初二数学期末专题复习之几何部分——菱形

1、初二数学期末专题复习之菱形一、学问点梳理（一）四边形的相关概念1、四边形在同一平面内，由不在同始终线上的四条线段首尾顺次相接的图形叫做四边形；2、凸四边形把四边形的任一边向两方延长，假如其他个边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形； 3、对角线在四边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线；4、四边形的不稳固性三角形的三边假如确定后， 它的外形、大小就确定了， 这是三角形的稳固性；但是四边形的四边确定后， 它的外形不能确定， 这就是四边形所具有的不稳固性，它在生产、生活方面有着广泛的应用；5、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360

2、76;；四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°；推论：多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于n2 . 180°；多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°；6、多边形的对角线条数的运算公式设多边形的边数为n，就多边形的对角线条数为（二）平行四边形1、平行四边形的概念两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；nn23 ；平行四边形用符号“ abcd”表示，如平行四边形abcd记作“ abcd”，读作“平行四边形abcd”；2、平行四边形的性质（ 1）平行四边形的邻角互补，对角相等；（ 2）平行四边形的对边平行且相等；推论：夹在两条平行线间的平行线段相

3、等；（ 3）平行四边形的对角线相互平分；（ 4）如始终线过平行四边形两对角线的交点，就这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积；（ 5）中心对称图形，对称中心是对角线的交点；3、平行四边形的判定（ 1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（ 2）定理 1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（ 3）定理 2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（ 4）定理 3：对角线相互平分的四边形是平行四边形（ 5）定理 4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4、两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的

4、距离；平行线间的距离到处相等；（ 4）两条平行线之间的距离两条平行线中， 一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离平行线间的距离到处相等留意： 1 距离是指垂线段的长度，是正值5、平行四边形的面积： s 平行四边形 =底边长×高 =ah（三）矩形1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；2、矩形的性质（ 1）具有平行四边形的一切性质（ 2）矩形的四个角都是直角（ 3）矩形的对角线相等（ 4）矩形是轴对称图形注： 用矩形的性质可以证明线段相等或倍分、直线平行、角相等等3、矩形的判定（ 1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（ 2）定理 1：有三个角是直

5、角的四边形是矩形（ 3）定理 2：对角线相等的平行四边形是矩形结论： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；留意：用定义判定一个四边形是矩形必需同时满意两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形也就是说有一角是直角的四边形，不肯定是矩形，必需 加上平行四边形这个条件，它才是矩形用定理 2 证明一个四边形是矩形， 也必需满意两个条件： 一是对角线相等； 二是平行四边形 也就说明： 两条对角线相等的四边形不肯定是矩形，必需加上平行四边形这个条件，它才是矩形4、矩形的面积： s 矩形=长×宽 =ab（四）菱形1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（ 1）具有平行四

6、边形的一切性质（ 2）菱形的四条边相等（ 3）菱形的对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角（ 4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（ 1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（ 2）定理 1：四边都相等的四边形是菱形（ 3）定理 2：对角线相互垂直的平行四边形是菱形留意：对角线相互垂直的四边形不肯定是菱形，必需加上平行四边形这个条件它才是菱形利用菱形的性质及判定可以证明线段相等及倍分、角相等及倍分、 直线平行、垂直，以及证明一个四边形是菱形和有关运算4、菱形的面积s 菱形 =底边长×高 =两条对角线乘积的一半菱形的运算转化为 三角形（五）正方形1、正方形的概念有一组邻边相等并且

7、有一个角是直角的平行四边形叫做正方形；矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的包含关系如图：2、正方形的性质（ 1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（ 2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（ 3）正方形的两条对角线相等，并且相互垂直平分，每一条对角线平分一组对角（ 4）正方形是轴对称图形，有4 条对称轴（ 5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（ 6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等；3 、正方形的判定判定一：一组邻边相等的矩形是正方形；判定二：一个角是直角的菱形是正方形判定三：有一组

