北京市朝阳区高三年级综合练习二

1、北京市朝阳区高三年级综合练习（二）数学试卷 文科本试卷分第一卷（挑选题）和第二卷（非挑选题）两部分，共10 页，全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.第一卷 挑选题共 40 分一、挑选题 : 本大题共 8 小题 ，每道题 5 分 ，共 40 分.在每道题的4 个选项中 , 只有哪一项符合题目要求的.1函数 y =x + 3 的定义域是（）x -2a -3,+ . b. -3,2 u2,+ . c.-3,2 u 2,+ . d. -.,2u 2,. 2如函数yfx 的图象与函数g x3x1 的图象关于y 轴对称，就函数fx 的表达式为（）a fx3x1b. f x =3x - 1c. f

2、x3 x1d. fd 1x =3- x + 1c13如图，正方体ac1 中，直线a1b 与 b1c 所成的角的大小是 a1b 1a. 90ob.30oc.45od.60odcab4. 要得到函数y = 2sin2 x +p （ x . r ）的图象，只需将函数4y = 2sin 2 x （ x . r ）的图象上全部的点（）a 向左平行移动c. 向左平行移动p 个单位长度b.向右平行移动4p 个单位长度d. 向右平行移动8p 个单位长度4p 个单位长度85. 某班由 24 名男生和16 名女生组成， 现按分层抽样的方法选取10 名同学参与理想者服务，就理想者服务人员组成的方法总数为46a c2

3、4c1682ccb.241664ccc.241673ccd.2416uuruuuruuur6. 已知 o 为 d abc内一点， 且 oa +oc +2ob = 0 ，就 d aoc与 d abc的面积之比是（）a . 1: 2b. 1: 3c. 2 : 3d. 1:17. 制作一个面积为1 m2，外形为直角三角形的铁架框，有以下四种长度的铁管供挑选，较经济的（既够用又耗材量少）是（）a.5.2mb.5mc. 4.8md .4.6m8集合 m 由满意以下条件的函数fx组成：对任意x1 , x21,1时，都有fx1fx24 xx. 对于两个函数fxx22 x5, fxx , 以下关系成立的是（）

4、1212a. f1 xc. f1 xm , f2 xm , f2 xmb.md.f1 xf1 xm , f 2 xmm , f 2 xm得分评卷人第 ii卷（非挑选题共 110 分）二、填空题 : 本大题共6 小题 , 每道题 5 分, 共 30 分. 将答案填在题中横线上 .9已知一个球的内接正方体的棱长是2，就这个球的表面积是.x20,10设点 p x, y 在不等式组y10,所表示的平面区域上运动，就 zxy 的最小x2 y20值是.11在d abc中，已知 a 、 b 分别为角a 、 b 的对边，a = 3 ， a =45o ， b =60o ，就 b =.骣1 612. .2x +&

5、#247;的绽开式中常数项等于.（用数字作答）桫.x ÷x2y213如图，已知f1 、f2 是椭圆c : a 2b 21 ab0 的左、右焦点， 点 p 在椭圆 c 上，y222线段 pf2 与圆 xyb 相切于点 q ，puuru uuruq且点 q 为线段pf2的中点，就pf1 .pf2；fof12x椭圆 c 的离心率为14把形如mmnm, nn* 的正整数表示成各项都是整数、公差为 2 的等差数列前m 项的和，称作“对m 的 m 项分划”例如，把9 表示成932135 ，称作“对 9 的3 项分划”，把 64 表示成644313151719 ，称作“对64 的 4 项分划”据此

6、，对 25 的 5 项分划中最大的数是 ；625 的 5 项分划中第2 项是 三、解答题 : 本大题共6 小题 , 共 80 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.得分评卷人15.（本小题满分13 分）已知 tanx3 （x） .4442（）求 tan x 的值；（）求sin 2 x2sin 2x 的值 .cos 2x得分评卷人16（本小题满分13 分）三棱锥 p-abc 中， pc、ac 、 bc 两两垂直， bc=pc=1 ，ac=2 ， e、f、g 分别是 ab 、ac 、ap 的中点 .（）求证：平面gfe 平面 pcb ；（）求gb 与平面 abc 所成角的正切值；（）求二面

