北大附中高考数学专题复习极限知识拓展

1、学习必备欢迎下载学科：数学教学内容：极限学问拓展【学问拓展】1如某个数列an 存在极限,即该数列为收敛数列,那么该收敛数列有哪些性质呢.收敛数列有几个重要性质，它们可表现为下面几个定理：定理1 :惟一性如数列an 收敛,就它的极限是惟一的.证明：假设数列a n有两个极限a 与 b，即l im an na 与 lim an nb ，依据数列极限定义，对于任意的 >0 分别有： 存在自然数n 1 , 当 nn 1 时，有 | a na |；存在自然数n 2 ，当 nn 2 时，有| anb |取 nmaxn 1, n 2，当 n>n时，同时有| a na |与| a nb |，于是当

2、n>n 时，有 | ab | | aa nanb | | aa n | anb |2 . 因为 a 与 b 是常数， 2 是任意小的正数， 所以只有a=b，上述不等式才能成立，即数列a n的极限是惟一的定理 2：（有界性）如数列a n收敛，就a n有界，即存在正数m，对任意自然数n 有| a n |m .证明：设l im a n xa ，依据数列极限的定义，取定01（ 可以依据需要任意选取），存在自然数n，当n>n 时，有| a na |1. 由于 | a n | a | a na | ，所以当n>n 时，有| a n | a | a na |1 或 | a n | a |1

3、, 即 | a n 1 | a|1, | an2 | | a |1, | a n 3 | a |1,在数列an中不满意不等式| an | a |1 的项充其量不过是前n 项：a1 , a 2 ,a n . 令mmax| a 1|,| a 2 |, | a n|,| a |1 于是，对任意自然数n，有 | a n |m .定理 2 指出收敛的数列必有界反之， 有界数列不肯定收敛例如， 已知数列1 n是有界的，但它却是发散的换句话说，有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件2什么是有界数列.学习必备欢迎下载定义：如存在两个数a， b 设 a<b，数列x n 中的每一项都在闭区间a ， b 内，

4、亦即ax nb n1,2,，就称x n为有界数列 这时 a 称为它的下界， b 称为它的上界 关于有界数列有下面几点说明(1) 假如 b 是数列x n的上界，那么b 1， b2， b+ >0 都是x n的上界这表明上界并不是惟一的，下界也是如此(2) 对于数列x n，假如存在正整数n，当 n>n时，总有 ax nb , 我们就说数列x n往后有界要留意，往后有界肯定是有界的，这是由于在n 项之前只有有限多个数x1 , x 2 , x n , 在这有限个数中必有最大的数和最小的数，设minx 1 , x 2 , x n，maxx 1 , x 2 , x n, 那么 mina ， 和

5、maxb， 就是整个数列x n的下界和上界(3) 有界数列也可以这样表达：如存在一个正数m，使得 | x n |m n1,2,，就称x n是有界数列或者也可以这么说，如存在原点的一个m 邻域 o ， m，使得全部x noo,m，就称x n是有界数列，这种表达和上面所给出的定义明显是等价的3什么是单调有界数列.设 x n是一个数列， 假如 x1x 2x 3x n, 我们就说这个数列是单调增加 上升 的假如 x1x 2x 3x n, 我们就说这个数列是单调削减 下降 的例如1就是一个单调削减的数列假如在上面数列中等号都不成立，就称它是严格单调增n加或严格单调削减的4数列的收敛判别法有哪法.方法1如

6、存在自然数n，当n>n，总有 a nb ncn ，且l im a n nl im c n nl ，就l im b nl .n 注：方法1 被称为夹挤定理例 1运算limn1n 211n 221.n 2n思路启发学习必备欢迎下载设 c nn 211n 22,n 2n只 要 找 到 两 个 数 列a n 与b n ， 使lim a n nlim b n nl, 就l im c nl.n规范解法设cn1n 211n 221,n 2n有cnc1n 2n11n2nn项11n 2n1n,n 2nn,nn21于是ncn21n项n.n 21n21nn2nn 21由 n2nn22n1n有nncn1,n 2

7、1n 2n,nn1,n1n 2nn 21n因已知故 l imnlimn1,nn111n21n2211.n2n方法 2单调有界数列存在极限例 2证明数列a ,aa ,aaaa ,a0 收敛，并求它的极限思路启发第一对于这种随n 的增大，数列的项有规律变化的情形可以用数学归纳法证明该数列单调并且有界这样该数列必存在极限可以设极限为l ，就依据第n+1 项与第 n项的关系列出关于l 的等式就可以求出l 规范证法设 snaaaa , 有 sn 1asn，用归纳法证明数列sn是 单 调 增 加 的 ， 又 是 有 上 界 的 显 然s1s2 ， 设sksk1 k是 自 然 数 有askask 1 ,as