8、邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；判定四：即是矩形又是菱形的四边形是正方形；（ 1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等；先证它是菱形，再证有一个角是直角；（ 2）判定一个四边形为正方形的一般次序如下：先证明它是平行四边形；再证明它是菱形（或矩形） ；最终证明它是矩形（或菱形）4、正方形的面积设正方形边长为 a，对角线长为 b2b2s 正方形 =a2（六）梯形1、梯形的相关概念一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形；梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底；梯形中不平行的两边叫做梯形的腰；梯形的

9、两底的距离叫做梯形的高； 两腰相等的梯形叫做等腰梯形；一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形；一般地，梯形的分类如下：一般梯形梯形直角梯形特殊梯形2、梯形的判定等腰梯形（ 1）定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形；（ 2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形；3、等腰梯形的性质（ 1）等腰梯形的两腰相等，两底平行；（ 3）等腰梯形的对角线相等；（ 4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线；4、等腰梯形的判定（ 1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形（ 2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形（ 3）对角线相等的梯形是等腰梯形；5、梯形的面积ab（ 1）（上底 +下

10、底） . 高2（2）梯形中位线. 高fedc（3）一腰中点到对腰的距离乘以此对腰的长s梯 abcd= bc . ef （如右图）s1s0sos 22（4）如右图s梯abcds1s2 （现记住结论就行了）（ 2）梯形中有关图形的面积： s abds bac ； s aods s adcsboc ； bcd6、梯形中位线定理梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半；7、解决梯形问题的常用方法（如下图所示）：梯形的常见帮助线的添加方法：作高、平移腰、延腰、平移对角线、等积变化（当然不要忘了依据条件敏捷添加帮助线）；通过添加帮助线，把梯形转化成平行四边形和三角形“作高”：使两腰在两个直角三角形中“移

11、对角线”：使两条对角线在同一个三角形中“廷腰”：构造具有公共角的两个三角形“等积变形”：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一点，构成三角形转化综上，解决梯形问题的基本思路：梯形问题边形问题，这种思路常通过平移或旋转来实现（七）各个四边形之间的关系（1）学问框架8、中心对称图形分割、拼接三角形或平行四（ 2）几种特殊四边形的性质边角对角线平行四边形矩形对边平行且相等对边平行且相等对角相等两条对角线相互平分两条对角线相互平分且相等四个角都是直角菱形正方形对边平行四边相等对边平行四边相等对角相等四个角都是直角两条对角线相互垂直平分，每条对角线平分一组对角两条对角线相互垂直平分且相

12、等，每条对角线平分一组对角（ 3）几种特殊四边形的常用判定方法平行四边形矩形菱形（ 1）两组对边分别平行；（ 2）两组对边分别相等；（ 3）一组对边平行且相等；（ 4）两条对角线相互平分；（5）两组对角分别相等；（ 1）有三个是直角；（2）是平行四边形且有一个角是直角；（ 3）是平行四边形且两条对角线相等；（ 1）四条边都相等；（2）是平行四边形且有一组邻边相等；（ 3）是平行四边形且两条对角线相互垂直；正方形（ 1）是矩形，且有一组邻边相等；（2）是菱形，且有一个角是直角；（八）中心对称图形1 ）把一个图形围着某一个点旋转180°，假如它能够与另一个图形重 合，那么就说这两个图形关

13、于这个点对称（中心对称）；2 把一个图形绕它的某一个点旋转180°，假如旋转后的图形能够和原先 的图形相互重合，那么这个图形叫做中心对称图形；性质： 1关于中心对称的两个图形是全等形；(2) 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分；(3) 假如两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称；注： 1以下图形是中心对称图形：直线、线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形等；(2) 以下图形不是中心对称图形：射线、角、三角形、等边三角形、等腰三角形等；(3) 特殊留意：平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；对比轴对称图形与中

