抛物线的切线问题卢妮

1、探究抛物线的切线问题教学设计 一. 教学目标 1. 掌握抛物线的切线方程的求法，巩固“坐标法”在解决直线与抛物线线位置 关系问题的应用. 2. 培养学生的运算能力和思维能力，让学生进一步体会数形结合、化归与转化 的数学思想. 3. 通过问题的探究，培养学生勇于探索的精神，使学生经历一个发现问题，研 究问题，解决问题的思维过程，从中领悟其过程所蕴涵的数学思想，体验数 学发现和创造的历程，培养学生的创新精神. 二. 教学重点和难点 抛物线的切线问题的情景下，用“坐标法”解决直线与抛物线的位置关系问题. 三. 教学过程 （一）引入 在近儿年高考中，解析儿何题出现了以抛物线的切线为载体的直线与圆锥曲线

2、 的位置关系问题，如2019全国卷文1【,2017全国卷文【，2012全国卷、2006 全国卷II, 2013广东,2008山东，2009浙江等试题中的解析儿何题都以抛物线的 切线形式出现，所以我们有必要研究这些题口，希望通过研究它们来进一步提高 我们对直线与抛物线的位置关系的认识，提高我们的解题能力。 一.知识链接 1直线与抛物线的位置关系 相离 相切 相交 注意：不能以直线与抛物线交点个数判怎切线。当直线与抛物线的对称轴平行或重合时有一 个交点，是相交不是相切。 2. 抛物线的切线问题的处理思路： 思路1：联立直线方程与抛物线方程，得到一元二次方程，判别式 =()： 思路2：导数法，将抛物

3、线方程化为函数，利用导数法求出函数在点处的切线方 程，特别是焦点在y轴的抛物线上常用此法求切线. 抛物线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法. 二.典例剖析 例题：已知抛物线C:x2 = 2y (1)点D(2,2),则过点D且与抛物线C仅有一个交点的直线方程为 _ 点过作C的切线，则切线方程为 _ 2丿 变式1: (2019年高考全国卷3,文科21 (1) X2 1 已知曲线C .y = .D为直线y =-上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为人3 2 2 证明：直线AB过定点. 分析(1)可设人(召)，B(x2,y2), 然后求出A, B两点处的切线方程，比如AD： 2 儿+ + =斗

4、(召/),又因为BD也有类似的形式，从而求岀带参数直线AB方程，最后求岀 它所过的定点. (1)证明：设则必=异。又因为y = -x2,所以y* = x.则切线DA 厶 乙 厶 的斜率为易，故= ，整理得2久2) + 1= 0.设3(“2)，同理得 2风一2”+1 = 0“（知必）（兀2*2）都满足直线方程2/x-2y + l=于是直线 2tx-2y + = 0过点而两个不同的点确立一条直线，所以直线A3方程为 2/x2y + l=0.即2空+ （-2+ 1） = 0,当2x = 0,2y + l = 0时等式恒成立。所以直线43 恒过定点（0,-）. 2 一般结论:过抛物线的准线上任一点作抛

5、物线的两条切线，切点弦过抛物线的焦点. 上述命题的逆命题是否成立? 变式2： （2006年高考全国卷2,理科21改编） 已知抛物线C:y =才，倍点为F, A、B是抛物线两动点，且乔=俪（几0）.过人、 B两点分别作抛物线的切线，设其交点为D求点D的轨迹. 解：设直线的方程为y = kx + -f焦点 2 整理有疋一2也一1=0 由抛物线方程C:y = y 可设点A、B的坐标分别为（召, 召吃=_1 由 “L = 2y ,得） = , y9 乙 过点A、 B的切线的斜率分別为 y L=.vj = X , y 1 V=X2 = x2 于是过点A的切线D4方程为： 2 y-牛=g-州），联立直线A

6、B方程和抛物线方程有 V = kx + 2 由韦达上理可知x+x2 = 2k 9 x 整理得y = 丄(1) 2 2 同理可得： 过点B的切线3D的方程为y = x2x-. 联立、，解得x = ,=竺BPjx2=2/?y（/?0）,焦点为F ,过点F的直线与抛物线相交于A、B 两点，过A、8的切线相交于点D, A DAB称作阿基米德三角形。该三角形满足以下特性: 1、 D点必在抛物线的准线上 2、 DA 丄 DB 3、 FD 丄 ； 4、 AD.B三点的横坐标成等差数列 更多结论 . （三）对点训练 （2018年高考全国卷3,理科16） 已知点必（一 1，1）和抛物线C：b=4x,过C的焦点且

7、斜率为&的直线与C交于A, 3两 点.若Z4MB = 9O。，则2= _ . 详解：设A（x,yJ,Bg,y2） 22=42 所以.Vi2-y22 =4州一 4兀 所以“4=亠 西一 *2 ?1 + 2 取AB中点M（Xo,儿）,分别过点A,B作准线x=l的垂线，垂足分别为A,B 因为 NAMB = 90 , = AB = 1（|AF|+|BF|） = *网+|阳 I）， 因为为AB中点， 所以MM;平行于x轴 因为 M（-l,l） 所以儿=1,则开+儿=2即k = 2 （四）课堂小结 1. 通过本节课学习，我们发现这些题中都有一个相似的地方：过抛物线外一点 作抛物线的两条切线，同时这两条切线所带来一些性质比如切点坐标，定值等， 在这里还有其他性质我们在课外可以继续研究。 2. “坐标法”始终是解决直线与圆锥曲线位置关系的基本方法， 而“韦达定理” 始终起到“桥梁”作用。 五作业： 1.（2017年高考全国卷1,文科2