8、kask 1，即 sk 1sk 2 ，就数列sn是单调增加的 明显，当n=1时， 有 s1aa1 设n=k时，有ska1 当n=k+1时， 也有sk 1askaa1a2a1a1，即数列sn是有上界的 由于数s2学习必备欢迎下载sn是单调增加的并且有上界，所以数就sn收敛设lim snnl ，已知n 1asn , 有sn1lim2 nalimns , 即 l 2al ，得 l1 1214a，由 sk0 可知， l 不能是负数，n就数列1sn的极限是 l1214a .5函数极限有哪些性质和数列极限性质完全相仿，函数极限也具有以下几个性质：性质 1如l im f xa, lim g xb, ，且 a

9、>b，就存在 >0，使当 0| xx 0 |时，fx>gxxx 0xx 0证明：取ab , 2那么存在10,当0| xx 0 |1时，有fxaab；同时又存在20，当20| xx 0 |2时，有g xbab， 现 在 ， 令2min1 ,2， 那 么 当 0| xx 0 |时 ， 就 有g xab 2fx .性质 2如lim fxa , l im g xb, 且存在 >0，使当 0| xx 0 |时，fx<gx，就 a bxx 0xx 0性 质3 如lim fxa 而a>ba<b ， 就 存 在 >0 ， 使 当 0| xx 0 |xx 0时,f

10、x>bfx<b性质 4如l im fxa , l im f xb, 就 a=b，这说明白函数极限的惟一性xx 0xx 0证明：采纳反证法， 假如 a b，不妨设 a>b，由性质 1 知道，存在 >0，当 0| xx 0 |时，有 fx>fx冲突，这就证明白a=b性质 5如存在 >0，使当 0| xx 0 |时， fx gx hx ，并且l im f xa ,xx 0l im h xa , 就 lim g xa .xx 0xx 0性质 6 局部有界性 如l im f xa ，就存在着 >0，使得 fx在区间x 0, x 0和xx 0x 0 , x 0内有

11、界，亦即在不等式0| xx 0 |所表示的区间内有界 注：如函数 fx在某个区间z 内满意 a fx b，其中 a，b 是两个常数， 我们称 fx在 z 内有界，并称a 是 fx在 z 内的下界， b 是 fx在 z 内的上界明显，对任何 >0， a- 都是 fx的下界， 同样对任何 >0，b+ 都是 fx的上界 这个定义也可以这样表达：设函数 fx在某个区间z 内满意 |fx| m，其中 m是一个正实数， 我们就称fx在 z 内有界以上两种说法明显是等价的学习必备欢迎下载证 明 ： 取 个 固 定 的 ， 譬 如 说 取 =1 ， 由l im f xa 知 道 ， 存 在 >

12、;0 ， 当xx 00| xx 0 |时，有 a-1<fx<a+1，这就证明白fx在 x 0, x 0和 x 0 , x 0内有界要留意的是， 由极限存在， 只能肯定函数在相应的某个去心邻域o x 0 ,x 0内有界，而不能肯定它在整个定义域内有界例如x 31yx1, 它的定义域是- ， 1 和1 ， + ，由前面的例子知道x 3lim13 依据性质6，存在某个 >0，在 1- ， 1 和1 ， 1+ x 31x1 x1x 31内，有界但是这个函数在它的定义域内有x1yx 2x1x1 x1 ，它的图形是一条抛物线，但除去x=1，可见在 - ， 1 和1 ， + 内是无界的6连

13、续函数有哪些性质.如 函 数fx和gx均 在 点x 0 处 连 续 ， 就 函 数fx± gx， fx· gx，fx/gxg x 00在点x 0 处也连续如函数y=fu在点u 0 处连续，ux在点x 0 连续，且x 0u 0 ，就复合函数yfx在点 x 0 连续如函数y=fx在区间 a ， b 上单调、连续，且fa= ，fb=，就其反函数yf1 x在区间 ， 或 ， 上单调、连续基本初等函数 包括幂函数、 三角函数、 反三角函数、 指数函数与对数函数 在它们各自的定义域上皆连续.由函数在一点x 0 处连续的定义及l im xx 0 ，有l im f xf x 0fl im x这就是xx 0xx 0xx 0说，对于连续函数，极限符号与函数符号可以交换，例求 l im sin x.x2思路启发由于函数y=sinx是初等函数， 所以它在其定义域- ，+ 上是连续函数，这样就可以利用lim fxf x 0flim x这个等式xx 0xx 0规范