14、心对称图形：轴对称图形中心对称图形有一条对称轴直线有一个对称中心点沿对称轴对折绕对称中心旋转180o对折后与原图形重合旋转后与原图形重合（九）主要思想方法小结1、转化思想（又叫化归思想）转化思想就是将复杂的问题转化为简洁的问题，或将生疏的问题转化为熟识的问题来处理的一种思想，本章应用化归思想的内容主要有两个方面：（1） 四边形问题转化为三角形问题来处理（2） 梯形问题转化为三角形和平行四边形来处理2、代数法（运算法）代数法是用代数学问来解决几何问题的方法，也就是说运用几何定理、法就，通过列方程、方程组或不等式及解方程、方程组、恒等变形等代数方法，把几何问题转化成代数问题来解决的方法3、变换思想

15、即运用平移变换、旋转变换、对称变换等方法来构造图形解决几何问题（十）应留意的几个问题1、不能把判定方法与性质混淆，应加深对判定方法中条件的懂得，重视判定方法中的基本图形， 不要用性质代替了判别 解题时不能想当然， 更不要忽视重要步骤2、在判别一个四边形是正方形时，简洁忽视某个条件，致使判定失误，要防止这种错误的产生就必需仔细熟记正方形的定义、特点和识别方法， 仔细区分各个特点、识别方法的条件，不要忽视隐含条件，防止错误的产生3、判别一个四边形是等腰梯形时，不要忽视了先判别四边形是梯形，对梯形的概念、性质、判定熟识要清4、纵横对比，分清各种四边形的从属关系，抓住其概念的内涵5、复习时，依旧从边、

16、角、对角线、对称性等角度来懂得和应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定方法，留意对问题的观看、分析与总结（十一）几何证明思路；（十三）做帮助线法就二、考点及题型考点 1 与菱形有关的运算问题1、如图，菱形 abcd 的对角线 ac， bd 相交于 o 点， e，f 分别是 ab，bc 边上的中点，连结ef.如 ef3，bd4，就菱形 abcd 的周长为 a 4b46c47d28解析有三角形的中位线的性质可得ac 2ef23，再由菱形的性质可得 oa3，bo2，所以 ab（3）2227，所以周长 4ab47.2如图，四边形 abcd 是菱形， ac=8，db=6， dh ab 于 h，就

17、 dh=（）abc 12d24【分析】 设对角线相交于点o，依据菱形的对角线相互垂直平分求出ao 、bo，再利用勾股定理列式求出ab ，然后依据菱形的面积等对角线乘积的一半和底乘以高列出方程求解即可【解答】 解：如图，设对角线相交于点o，ac=8 ，db=6， ao=ac= ×8=4，bo=bd= ×6=3，由勾股定理的， ab=5，dh ab ，s 菱形abcd =ab .dh=ac .bd ，即 5dh=×8×6，解得 dh=应选 a 3、如图，矩形 abcd 中，ab8，bc4.点 e 在边 ab 上，点 f 在边 cd 上，点g， h 在对角线

18、ac 上如四边形egfh 是菱形，就 ae 的长是（）a 25b35c5d6解析连结 ef 交 ac 于 o，由四边形 egfh 是菱形，得到ef ac， oe of，由于四边形abcd 是矩形，得到 bd 90°， abcd ，通过cfo aeo，得到 aoco，求出 ao 125，依据 aoe abc，2ac即可得到结果4、如图，矩形 abcd 中，ab8，点 e 是 ad 上的一点，有 ae4， be 的垂直平分线交 bc 的延长线于点 f，连结 ef 交 cd 于点 g，如 g 是 cd 的中点，就 bc 的长是 解析由于g是 cd的中点，所以dg cg 4.在 dge与 c

19、gf中， d gcf，dgcg， egd fgc，所以 dge cgf.所以 cfde，fgeg.令 bcad x，就 cfdex4，所以 bf2x4，在 rtdge 中，依据勾股定理可得 eged2 dg2 （ x4）242.又由于 hf 垂直平分 be，所以 ef bf，bf2 2eg2，所以 2x424 x42 42 ，解得 x7，故答案为 7.训练 1 训练 2 如图，在菱形 abcd 中，过点 b 作 bead ， bfcd，垂足分别为 e，f，延长 bd 至 g，使得 dg=bd ，连接 eg，fg，如 ae=de ，就 egab= 【逐步提示】设出菱形的边长，依据题意确定菱形中各

