北京市西城区中考复习《相似》《解直角三角形》建议讲义及练习

1、北京市西城区重点示范中学20xx 年 3 月九年级数学中考复习相像、解直角三角形复习建议及练习一、 20xx 年北京考试说明（一）图形的性质1. 相像三角形：a. 明白相像三角形的性质定理与判定定理；b. 能利用相像三角形的性质定理与判定定懂得决有关简洁问题；2. 锐角三角函数及解直角三角形a. 懂得锐角三角函数sina ，cosa tana 的概念；知道30°、 45°、 60°角的三角函数值，懂得（ 20xx年是“明白” ）解直角三角形的概念；b. 能利用锐角三角函数的有关学问解直角三角形，能利用锐角三角函数的有关学问解决一些（ 20xx 年是“某些” ）简洁

2、的实际问题；c运用直角三角形的有关内容解决有关问题；（二）图形的变化3. 图形的相像：a. 明白比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；明白黄金分割；熟悉图形的相像；明白相像多边形和相像比；明白图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小；b. 把握基本领实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（20xx 年新增）；会利用图形的相像解决一些简洁的实际问题；（三）图形与坐标4. 坐标与图形运动：a. 在平面直角坐标系中，知道已知顶点坐标的多边形经过位似（位似中心为原点）后的对应顶点坐标之间的关系；明白将多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点，有一条边在横坐标轴上）分别扩大或缩小相同倍数

3、时所对应的图形与原图形位似；b. 在平面直角坐标系中，能写出已知顶点的多边形经过位似（位似中心为原点）后的图形的顶点坐标；c. 运用坐标与图形运动的有关内容解决有关问题；二、复习建议1依据考试说明的要求进行全面复习，重点学问重点复习、学问系统复习全面、非重点的a级学问点适当支配、不漏过、不随便拔高难度；2 b 级的学问要落实到位；c 级学问要达到敏捷运用；3注意方程思想在相像、解直角三角形中的使用；4教会同学观看复杂的几何图形，善于分解出基本图形，娴熟的应用几何中定义、定理、公式来解题；5. 逆向思维是寻求几何证明思路的有效途径之一；6. 去模式化，重学问，重思想；7. 重视同学思路的收集，关

4、注同学的学习过程，赐予有效的学习方法指导；8. 课时支配：相像约 2 课时解直角三角形约 2 课时三、详细内容相像三角形的性质与判定落实一 ： 能利用相像三角形的性质定理与判定定懂得决有关简洁问题落实二 ： 把握基本领实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例落实三 ： 会利用图形的相像解决一些简洁的实际问题落实四 ： 能利用位似变换将一个图形放大或缩小，并能写出以位似中心为原点的位似变化前后点的坐标变化例1. 如图，在平行四边形abcd 中，点 e 在 ad 上，连接 ce 并延长与ba 的延长线交于点f ， 如 ae .2 ed ，就fa的值是fbad例2. 如图，在正方形abcd

5、 中，点 e 是 cd 上一点（ de >ce），连接 ae，并过点e 作 ae 的垂线交bc 于点 f ,如 ab=9, bf=7,求 de 长 .例 3. 如图，某校数学爱好小组利用自制的直角三角形硬纸板 def 来测量操场旗杆ab 的高度，他们通过调整测量位置， 使斜边 df 与地面保持平行，并使边 de与旗杆顶点a 在同始终线上， 已知 de =0.5 米，ef=0.25米，目测点d 到地面的距离dg=1.5 米，到旗杆的水平距离 dc =20 米，就旗杆的高度为米例 4. 如图， 点 a 的坐标为 （ 3，2），点 b 的坐标为 （ 3，0）作eb fc如下操作：以点 a 为旋

6、转中心，将abo 顺时针方向旋转90°，得到 ab1o1 ；以点 o 为位似中心，将abo 放大，得到 a2b2o，使相像比为1 2，且点 a2 在第三象限（ 1）在图中画出ab1o1 和 a2b2o；（ 2）请直接写出点a2 的坐标： 例 5. （ zfx / p70 例 4）已知：如图，在正方形abcd 中，ad=12,dec点 e 是边 cd 上的动点（点e 不与端点c、d 重合）， ae 的垂直平分线fp 分别交 ad 、ae 、 bc 于点 f、h 、g，交 abfh的延长线于点p.gab（ 1）设 de= m0 m12，试用含m 的代数式表示fhphg的值；（ 2）在（