7、角a-pb-c 的大小 .得分评卷人17（本小题满分13 分）甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m 个球，乙袋中共有2 m 个球，从甲袋中摸出1 个球为红球的概率为25，从乙袋中摸出1 个球为红球的概率为p2 .（）如 m =10，求甲袋中红球的个数；（）如将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1 个红球的概率是1 ，求3p2 的值；2（）设 p = 1 ，从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1 个球，并且从甲袋中5摸 1 次，从乙袋中摸2 次，求摸出的3 个球中恰有2 个红球的概率.得分评卷人18（本小题满分13 分）已知点 n,an nn *在函数f x6 x2 的

8、图象上， 数列 an 的前 n 项和为sn （）求sn ；（） 设 cnan8n3 ，数列 dn 满意 d1c1 ，dn 1cdnn *求数列 dn 的n通项公式；（）设g x 是定义在正整数集上的函数，对于任意的正整数x1 、x2 ，恒有g x1x2 x1g x2 x2 g x1 成立，且g 2a （ a 为常数，且a0 ），记g dn1bn2d n1，试判定数列bn是否为等差数列，并说明理由得分评卷人19（本小题满分14 分）已知函数f x =4 x3 +3ax -1a . r ，其中f x 是f x 的导函数 . 如曲线f x 在点（ 1，f x ）处的切线与直线2 xy10 平行，求

9、a 的值； 设gx =f x -ax -4 ，如对一切a 1 ，都有g x <0 恒成立，求x 的取值范围；（）设a = -p2 时，如函数fx 的图象与直线y = 2 只有一个公共点，求实数p 的取值范畴 .得分评卷人20（本小题满分14 分）已知动点 p 到点f 2,0的距离与它到直线x =1 的距离之比为2 .（）求动点p 的轨迹方程；（）设点 p 的轨迹为曲线c ，过点 f 作相互垂直的两条直线l1 、l2 ，l1 交曲线 c 于 a 、b 两点，l 交曲线 c 于 m 、 n 两点 ,求证：11为定值2fafbfmfn一. 挑选题数学试卷答案 文科题号12345678答案bdd

10、ccabd二. 填空题9.12 p10.111.36212.24013. 0，5314. 9,123三. 解答题 :15解（）由于tan x3 , 所以 tan x13 ,441tan x4就 tan x7 .5 分（）由（）得tan x7 .由x， cos x2 ，4210所以 sin x72 ， sin 2 x =102sinx cos x =7 .25又 p < x <p ，所以 p < 2x < p ， cos 2x = -24 .9 分42225sin 2 x -2sin 2 xsin 2x - 1-cos 2 xsin 2x + cos 2 x - 17就=

11、cos 2 xcos 2 x=.cos 2 x416.解：（）证明：由于e、 f、g 分别是 ab 、ac 、pa 的中点，13 分ef bc， gf pc1 分且 ef、 gf平面 pcb，所以 ef 平面 pcb， gf平面 pcb.又 ef gf=f，所以平面 gfe 平面 pcb .4 分（）解：连接bf ，由于 gf pc， pc平面abc ，所以 gf平面 abc ， bf 为斜线 bg 在平面 abc上的射影，就gbf 为所求 .6 分1gf=21pc=，2在直角三角形bcf 中，可求得bf=2 .在直角三角形gbf 中tan gbf= gf2 .bf4即 bg 与平面 abc

12、所成角的正切值是24.8 分（）解：设pb 的中点为h ，连结 hc ，ah ，由于 pbc 为等腰直角三角形，所以 hc pb.又 ac bc， ac pc，且 bc pc=c ，p所以 ac 平面 pcb.由三垂线定理得ah pb.h所以 ahc 为二面角a-pb-c 的平面角 .11 分g2c由于 ac=2 ， hc=2所以 tanahc=ac，bfe=22 .hca所以 ahc=arctan22 .即二面角 a-pb-c的大小是 arctan22 .13 分方法 2： 依条件建立如下列图空间直角坐标系.所以 a2 ， 0，0 ，b0 ， 1， 0 ， p0， 0， 1（）略 .4 分（