20、线段的长度，连接ef， 通过勾股定理确定eg 的长，最终求得比值【解析】由于 dg=bd ，所以 ab=ad=cb=cd=bd ，所以 abd=6°0，又 be ad，所以 ebd=3°0，连接 ef，交 db 于 h，就 eh=32，dh= 12，hg=5 ，由勾股定理得 eg=7 ，所以 eg =7 2ab2【解后反思】题目当中没有数据，设出线段的长度可利于题目的运算，线段的长度的确定以利用以利于运算为标准，构造帮助线是解题的关键训练 2 如图，四边形 abcd 与四边形 aefg 都是菱形，其中点c 在 af 上，点aee，g 分别在 bc，cd 上，如 bad135

21、°， eag 75°，就ab 解析作 eh ab 于 h，由对称性知，图形关于af 对称，1 bae dag 2badeag 30°， b180° bad 45°.在 rtbhe 中， b beh45°，设 bhx，就 ehbhx，在 rteha中， bae 30°，就 ae2he 2x，ahae2 eh2（2x）2 x23x.abbhah x3x，故abx3x13.ae2x25、如图，菱形 abcd和菱形 ecgf的边长分别为 2 和 3，a=120°，就阴影部分的面积是（）a3b2c 3d2解：如图，设 bf、

22、ce相交于点 m，菱形 abcd和菱形 ecgf的边长分别为 2 和 3， bcm bgf，cmbc ，即gfbgcm2；32+3解得 cm=1.2； dm=21.2=0.8 ； a=120°， abc=18°0 120°=60°；菱形 abcd边 cd上的高为 2sin60 °=2×菱形 ecgf边 ce上的高为 3sin60 °=3×33 ，2333 ；22阴影部分面积 =sbdm+sdfm= 1 ×0.8 ×23 + 1 ×0.8 × 33223 ；应选a；考点 2线段

23、的最值问题1、如图，菱形 abcd中， ab=2， a=120°，点 p，q，k 分别为线段 bc，cd， bd上的任意一点，就pk+qk的最小值为 ba1b3c 2d 3 1【解析】如图4-2，点 q 关于直线bd 的对称点为q，在 kpq 中， pk qk 总是 大于 pq的如图4-3，当点 k 落在 pq上时， pk qk 的最小值为pq如图 4-4， pq的最小值为 qh， qh 就是菱形abcd 的高， qh3 这道题目应用了两个典型的最值结论：两点之间，线段最短；垂线段最短图4-2图4-3图 4-4训练 1 如图，边长为 4 的正方形 abcd ，点 p 是对角线 bd

24、上一动点，点 e 在边 cd 上， ec 1， 就 pcpe 的最小值是5训练 2 在菱形 abcd 中， ab=2， adc= 120°， m 是 ab 的中点， p 为对角线bd 上的一动点，在运动过程中，记ap+mp 的最大值为s,最小值为t，就22st的值为dcpamb训练 3 如图， 在边长为2 的菱形 abcd 中， a =60°， m 是 ad 边的中点， n 是 ab 边上一动点，将amn 沿 mn 所在的直线翻折得到a ' mn，连接a' c , 就a ' c 长度的最小值是7 -1 .2、如图 9-1，在 rtabc 中， c 9

25、0°，ac 6，bc 8点 e 是 bc 边上的点， 连结 ae， 过点 e 作 ae 的垂线交ab 边于点 f，求 af 的最小值图 9-1【解析】如图9-2，设 af 的中点为d，那么 da de df 所以 af 的最小值取决于de 的最小值如图 9-3，当 de bc 时， de 最小设da de m，此时 db 5 m3由 ab dadb ，得 m5 m10 解得 m31515此时 af 2m42图 9-2图 9-3方法小结：两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流” （如图 1）三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两

