时，请你判定（1）的结论中en 与 mf 的数量关系是否仍旧成立. 如成立 ,请直接写出结论；如不成立，请说明理由（图 1）图 2）（ 图 3）5、（ 10 大兴二模） 如图 17、18 是两个相像比为1：2 的等腰直角dmn 和 abc ，将这两个三角形如图19 放置， dmn 的斜边 mn 与 abc 的始终角边ac 重合 . 在图 19 中，绕点 d 旋转 dmn ，使两直角边dm 、dn 分别与ac 、bc交于

18、点e , f，如图 20. 求证：ae 2bf 2ef 2 ；2 在图 19 中， 绕点 c 旋转 dmn ，使它的斜边cm 、直角边 cd 的延长线分别与ab 交于点e、f，如图 21，此时结论ae 2bf 2ef是否仍旧成立？如成立，请给出证明；如不成立，请说明理由. 如图 22，在正方形abcd 中，e、 f分别是边bc 、 cd上的点且满意cef 的周长等于正方形abcd 的周长的一半，ae 、af分别与对角线bd 交于点m 、n. 线段 bm 、mn 、dn 恰能构成三角形. 请指出线段bm 、mn 、 dn 所构成的三角形的外形，并给出证明.6、（ 10 朝阳二模）如图1，四边形abcd ，将顶点为a 的角围着顶点a 顺时针旋转，如角的一条边与dc 的延长线交于点 f，角的另一条边与cb 的延长线交于点e，连接 ef（ 1）如四边形abcd 为正方形，当eaf=45° 时，有 ef=df be 请你摸索如何证明这个结论（只摸索，不必写出证明过程） ；（ 2）如图 2，假如在四边形abcd 中， ab=ad ， abc= adc=9°0间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式（只需写出结论）；，当 eaf=1 bad 时， ef 与 d