13、）解：连接bf，由于gf pc，pc平面 abc ， 所 以 gf平 面 abc ，bf为斜线 bg 在平面 abc 上的射影，就gbf 为所求 .1由于 f、g 分别为 ac ，ap 的中点， f1, 0, 0 ，g 1,0, ，2bf1,1,0 ，bg1,1, 1 ， bf2 ， bg3 ，22cos gbfbg bf22=.bgbf3tangbf2.8 分4（）解：明显ca =2， 0， 0是平面 pbc 的一个法向量.设 n=x， y， z是平面 pab 的一个法向量， 由于 ap =- 2， 0，1， ab =- 2，1， 0，所以由 n·ap =0， n·ab

14、=0 解得 n=1 ， 2， 2.uurr设二面角a-pb-c 的大小为，由图可知，ca 与n 的大小也为所以 cos=ca·n1=.ca n311所以二面角a-pb-c 的大小为arccos3. arccos32=arctan22 13 分17.解：（）设甲袋中红球的个数为x ，就x = 10.4 ， 5甲袋中红球的个数是4 个.4 分（由已知得：2 m+52mp2= 1 ，解得p2 =3.8 分3m310（）从甲袋摸出1 个红球的概率是p1 =2，就 1-53p1 =.5又 p2 =1，就 1-54p2 =.10 分5恰有 2 个红球分为甲袋取一个红球、乙袋取一个红球一个白球及甲

15、袋取一个白球、乙袋取 2 个红球 .221143骣1÷19其概率为p =创c2. . ÷.13 分5555.桫512518.解：（）由已知an6n2 ，故 an 是以a1 = -8 为首项公差为6 的等差数列所 以 sn = -3n2 -5n .4 分（）由于cnan8n36n2 8n3 2n1 nn * ，ndn 1cd2dn1，因此dn 112dn1 nn *6 分由于 d1c13 ，所以 dn1 是首项为d114，公比为2 的等比数列故 dn142n 12n 1 ，所以 d2n 118 分（）解法一：g dn1 2ng 2 n 1n 1n2g 22g 2 ，2n- 1

16、 g 2 +2g 2 n- 1 ag 2n - 1 ag 2 n 就 bn =2n+ 1=+4 2n， bn + 1 =+4.2n+ 1g 2 n g 2 n- 1 2 n- 1 a +2 g 2 n- 1g 2 n - 1 abn+ 1 -bn =2n + 1-2 n=2n+ 1-2n=4 .由于 a 为常数，就数列bn是等差数列 .13 分解法二：由于g x1 x2 x1 gx2 x2 gx1 成立，且g2a ，故g d n1nn 1n 1g 2 22g 22 g2n 1n 2n 2n 12n 22g222g 22g 222g22 g222n1 g2222 n3 g22g2n3 32n1

17、g 223 g 2n 3 n12n1 g22n1 g2n 2n1 g2an 2n 1 ，g d n1 2an2 n 1a所以bn就 b-bdn1=a .2n 14 n .n+ 1n4由已知 a 为常数，因此，数列bn是等差数列13 分19.解： f x =4x2 + a ，f 1=4 + a =2 ，所以a = -2 .3 分 gx =f x -ax-4 = 4 x2 -ax + a -4 ，令 j a =1-x a +4x2 -4 ，由于对一切a 1 ，都有g x <0 恒成立等价于对一切 a 1 ，都有 j a <0 恒成立 .ìj -所以 í1 <0

18、,ì.4x2 -.2即 íx -3 < 0,解得 -3 <x < 1 . j 1< 0.4x + x -5 < 0.4就当 x . 3 ,1 时，对一切2224a 1，都有g x <0 恒成立 .7 分（）当a = -p 时，f x =4x -p .当 p =0 时，f x =4 x3 -31 在 - .,. 单调递增，所以函数fx 的图象与直线y = 2 有一个公共点.9 分当 p 10 时，f x =2x +p 2 x -p . 令f x =0 ，得px = .2所以当x . . ,p ，2px . , 2. 时，f x >0，