26、次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图 2）两条线段差的最大值问题， 一般依据三角形的两边之差小于第三边， 当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长如图 3，pa 与 pb 的差的最大值就是 ab，此时点 p 在 ab 的延长线上，即 p图 1图 2图 3注：解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更便利考点 3 菱形的证明1、已知：如图，在正方形abcd中，点 e、f 分别在 bc和 cd上， ae = af（ 1）求证： be = df；（ 2）连接 ac交 ef于点 o，延长 oc至点 m，使 om = oa，连接 em、fm判定四边形 aemf是

27、什么特殊四边形？并证明你的结论训练已知：如图，在矩形abcd中，点 e 在边 ad上，点 f 在边 bc上，且 ae=cf，作 egfh，分别与对角线bd交于点 g、h，连接 eh， fg（1）求证： bfh deg；（2）连接 df，如 bf=df，就四边形egfh是什么特殊四边形？证明你的结论【考点】 矩形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定【分析】 （1）由平行四边形的性质得出adbc， ad=bc，ob=od，由平行线的性质得出fbh=edg， ohf=oge，得出 bhf=dge，求出bf=de，由 aas即可得出结论；（2）先证明四边形egfh是平行四边形，再由等腰三角形的性

28、质得出efgh，即可得出四边形 egfh是菱形【解答】 （1）证明：四边形abcd是平行四边形， adbc， ad=bc， ob=o，d fbh=edg， ae=cf， bf=de， egfh， ohf=oge， bhf=dge，在 bfh 和 deg中， bfh deg（ aas）；（2）解：四边形egfh是菱形；理由如下：连接df，如下列图：由（ 1）得： bfh deg， fh=eg，又 egfh，四边形egfh是平行四边形，bf=df， ob=o，d efbd， efgh，四边形egfh是菱形考点 4 图形的平移和旋转（与三角形的综合）1、如图，在菱形abcd 中， dab =60&#

29、176;，点 e 为 ab 边上一动点（与点a，b 不重合），连接ce，将 ace 的两边所在射线ce， ca 以点 c 为中心，顺时针旋转120°， 分别交射线ad 于点 f， g.（ 1）依题意补全图形；（ 2）如 ace= ，求 afc的大小（用含的式子表示）；（ 3）用等式表示线段ae、af 与 cg 之间的数量关系，并证明（1）补全的图形如下列图.（ 2）解：由题意可知，ecf= acg= 120°. fcg= ace= .四边形 abcd 是菱形， dab= 60°， dac= bac= 30 °.2 分 agc= 30°. afc

30、 =+ 30°.3 分（3）用等式表示线段ae、af 与 cg 之间的数量关系为aeaf3cg .证明：作ch ag 于点 h.由（ 2）可知 bac= dac= agc= 30°. ca=cg.5 分 hg =1ag.2 ace = gcf ， cae = cgf ， ace gcf.6 分 ae =fg .在 rthcg 中，hgcgcoscgh3cg.2 ag =3 cg .7 分即 af+ae =3 cg .训练 如图 1，在菱形 abcd中， ac=2，bd=3，ac， bd相交于点 o（ 1）求边 ab的长；（ 2）如图 2，将一个足够大的直角三角板60

31、6;角的顶点放在菱形abcd的顶点 a处，绕点 a 左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边bc，cd相交于点 e，f，连接 ef 与 ac相交于点 g判定 aef是哪一种特殊三角形，并说明理由；旋转过程中，当点e 为边 bc的四等分点时（ be ce），求 cg的长11解：（1）四边形 abcd是菱形， aob为直角三角形，且 oa=ac=1，ob=222bd= 3 ；在 rtaob中，由勾股定理得： ab= oa 222ob132 ；（ 2） aef是等边三角形；理由如下：由（ 1）知，菱形边长为 2，ac=2， abc与 acd均为等边三角形； bac=bae+cae=6&#

