北大附中高考数学专题复习导数与微分经点答疑

1、学科：数学教学内容：导数与微分经点答疑（一）【学法旨要】1本章的学习目标是什么？（ 1）把握导数的定义，敏捷运用导数的定义运算函数在某一点的导数（ 2）把握函数在某点的可导性与连续性的关系，即函数在某点可导必连续，连续不肯定可导，不连续肯定不行导（ 3）把握求导法就，特殊是复合函数的求导法就；能娴熟地应用求导法就与基本公式求初等函数的导数；会求隐函数和参数方程所确定的函数的导数；并娴熟地运算某些简洁的初等函数的高阶导数（ 4）懂得中值定理特殊是拉格朗日中值定理，初步具有应用中值定理论证问题的才能（ 5）能娴熟地运用洛必达法就精确地运算各种不定式的极限（ 6）懂得泰勒公式的意义，能娴熟地写出泰勒

2、公式与马克劳林公式2学好本章学问的关键是什么？由于导数是从很多的实际问题中抽象出来的一个数学概念，所以要知道导数的构造性定义，正确懂得导数概念；知道导数是一种特殊类型的极限，即函数f （x ）在点x 0 处的函数的增量 fx 0xf x 0与相应的自变量的增量x 0xx 0xx0的比值当自变量的增量x 0 时的极限值f x0xfx0 x复合函数的求导是本章的重点，同时也是难点， 娴熟把握和运用复合函数的求导法就对 学好本章的学问具有重要作用复合函数求导的关键在于搞清复合函数的结构，明确复合次数，把一个初等函数由外向内分解成基本初等函数，以便利用导数公式（基本初等函数的导数）在求导过程中， 比如

3、， 函数 yfg x可看作 y f（ u）uv , vt , tg x几个基本初等函数复合而成，顺次先将最外层的f 关于 u 求导，再将次外层的关于求导，后将第三层的关于 t 求导， 即逐次由外向内关于相应的中间变量求导，直至最内层的函数g 关于自量x 求导为止，并把这些所求得的导数顺次相乘即得【经点答疑】1怎样懂得导数概念？在生产实践和科学试验中，经常需要争论函数相对于自变量的变化快慢程度例如， 要预报人造地球卫星飞过各大城市的时间，就需要知道卫星的飞行速度；要争论轴和梁的弯曲 变形问题， 就必需会求曲线的切线斜率等等求速度和曲线的切线斜率问题，叫做求变化率问题，数学上称为求导数下面，我们将

4、从几个实际问题入手，引入导数的概念引例 1求变速直线运动的瞬时速度解设有一质点m 在直线 ab 上自 o 点开头作直线运动（如图3-1）经过时间t 后，该质点离 o 点的距离是t 的函数 s s（ t）求质点m 在时刻t 0 的瞬时速度设在 t 0 到 t 0t 一段时间内距离从s0 变到 s0s，在 t 这段时间内质点m 所走的距离为ss t 0ts t 0 ,因此在 t 时间内，质点m 的平均速度为vss t 0tts t0. t如质点作等速运动，平均速度 v 就是质点m 在时刻t 0 的瞬时速度v0 如质点 m 的运动是变速的，就v 一般不会正好是t 0 的瞬时速度，但t 愈小， v 就

5、愈接近t 0 的瞬时速度，所以当 t 0 时， v 就可较精确的表示出时刻t 0 的瞬时速度因此，我们用极限v 0v t 0limv t0lim t s0 ts t 0 tlim t0 ts t 0来定义质点m 在时刻t 0 的瞬时速度瞬时速度v 反映了路程函数s（ t ）相对时间t 变化的快慢程度，称为函数st对于自变 量 t 的变化率引例 2切线的斜率解如图 3-2，求曲线y f（ x ）在其上一点p x0 , y0处的切线 pt 的斜率点 p 处的切线不是孤立的概念，它与已知的割线联系着在曲线上任意另取一点q，设它的坐标是x 0x , y 0y，其中x0.yfx 0xfx 0，就过点p

6、x 0 , y 0与 q x 0x, y 0y 的割线斜率k （即 y 对 x 的平均变化率）是kyfx 0xxfx 0. x当 x 变化时， 即点 q 在曲线上变化时， 割线 pq 的斜率 k 也随之变化 当|x|较小时， 取割线 pq 的斜率 k作为点 p 的切线斜率的近似值当| x|越小，这个近似程度也就越好于是，当 x 无限趋于0 时，即点 q 沿着曲线无限趋于p 时，割线 pq 的极限位置就是曲线过 点 p 的切线，同时，割线pq 的斜率 k 的极限 k 就是曲线过点p 的切线斜率（即y f（ x ）在点 x 0 处变化率）即ktanlimyx0xf x 0limx0xf x 0.