19、 fx单调递增，当x . pp, 时，f x < 0 ， fx 单调递减 .11 分因此 f22x 的微小值pf =4 p3 + -p 2 p- 1 = -1 p 2p - 1 < - 1 .23223又 f x 的值域为 r ，当 x . p ,2. 时 ， fx 单调递增，就肯定与直线y =2有交点，因此只要f -p < 22 即可 .p4p32p13而 f - =-p - - 1 =p- 1 < 2 .23223解得 -3 9 <p < 39 ，且p 1 0 .综上可得实数p 的取值范畴是-3 9 <p < 39 .14 分20.解：（）设

20、p （x, y ），由题意得：x -2 2 +y2 =2 x - 1.所以点 p 的轨迹方程为x2y22 4 分（） 当直线l1 ，l 2 之一与 x 轴垂直， 不妨设l1 与 x 轴垂直， 此时a2,2，b2,2 ，m 2,0 ， n 2,0 ，fa fb fmfn0,20,22 ，22,0 22,02，所以11fafbfmfn0 6 分当直线l1 ， l2 都不与 x 轴垂直时，由题意设直线就 l2 的方程为l1 为yyk x 1 xk2k0 ，2 ，yk x22222由x2y2得 12k x4k x4k20 ，7 分由于 l1 交双曲线 c 于 a 、 b 两点，1k2所以0,422解得

21、 k1 .8 分16k41k 4k20,设 a x1 , y1 ， b x2 , y2 ，就 x14 k2x22，k14 k2x1x22k2， y11k x12 ， y2k x22 ，由于 fa = x1- 2，y1， fb =x2- 2， y2，所以 fafb x12 x22y1 y21k2 x x2xx41 2124k228k 21k2 4k 21k 212 k2k 21 11 分1同理 fmfn211k 2 k2，12 分111k 211k2所以22 0 ，fafbfmfn21k1k即11fafbfmfn为定值 0 14 分北京市朝阳区高三 数学试卷 年级综合练习（二）理科本试卷分第一卷

22、（挑选题）和第二卷（非挑选题）两部分，共10 页，全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟；第一卷 挑选题共 40 分一、挑选题 : 本大题共 8 小题 ，每道题 5 分 ，共 40 分.在每道题的4 个选项中 , 只有哪一项符合题目要求的.2x31函数 y的定义域是（）x23a ,b.23 ,22,2c.3 ,22,2d., 2 2,2如函数yfx 的图象与函数g x3x1 的图象关于y 轴对称，就函数fx 的表达式为（）a fx3x1b. f x =3x - 1c. fx3 x1d. fx =3- x + 13如图，正方体ac1 中，e 、 f 分别是dd1 、 bd 的中点，就直线a

23、d1 与 ef 所成的角余弦值是（）1366a bcd 22324.某班由 24 名男生和16 名女生组成， 现按分层抽样的方法选取 10 名同学参与理想者服务，就理想者服务人员组成的方法总数为（）a c4 c 6b. c 6 c4c. c8 c2d. c 7 c32416241624162416y5函数 y =asinx+ a >0 ， >0， |<2的部分图象如下列图，就该函数的表达式为（）a y =2sin2 x +5p 6b y =2sin2 x-5p 6xc y =2sin2 x + p 6d y =2sin2 x -p 66制作一个面积为1 m2，外形为直角三角形

24、的铁架框，有以下四种长度的铁管供挑选，较经济的（既够用又耗材量少）是（）a.5.2mb .5mc. 4.8md.4.6muuruuuruuur7.已知 o 为 d abc内一点，且oa +oc +2ob = 0 ，就d boc与 d aoc的面积之比是（）a .1: 2b . 1: 3c.2 : 3d.1:18集合 m 由满意以下条件的函数fx组成：对任意x1 , x21,1时，都有fx1fx2 4 x1x2 .对于两个函数fxx22 x5,f2xx ，以下关系成立的是（）1a. f1 xc. f1 xm , f2 xm , f2 xmb.md.f1 xf1 xm , f 2 xmm , f