32、176;0又 eaf=caf+cae=6°0；， bae=caf；在 abe 与 acf中 ， bae=caf， ab=ac=2 ，eba=fca=60°， abe acf（ asa）； ae=af； aef是等腰三角形；又 eaf=60°， aef是等边三角形；13bc=2， e 为四等分点，且bece， ce=， be=；由知 abe acf，22；3cf=be=2eac+aeg+ega=gfc+fcg+cgf=18°0（三角形内角和定理），aeg=fcg=6°0 （等边三角形内角） ，ega=cg（f 对顶角）， eac=gfc；在 ca

33、e与 cfg中， eac=gfc， ace=fcg=6°0 ，3 cae cfg；cgcf ，即cecacg2 ；解得： 1223；cg=8【考点】旋转的性质，菱形的性质，相像三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理；【分析】（1）依据菱形的性质，确定aob为直角三角形，然后利用勾股定理求出边 ab的长度；（2）确定一对全等三角形abe acf，得到 ae=af，再依据已知条件 eaf=60°，可以判定 aef是等边三角形；确定一对相像三角形cae cfg，由对应边的比例关系求出cg的长度；【解后反思】 对于旋转相关问题，要始终留意旋转的

34、性质，即：（1）旋转不转变图形的大小与外形，只转变图形的位置；也就是旋转前后图形全等；（2）对应点与旋转中心所连线段间的夹角为旋转角，旋转角都相等 故旋转问题要留意旋转角度和旋转前后的对应边， 这些相等问题都是进一步解题的基础此类问题简洁出错的地方是不会利用旋转的性质, 特殊是对于第（ 4）问画不出相应图形中的帮助线而导致不会求解考点 5 与平行四边形的综合1、在平行四边形 abcd中， ac、bd交于点 o，过点 o作直线 ef、gh，分别交平行四边形的四条边于e、g、f、h 四点，连结 eg、gf、fh、he.（ 1）如图，试判定四边形egfh的外形，并说明理由；（ 2）如图，当 efgh

35、时，四边形 egfh的外形是；（ 3）如图，在（ 2）的条件下，如 ac=bd，四边形 egfh的外形是；（ 4）如图，在（ 3）的条件下，如 acbd，试判定四边形egfh的外形，并说 明理由 .g aedaedaeaeddogohghghohobfcbfc图图bfc图bfc图2、已知 , 矩形 abcd 中,ac 的垂直平分线 ef 分别交 ad 、 bc于点 e 、 f , 垂足为 o .(1) 如图 10-1, 连接 af 、 ce . 求证四边形 afce 为菱形 , 并求 af 的长；(2) 如图 10-2, 动点 p 、 q 分别从 a 、 c 两点同时动身 , 沿afb 和cd

36、e 各边匀速运动一周 . 即点 p 自 a f b a 停止, 点 q 自c d e c 停止. 在运动过程中 ,已知点 p 的速度为每秒 5 cm , 点 q 的速度为每秒 4 cm , 运动时间为 t 秒, 当a 、c 、 p 、 q 四点为顶点的四边形是平行四边形时, 求 t 的值.如点 p 、q 的运动路程分别为a 、b 单位: cm , ab0 , 已知 a 、 c 、p 、q 四点为顶点的四边形是平行四边形, 求 a 与 b 满意的数量关系式 .aedaedaedppoqqbfcb图 10- 1fc图 10- 2bfc备用图2 明显当 p 点在 af 上时, q 点在 cd 上,

37、此时 a 、c 、p 、q 四点不行能构成平行四边形 ; 同理 p 点在 ab 上时, q 点在 de 或 ce 上, 也不能构成平行四边形 . 因此只有当 p 点在 bf 上、q 点在 ed 上时, 才能构成平行四边形以 a 、 c 、 p 、 q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,点 p 的速度为每秒5cm , 点 q 的速度为每秒 4 cm , 运动时间为 t 秒以 a 、 c 、 p 、q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,abpfeq dcaedaeq daedqqppbfcb pfc bfc图 1图 2图 3三、巩固训练1、如图，在 abc 中， de 分别是 ab ，ac 的中点