7、x这样就把求曲线在点p 处的斜率问题转化成求上面的极限问题引例 3求电流强度解设电流通过导线的横截面的电量是q（ t） ,它是时间t 的函数，求任一时刻t 0 的电流强度我们知道，在直流电路中，电流强度是单位时间内通过导线横截面的电量，即电量电流强度.时间在沟通电路中，电流大小是随时间而转变的，不能直接按上述公式求时刻t 0 的电流强度我们可通过以下方法得到：设在 t 0 到 t 0tt0一段时间内通过导线的电量是qq t 0tq t 0 .因此在这段时间内，平均电流强度i 为iq .t易知， t 取得越小，i 就越接近时刻t 0 的电流强度i如当 t 0 时， i 的极限存在，就平均电流强度

8、i 的极限就是时刻t 0 的电流强度因此，我们定义：ilim ilimqlimq t 0tq t0t0t0tt0t这样，我们又把求瞬时电流强度问题归结为求上面的极限问题通过以上三个实际问题，我们可以看到， 虽然三个问题的实际意义完全不同，但解决实际问题的数学结构是完全相同的，即只从数学结构来考虑，它们可归结为 （完全相同的数学结构）函数f （x）在某点x 0 处函数的增量yf x 0xf x 0与相应的自变量的增量x （ x 0）的比值当自变量x 无限趋于0 时的极限即limyx0xfx 0limx0xf x 0x在实际问题中， 仍有很多其他的问题也可归结为上面的极限来解决我们把这些问题中显现

9、的共同的数学结构抽象出来，就是我们的导数的概念，即导数是从这些实际问题中抽象出来的一个数学概念设函数y f （ x ）在点x 0 的某邻域内有定义，当自变量有增量x （ x 0 ）时（ x可正可负）函数有相应增量yfx 0xfx 0如极限ylimx0xf x 0limx0xf x 0x存在，就称函数f（ x ）在点x 0 可导，并称该极限值为函数f （ x ）在点x 0 （对 x ）的导数，记作f x 0 ，即fx 0f x 0limx0xfx 0. x也可记作y | xx , dy0或 dfx.0dxx x0dxx x如上面的极限不存在，就称函数f（ x ）在点x0 不行导有时，我们把x 0

10、x 记作 x，于是xxx 0 ，当 x 0 时，有 xx 0 ,就上面的极限可改为fxfxlimfx0.0xx0xx0导数定义的这两种表示法，在以后的应用中都要用到引入了导数概念之后，上面开头的三个引例都可用导数来描述，即要求质点在时刻t 0 的瞬时速度， 只要求出路程函数s（ t）在 t 0 的导数即可； 要求曲线y f（ x ）在点 p x0 ,fx 0处的切线斜率，只要求出函数f （ x ）在点x 0 处的导数即可；要求时刻t 0 的电流强度，只要求出电量函数q（t）在t 0 的导数即为所求时刻t 0 的电流强度很明显，函数增量与自变量增量之比y 是函数在以xx 0 和 x 0x 为端点

11、的区间上的平均变化率，而导数fx 0就是函数y f（ x ）在点x 0 处的变化率，它反映了函数f （ x ）在点 x 0 处随自变量的变化而变化的快慢程度注：从导数的定义中可以看出，导数实质上就是一种特殊的极限值，即函数f （x）在点 x0 处函数的增量yf x 0xf x 0与相应的自变量的增量t（ x 0）的比值y ，当自变量的增量x 无限趋于0 时的极限xlimx0y .但极限值并不肯定是导数，如xlimcosx t0如只争论函数在点x 0 的左邻域 （或右邻域） 上的变化率， 我们需引入单侧导数的概念设函数yf x 在点x0的某右邻域x0 ,x 0上有定义，如右极限ylimlimfx

12、0xfx0, 0x.x0xx0x存在，就称f （x）在点x 0 右可导，并称该极限为f （ x）在点x 0 的右导数，记作fx 0 .如极限limx0fxlimy 不存在，就称f （x ）在点xf x 0xfx 0,x 0 右不行导x0 .0x0x右导数与左导数统称为单侧导数由左、右极限与极限的关系，我们很简洁得到函数f （ x）在点x 0 可导的充要条件是f（x ）在点x 0 既是左可导又是右可导且左、右导数相等即fx 0 存在fx 0 与fx 0 都存在且相等 .由导数的定义可知，要用定义求y f（ x ）的导数 fx 0，可以分为以下三个步骤：(1) 求增量： yfx 0 xfx 0 .