25、2 xm得分评卷人第 ii卷（非挑选题共 110 分）二、填空题 : 本大题共6 小题 , 每道题 5 分, 共 30 分. 将答案填在题中横线上 .9设 i 为虚数单位，z11i ， z23i ，就z1z2 等于.10已知一个球的内接正方体的棱长是2，就这个球的表面积是.11设点p x, y 在不等式组x2 0,y1 0,所表示的平面区域上运动，就zxy 的最x2 y2 0小值是.12. 设随机变量x 听从正态分布n 0,1 ，如p x >1 =p ，就p-1 < x <0 =.x2y213如图，已知f1 、 f2 是椭圆c : a 2b 21 ab0yp的左、右焦点，点p

26、 在椭圆 c上，线段pf2 与圆qf1of2xx2y2uurub2 相切于点 q ，且点 q 为线段uurupf2 的中点，就 pf1 .pf2；椭圆 c 的离心率为14把形如mmnm, nn* 的正整数表示成各项都是整数、公差为2 的等差数列前m项的和，称作“对m 的 m 项分划”例如，把9 表示成932135 ，称作“对9的 3 项分划”，把 64 表示成644313151719 ，称作“对 64 的 4 项分划”据此，对 324 的 18 项分划中最大的数是 ；如 mm3 的 m 项分划中第 5 项是 281，就 m 的值是 三解答题 : 本大题共6 小题 , 共 80 分. 解答应写出

27、文字说明、证明过程或演算步骤.得分评卷人15.（本小题满分13 分）已知 tanx3x.4442（）求 cosx 的值；（）求sin 2 x2sin 2x 的值 .cos 2x得分评卷人16（本小题满分13 分）三棱锥 p- abc 中， pc、ac、 bc 两两垂直， bc=pc=1，ac =2， e、f、 g 分别是 ab、ac、ap 的中点 .p（）证明平面gfe 平面 pcb；（）求二面角b- ap- c 的大小；（）求直线pf 与平面 pab 所成角的大小 .gcbfea得分评卷人17（本小题满分13 分）甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m 个球，乙袋中共有2

28、m个球，从甲袋中摸出1 个球为红球的概率为25，从乙袋中摸出1 个球为红球的概率为p2 .（）如 m =10，求甲袋中红球的个数；（）如将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1 个红球的概率是1 ，求3p2 的值；2（）设 p = 1 ，如从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1 个球，并且从甲袋5中摸 1 次，从乙袋中摸2 次. 设 x 表示摸出红球的总次数，求x 的分布列和数学期望 .得分评卷人18（本小题满分13 分）已知点 n,an nn 在函数f x2 x2 的图象上， 数列 an 的前 n 项和为sn ，数列 bn 的前 n 项和为tn ，且tn 是 6sn 与 8n 的等差中项

29、（）求数列 bn 的通项公式；（）设 cnbn8n3 ，数列 dn 满意 d1c1 ， dn 1cdnn *求数列 dn 的n前 n 项和dn ；（）设 g x是定义在正整数集上的函数，对于任意的正整数x1 ,x2 ，恒有g x1 x2 x1 g x2 x2 gx1成 立 ， 且g 2a （ a 为 常 数 ， a0 ）， 试 判 断 数 列g dn1 2dn1是否为等差数列，并说明理由得分评卷人19（本小题满分14 分）已知动点p 到点 f2， 0的距离与它到直线x =1 的距离之比为2 .（）求动点p 的轨迹方程；（）设点p 的轨迹为曲线c ，过点 f 作相互垂直的两条直线l1 、 l2

30、， l1 交曲线 c 于a 、 b 两点，l 交曲线 c 于 m 、 n 两点求证：11为定值2fafbfmfn得分评卷人20（本小题满分14 分）设定义在r 上的函数fxa x4a x3a x2a xa , a , a , a , a , ar ，当0123401234x1 时， fx取得极大值2 ，且函数3yfx1 的图象关于点1,0对称 .（）求fx 的表达式；（）在函数yfx的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线相互垂直， 且切点的横坐标都在2,2上？假如存在，求出点的坐标；假如不存在，请说明理由；2n12 13m4（）设x,ym, nn*，求证：fxfy.n2nm3mnm3题号