7、1）的条件下，当fhhg1 时，求 bp 的长 .2例 6. 含 30°角的直角三角板abc 中， a=30°. 将其绕直角 顶点 c 顺时针旋转角（ 0o90o ），得到 rt a 'b 'c ，a 'c 边与 ab 所在直线交于点d，过点 d 作 de cb ' 边于点 e，连接 be.求证： cbe= 30°.a' b ' 交练习：1. 如图，在平行四边形 abcd 中， e 为 cd 上一点，连接 ae 、bd ，且 ae 、bd 交于点 f， sdef： sabf=4 ： 25，就 de： ec=2. 如图

8、，点a ，b ， c， d 为 o 上的四个点， ac 平分 bad ， ac 交bd 于点 e， ce=4 ， cd=6 ，就 ae 的长为3. 某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体如图，如舞台ab 的长为 20m， c 为 ab 的一个黄金分割点（ ac<bc），就 ac 的长为 . （结果精确到0.1m）4. 如图，在平面直角坐标系中，四边形oabc 是边长为2 的正方形，顶点a 、c 分别在 x，y 轴的正半轴上点q 在对角线ob 上，且 qo=oc ，连接 cq 并延长 cq 交边 ab 于点 p就点 p 的坐标为5. （ zfx / p69 例 2）已

9、知：如图，四边形 abcd 和四边形 aced 都是平行四边形，点 r 为 de 的中点， br 分别交 ac ， cd 与点 p， q.（ 1）请写出图中各对相像三角形 （相像比为 1 的除外）；e（ 2）求 bp:pq:qr 的值 .c6.（ zfx / p69 例 3）已知：如图，等腰梯形 abcd 中， adade bc ，ad=3cm,bc=7cm , b=6 0° ,p 为下底 bc 上一点（不与 b、 c 重合） . 连接 ap，过 p 点作 pe 交 dc 于 e，使得c ape= bb(1) 你认为图中哪两个三角形相像，为什么？p(2) 当点 p 在底边 bc 上自

10、点 b 向 c 移动过程中，是否存在一点 p，使得 de:ec=5:3 ，假如存在，求bp 的长；假如不存在，请说明理由.7. 在矩形 abcd中， dc=2，cf bd 分别交 bd 、ad 于点 e、f，连接 bf（ 1）求证： dec fdc；（ 2）当 f 为 ad 的中点时，求sinfbd 的值及 bc 的长度8. 如图，在 rt abc中， c=90°，翻折c，使点 c 落在斜边ab 上某一点d 处，折痕为ef（点 e、f 分别在边ac 、bc 上）（ 1）如 cef 与 abc 相像当 ac=bc=2 时， ad 的长为；当 ac=3 ， bc=4 时， ad 的长为；

11、（ 2）当点 d 是 ab 的中点时， cef 与abc 相像吗？ 请说明理由9.如图，在平面直角坐标系xoy 中， abc 三个顶点坐标分别为a（ 2， 4），b（ 2， 1）， c（ 5，2）（ 1）请画出 abc 关于 x 轴对称的 a1b1c1（ 2）将 a1b1c1 的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以2，得到对应的点a2， b2，c2，请画出 a2b2c2（ 3）求 a1b1c1 与 a2b2c2 的面积比，即：=（不写解答过程，直接写出结果） 相像的综合应用m1. 在平面直角坐标系xoy 中，反比例函数（ 1） 求反比例函数的表达式；y的图像过点xa 1,6（ 2）过点 a 的直线

12、与反比例函数ym图像的另一个交点为b ，与 x 轴交于点p ，如xap2pb ，求点 p 的坐标2. 在矩形 abcd 中，边 ad =8，将矩形 abcd 折叠， 使得点 b 落在 cd 边上的点 p 处（如图 1）dpcdpc oabab图 1图 2（ 1）如图 2，设折痕与边bc 交于点 o，连接 ,op、oa已知 ocp 与 pda 的面积比为1：4， 求边 ab 的长；（ 2）动点 m 在线段 ap 上（不与点p、a 重合），动点 n 在线段 ab 的延长线上，且bn=pm ，连接 mn 、 pb，交于点f，过点 m 作 me bp 于点 e在图 1 中画出图形；在 ocp 与 pd