13、 y(2) 算比值： xfx 0 x xfx 0.(3) 取极值： fx 0lim x y .0 xy利用导数定义求导数的难点是有一些比值的解析式不便于取极限，仍需将其变形或x化简，使极限limx0y 成为已知极限的形式，以便于运算x例 1求函数 yx 2 在点 x 3 的导数思路启发利用导数定义求函数的某点的导数时，应先求出当自变量在某点有增量x3（ x 0）时对应的函数的增量y,然后运算 y 与 x 的比值的极限规范解法1求y在点x3处 的 增 量.取 x0,y3x 22（ 2）算比值26xx2y6xx6x.xx（ 3）取极限f3limyx0xlim6x0x6.点评求函数在某点x 0 处的

14、导数，第一应判定函数在点x 0 处是否可导，即极限lim xy0x是否存在且有限如极限存在且有限，就函数在该点可导，此时，极限即为所求的导数；如极限不存在或极限为就函数在该点不行导例 2证明函数f（ x ） |x|在点 x 0 处不行导思路启发第一要求函数f （ x）在点x 0 处的左、右导数是否存在，如都存在且相等，就 f（ x）在 x0 处的可导，如至少有一个单侧导数不存在，或两两个单侧导数都存在但不相等，就函数f（ x ）在点 x0 处不行导规范证法由于 fxf0 x0f0lim| x | x1x0,1x0,fxf0x0x0lim 11,x0f0limfxf 0x0x0lim1x01.由

15、于f0f0 ,所以fx 在点x0处不行导 .点评判别分段函数在分段点处的导数是否存在时，由于在分段点的两侧函数的表达式不相同，故函数的增量y的结构在分段点的两侧也不相同，此时不能直接运算极限limx0y ，而应第一分别判定f（ x ）在分段点的两个单侧导数是否存在，即第一判定极限xlimy 与极限limy 的存在性，并由此而确定函数在分断点的可导性x0xx0x例 3证明：如 fx0 存在，就l ifx 0 xfx 0 x2fx 0 .m x0 x思路启发已知 fx 0存在，也即是极限fx 0limx0xf x 0x存在且等于fx 0，只要紧扣导数的定义，并把等式中的左端化成f （x ）在点x

16、0 处的导数的结构，该题的证明将简洁得到规范证法limfx0xfx0xx0flimx0x.0xxfx0fx0xfx0xlimfx0xx0xfx0fx0fx02 fx0limfx0 x0.xfx0x点 评在 导 数 的 结 构 （ 定 义 ）fx 0limx0xf x 0x中 ， 函 数 的 增 量fx0xf x 0与自变量的增量x 是相应的，即自变量有增量x 时，相应的函数的增量是 f x 0xf x 0，而在上面其次个极限中，函数的增量f x 0xfx 0所对应的自变量的增量是x（而非 x），这一点是至关重要的因此应当有 （易知 x 0 时， x 0）f x 0limx0xfx 0xx 0l

17、imx0xfx 0xfx 0 .例 4证明：如函数f（ x）与 g（ x ）当 x 0 时等于零，并且存在导数，且g 00 就lim fxf0.x0 g xg0思路启发由已知条件， 我们有 f xg xfx0fxf 0 g x0g xg 0f xf 0 x0g xg 0x0，又 f0与 g 0存在且 g00 ，故上面分式当x0 时分子与分母的极限存在且分母的极限不为零于是由极限的四就运算即可给出证明规范证法由已知有f0g 00, f0 与g0 存在且 g00.当x0时fxf0fxf xf 0x0,g xg xf xg 0g xg 0x0fxf 0limx0x0f0于是 lim.x0 g xli

18、m g xg 0g0x0x0例 5设 fxg x sin 1xx0,且已知g 0g00.求f0 .0x0.mmn思路启发直接利用导数的定义和正弦函数sin 1 的有界性 . xn规范解法l ifxf 0g x l i ms i1 xl ig xg 0s i1 .x0x0x0x0x0x0x又由于sin1 是有界量，limg xg 0g00,xg xg 0x0x01所以limsin0. 于是，f x在点x0可导且 f00.x0x0x例 6设 f xxax,其中函数x 在xa处是 连续的，求 fa .思路启发求 fa ，即是求极限limf ax0xf a , 即 xlimax0x，留意到函数x 在 x a 处是连续的，即l imaxx0a ，即可得出结果规范解法falimfaxfax0x xlima x0 x0 xlim x0a x .由于x 在xa连续，故lim x0a xa ，于是 faa .例 7f x| xa|x ,其中x 为连续函数及a0,