38、， be=2de ，延长 de 到点 f，使得ef=be ，连 cf（1）求证：四边形bcfe 是菱形；（2）如 ce=6，bef=120 °，求菱形bcfe 的面积【考点】 菱形的判定与性质【分析】 （1）从所给的条件可知，de 是abc 中位线，所以debc 且 2de=bc ，所以bc 和 ef 平行且相等，所以四边形bcfe 是平行四边形，又由于be=fe ，所以是菱形；（2）由 bef 是 120°，可得 ebc 为 60°，即可得 bec 是等边三角形，求得be=bc=ce=6 ，再过点e 作 egbc 于点 g，求的高eg 的长，即可求得答案【解答】

39、 （1）证明： d 、e 分别是 ab 、ac 的中点， debc 且 2de=bc ，又be=2de ， ef=be ， ef=bc ，efbc， 四边形 bcfe 是平行四边形，又be=ef ，四边形 bcfe 是菱形；（2）解： bef=120 °， ebc=60 °， ebc 是等边三角形，be=bc=ce=6 ，过点 e 作 eg bc 于点 g， eg=be .sin60 °=6×=3，s 菱形 bcfe=bc .eg=6 ×3=18【点评】 此题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理，以及菱形的面积的运算等学问点留意证得bec

40、是等边三角形是关键2 如图，在rt abc 中， b=90 °，点 e 是 ac 的中点， ac=2ab ， bac 的平分线ad交 bc 于点 d，做 af bc ，连接 de 并延长交af 于点 f，连接 fc.求证：四边形adcf 是菱形；【逐步提示】第一步利用aas证明 aef ced,其次步利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证出四边形adcf是平行四边形，第三步通过运算出角的度数证明dac= acb,第四步利用“等角对等边”证出da=dc,第五步利用“一组邻边相等的平行四边形是菱形”证出四边形adcf 是菱形 .【具体解答】解：af cd ， afe=cde,在

41、 afe 和 cde 中 afe aef aececdeced afe cdeaf=cd,af cd ，四边形 adcf 是平行四边形， b=90 °， acb=30 °， cab=60 °，ad 平分 cab dac= dab= acd=30 °，da=dc四边形 adcf 是菱形 .【解后反思】 此题考查菱形的判定、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等学问，解题的关键是敏捷运用这些学问解决问题. 1判定两个三角形全等的基本思路：有 两个角对应相等时，找任意一条对应边相等；有两条边对应相等时，找夹角对应相等或第三边相等； 有一条边和一个角对

42、应相等时，找等角的另一条邻边对应相等或另一个角对应 相等；假如有直角三角形，仍可以考虑用“hl ” ;平行四边形判定方法：两组对边分别分别平行的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线相互平分的四边形是平行四边形；菱形的判定方法： 一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线相互垂直的平行四边形是菱形.【关键词】全等三角形的性质；三角形全等的识别；角的平分线的性质；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定; 平行四边形的判定; 菱形的判定 ; 平行线的判定 .3 如图，在平行四边形 abcd中，对角线 ac、bd相

43、交于点 o，过点 o作直线 efbd， 分别交 ad、bc于点 e 和点 f，求证：四边形bedf是菱形aedobfc第 17 题【答案】证明：四边形abcd是菱形，adbc，ob=od，1分 edo= fbo， oed= ofb，2 分oed ofb，de=bf，3分又 de bf，四边形 bedf是平行四边形，4分efbd， 四 边 形 bedf 是 菱 形4、如图， 将等腰 abc 绕顶点 b 逆时针方向旋转度到 a1bc1 的位置， ab 与a1c1 相交于点 d，ac 与 a1c1、bc1 分别交于点 e、f. 1 求 证 ： bcf ba1d； 2当 c度时，判定四边形a1bce 的外形并说明理由解答 1证明： abc 旋转到 a1bc1， cbf a1bd， abc a1bc1， abc 为等腰三角形，bcaba1b， c a a1 ， bcf ba1dasa；2解：四边形 a1bce 是菱形 理由如下： c， c1 a ， 即 cbf c1，a1e bc，又 a1bd a ，a1b ec，四边形 a1bce 为平行四边形