13、a 的面积比为1： 4 不变的情形下，试问动点m 、n 在移动的过程中，线段ef 的长度是否发生变化？请你说明理由3. 如图 1，点 o 在线段 ab 上， ao=2 ，ob=1 ，oc 为射线，且 boc=60°，动点 p 以每秒 2 个单位长度的速度从点o 动身，沿射线oc 做匀速运动，设运动时间为t 秒.（ 1）当 t=1 秒时，就op=， sabp =；2（ 2）当 abp 是直角三角形时，求t 的值；（ 3）如图 2，当 ap=ab时，过点a 作 aq bp，并使得 qop= b ，求证： aq·bp=3. 为了证明 aq·bp=3，小华同学尝试过o 点

14、作 oeap 交 bp 于点 e；试利用小华同学给我们的启示补 全图形并证明aq·bp=3 图 1备用图图 24. 已知： 如图， ab 为 o的直径， g 为 ab 上一点， 过 g 作弦 ceab ，在上取一点d ，分别作直线cd 、ed，交直线ab 于点f 、 m，分别连结oe，co， cm.(1) 如 g为 oa的中点 . coa=° ， fdm=°； 求证： fdomdmco .(2) 如图， 如 g 为半径 ob 上任意一点 不与点 o、b 重合 ，过 g 作弦 ceab ，点 d 在上，仍作直线cd、ed，分别交直线ab 于点f 、 m， 分别连结o

15、e， co， cm.依题意补全图形；此时仍有fd· om=d·m co成立 . 请写出证明fd· om=d·m co的思路 . （不写出证明过程 ）5已知： abc ， def 都是等边三角形，m 是 bc 与 ef 的中点，连接ad ， be.（ 1）如图 1，当 ef 与 bc 在同一条直线上时，直接写出ad 与 be 的数量关系和位置关系；（ 2） abc 固定不动，将图1 中的 def 绕点 m 顺时针旋转（ 0o 90o ）角，如图2 所示，判定（1）中的结论是否仍旧成立，如成立，请加以证明；如不成立，说明理由；图 1图 2备用图解直角三角形落

16、实一：锐角三角函数的定义 例 1：（ 1） . 在 rt abc 中，c 90o ， ab2bc ，那么 sin a 的值为 .（ 2）在 rt abc 中， c=90°， bc=1 ，那么 ab 的长为 .（ 3）在 abc 中， c=90°，cos a= 15 ，求 sina 、 tan a 的值 .17b2 d（ 4）如图， ab 是 o 的直径， c、d 是圆上的两点 .如 bc= 8， cos d，3 o就 ab 的长为 .ca813a 316bc32455d 12（ 5）已知：如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，点a、 b、 c、d、 e 都在小正方形的顶

17、点上，求tan adc 的值 .（ 6）（ zfx p74 例5 ）如图，在直角坐标系中，p 是第一象限内的点，其坐标是（ 3， m），且 op 与 x 轴正半轴的夹角的正切值是，就 sin的值为 .落实二：特别角的三角函数值例 2：（ 1） . 假如 a 是锐角，且sina=1，那么2 a = （ 2） 运算：1. 30182 sin45o 1 1822.2sin 60°· tan45°+cos30°· tan 30°3.4cos45tan6081214.12sin 6032021 025. 2 sin 452cos60tan 45

18、3 tan 60落实三：解直角三角形，能依据问题的需要添加帮助线构造直角三角形c例 3：如图，在abc 中， a=30°， b=45°， ac= 23 ，求 ab 的长 .ab例 4：如图，在四边形abcd 中， c=120 o， b=75 o，cd=4 ， bc= 232 ， cosa=3. 求 ad 的长 .5例 5：如图，在四边形abcd 中，对角线ac ，bd 交于点 e ，bac90 ，ced45 ，dce30 ，de2 ，be22 求 cd 的长和四边形abcd 的面积例 6：（ zfx / p75 例 5）在 abc 中， a=30°， bc=3 ，