31、12345678答案bdcbcbad一. 挑选题数学试卷答案 理科二. 填空题9.42i10.12 p11. 112.1 -p2513. 0 ,314. 35,17三. 解答题 :15解：（）由于tan x3 , 所以tan x13 ,就 tan x7 .4 分441tan x4又x，所以42cos x2.6 分10（）方法1：由（）得cos x2 ，又x，1042所以 sin x72 ， sin 2 x =102sinx cos x =7.8 分25又 p <x < p，所以p < 2 x <p ， cos 2 x = -24.10 分42225sin 2 x -2s

32、in 2 xsin 2x - 1-cos 2 xsin 2 x + cos 2 x - 17就=cos 2 xcos 2 x=cos 2 x4.13 分方法 2：sin 2x -2sin 2 x=2sinxcos xsin x10 分2sin xcos 2 x2 tan xcos x7sin xcos xsin x=cos xsin x=1tan x4.13 分16.方法 1：（）证明：由于e、f 、g 分别是 ab、ac、 ap 的中点，所以 ef bc，gf cp.1 分由于 ef 、gf平面 pcb，所以 ef 平面 pcb， gf 平面 pcb. 又 ef gf= f ，所以平面 gf

33、e 平面 pcb .3 分（）解：过点c 在平面 pac 内作 ch pa，垂足为h .p连结 hb .由于 bc pc，bc ac，且 pc ac=c，h所以 bc 平面 pac.所以 hb pa.所以 bhc 是二面角b- ap- c 的平面角 .6 分g2c依条件简单求出ch =.5bfea所以 tan bhc=12555=.所以 bhc=arctan.22所以二面角b- ap- c 的大小是arctan5 .8 分2（）解法1：如图，设pb 的中点为 k ，连结 kc ，ak，p由于 pcb 为等腰直角三角形，所以 kc pb.又 ac pc，ac bc，且 pc bc=c，k所以 a

34、c 平面 pcb .所以 ak pb.g由于 ak kc=k ，所以 pb 平面 akc .cm又 pb平面 pab，b所以平面 akc 平面 pab.fe在平面 akc 内，过点f 作 fm ak，垂足为m.a由于平面 akc 平面 pab，所以 fm 平面 pab .连结 pm ，所以 mpf 是直线 pf 与平面 pab 所成的角 .11 分简单求出 pf =2 ，fm = 1 .所以 sin mpf =313=2 .26所以 mpf =arcsin26（）解法2：连结 fb ，2.即直线 pf 与平面 pab 所成的角的大小是arcsin6p.13 分由于 pc bc，pc ac，且

35、bc ac=c， 所以 pc平面 abc .即 pc 是三棱锥p- abf 的高 .g依条件知 v1p-abf =3×pc×1×af ×bc c12 b11=×1××1×1=.f326e1a又 vf -pab=×h×spab其中 h 是点 f 到平面 pab 的距离 31=×h×31 × 2 ×2313=×h×2321=h，2所以由 1 = 11h 解得 h=.11 分623设 pf 与平面 pab 所成的角为，又 pf=2 ，所以 s

36、in=h1322=.所以=arcsin.pf266即直线 ac 与平面 pab 所成角大小是arcsin26方法 2： 依条件建立如下列图空间直角坐标系c- xyz.所以 a2 ， 0，0 ，b0 ， 1， 0 ， p0， 0， 1.13 分z p（）略3 分g（）解：明显cb =0 ， 1，0 是平面 pac 的一个法向量 .cy设 n=x， y， z是平面 pab 的一个法向量，b fe由于 ap =- 2， 0，1， ab =- 2，1， 0，ax所以由 n·ap =0， n·ab =0 解得 n=1 ， 2， 2.6 分设二面角b- ap- c 的大小为，所以 co

37、s=cb·n2=.cbn32所以二面角b- ap- c 的大小为arccos32. arccos3= arctan58 分2（）解：设pf 与平面 pab 所成的角为，由（）知平面pab 的一个法向量n=1 ， 2， 2.又 fp =- 1， 0， 1，所以 cos-=fp·n=2 .11 分2fpn6所以 sin=26.所以=arcsin2 .6即直线 ac 与平面 pab 所成角的大小是arcsin2.13 分6217.解：（）设甲袋中红球的个数为x ，依题意得x =10 ×5=4.3 分（）由已知得：2 m +52mp2= 1 ，解得p2 =3.7 分3m310（）p0c2，p234448， p21