19、ab= 33 ，求 bca 的度数和 ac 的长；练习：1. 如图，已知 o 的半径为1，锐角 abc 内接于 o，bd ac 于点 d ， om ab 于点 m ，就 sin cbd 的值等于（）a om 的长b 2om 的长c cd 的长d 2cd 的长2. 如图，已知 l1 l 2 l 3，相邻两条平行直线间的距离相等， 如等腰直角 abc 的三个项点分别在这三条平行直线上，就 sin的值是（ ）a b cd3. 把两块含有300 的相同的直角尺按如下列图摆放，使点c、b、 ade 在同一条直线上，连结cd ，如 ac=6cm ，就 bcd的面积是 ；cbe4如图，在菱形abcd 中，

20、deab 于点 e， cosa=，be=4 ，就 tan dbe 的值是5如图，矩形abcd 的边 ab 上有一点 p，且 ad=，bp=，以点 p 为直角顶点的直角三角形两条直角边分别交线段dc，线段bc 于点 e， f，连接 ef，就 tan pef=6.如图，在rt abc 中， c=90 °，点 d 在 ac 边上如db=6，1ad=22cd ， sin cbd =3，求 ad 的长和 tana 的值7.（ zfx / p75 例 3）如图，在abc 中， c=90 o， a=30 o，fce 为 ab 上一点，且ae ： eb=4:1 ， ef ac 于点 f，连接 fb.

21、求 tan cfb 的值 .aeb8.（ zfx / p75 例 4）（ 1）如图，在abc 中，acb=10°5求 ab 和 bc 的长？， a=30°， ac=8 ，c（ 2）在 abc 中， abc=13°5求 ab 和 bc 的长？， a=30°， ac=8 ，ab（ 3）在 abc 中， ac=17 ， ab=26 ，锐角 a 满意 sina=ac=3 ，其他条件不变呢？解直角三角形的实际应用12 ，求 bc 的长及 abc 的面积？如13落实一： 能运用三角函数解决与直角三角形有关的简洁实际问题落实二： 会解由两个特别直角三角形构成的组合图形

22、的问题落实三： 能综合运用直角三角形的性质解决有关的问题例 1：如下列图，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆pq 的高度他们实行的方法是：先在地面上的点a 处测得杆顶端点p 的仰角是 45°，再向前走到b 点，测得杆顶端点p 和杆底端点q 的仰角分别是60°和 30°，这时只需要测出ab 的长度就能通过运算求 出电线杆pq 的高度 .你同意他们的测量方案吗？如同意，画出计算时的图形，简要写出运算的思路，不用求出详细值；如不同意，提出你的测量方案，并简要写出运算思路.例 2：如图，某小区在规划改造期间，欲拆除小区广场边的一根电线杆ab，已知距电线杆ab 水平距离 1

23、4 米处是观景台，即bd 14 米，该观景台的坡面 cd 的坡角 cdf 的正切值为2，观景台的高cf 为 2 米，在坡顶c 处测得电线杆顶端a 的仰角为30°， d、e 之间是宽2 米的人行道，假如以点b 为圆心，以 ab 长为半径的圆形区域为危急区域请你通过运算说明在拆除电线杆ab 时，人行道是否在危急区域内？2 1.41,3 1.73 例 3：在一次数学实践活动课上，老师带领同学去测一条南北流向的河宽，如下列图，某同学在河东岸点a 处观测到河对岸水边有一点c ，测得 c 在 a 北偏西 31°的方向上，沿河岸向北前行40 米到达 b 处，测得 c 在 b 北偏西 45

24、°的方向上，请你依据以上数据，求这条河的宽度（参考数值：tan313 ） 5例 4：如图， 在电线杆上的c 处引拉线ce、cf 固定电线杆，拉线 ce和地面成60°角，在离电线杆6 米的 b 处安置测角仪，在a 处测得电线杆上c 处的仰角为30°，已知测角仪高 ab 为 1.5 米，求拉线ce的长（结果保留根号） 练习：1、两个城镇a 、b 与两条大路me ，mf 位置如下列图，其中me 是东西方向的大路现电信部门需在 c 处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇a 、b 的距离必需相等，到两条大路me ， mf 的距离也必需相等，且在fme 的内部（ 1）那么点 c 应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点 c（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）（ 2）设 ab 的垂直