初二数学上册分式基础知识梳理及经典例题分析

1、第三章分式一、基础学问梳理（本章主要与分数、四就运算、幂、方程式、分解因式等结合学习）1、分式的概念 :一般地，假如 a 、b 表示两个整式， 并且除式 b 中含有字母， 那么式子叫分式；解析： 1分母中含有字母是分式的一个重要标志，它是分式与分数、 整式的根本区分；分式 a/b 有意义，就 b=02分式的分母的值不能等于零如分母的值为零，就分式无意义； 反之，如分式 a/b 无意义，就 b=03当分子等于零而分母不等于零时，分式的值才是零反之，如分式 a/b=0 ，就 a=0，且 b 0分式的相关概念：分式的约分： 指把一个分式的 分子与分母的公因式 约去；分式约分的依据是分式的基本性质分式

2、约分的主要步骤是： 1把分式的分子与分母 化为积的形式 ;2约去分子与分母的 公因式约分的关键是确定公因式；确定公因式分三步：确定因式（假如分母是多项式要第一分解因式）：挑选全部因式中显现的相同因式；确定指数：挑选相同因式中指数最低的次数；确定系数：求各个系数的最大公约数；最简分式： 一个分式的分子和分母没有公因式时，叫做最简分式 ，也叫既约分式分式的通分：指把几个异分母的分式分别化成与原先的分式相等的同分母的分式. 分式通分的依据是 分式的基本性质通常取各分母的全部因式的最高次幂的积 作公分母，这样的公分母， 叫做最简公分母 .确定最简公分母分三步： 确定因式 （假如分母是多项式要第一因式分

3、解） ：挑选各个分母中显现的全部因式；确定指数：挑选各个因式中指数最高的次数；确定系数：求各个系数的最小公倍数；2、分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式 ，分式的值不变 .用式子表示是：aambbma m 其中 m 是不等于零的整式 b m特殊提示： 1 在解题过程中，分母不为0 是作为隐含条件给出的如是分式，就说明分母中的字母肯定能满意使分母不为0；2 在运用分式的基本性质时，肯定要重点强调c0这个 条件，没有给出的，要争论是否等于0分式的变号法就：分式的分子、分母与分式本身的符号，转变其中任何两个，分式的值不变如：（1） aabbaaaa （2） bbbbaa

4、ab ；（ 3）bb .xy但要留意下面的错误：xy3、分式的运算：xyxyxy =-1 是错误的，应当是xy xyxyxyxy .分式的乘法法就：分式乘分式，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母；用式子表示是乘法法就 ： acacbdbd分式除法法就 ：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘；用式子表示是除法法就：acadad bdbcbcana n分式的乘方法就： 分式乘方是把分子、分母各自乘方；表示为：bbn n 为整数 分式加减法法就：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；用式子表示是：ababccc异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减用式子

5、表示是：pacadbc bdbd零指数幂的性质：a01a0 ， 负指数幂的性质： a1 a0，n 为整数 a p分式的混合运算原就：先乘方，再乘除，再算加减，有括号，先算括号内的；分式运算规律总结 ：1 含有分式的加减运算中，整式可以看作是分母为1 的式子，然后通过通分进行运算； 2 能约分的要先约分，可以削减运算步骤；3 留意运算步骤，也是先算乘方，再算乘除，最终算加减，有括号的先算括号里面的；4 另外可以结合交换律，结合律，安排律等，可以使运算更简便运算的结果要化为最简分式或整式；（ 5）分式的乘除运算中，整式可以看作分母为1 的式子，然后依照分式的乘除法就进行运算；（ 6）乘方法就中 “

6、分子、分母分别乘方”指的是分子、分母整体分别乘方，而不是部分；（7）分式乘除法如无附加条件（如括号等） ，应依据从左到右的次序进行；最好先将算式中的除式的分子、分母颠倒位置，将除法转化为乘法后再运算；4、分式方程定义：分母里含有未知数的方程叫分式方程解分式方程的一般步骤：1在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方 程 2 解这个方程 3把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零；使最简公分母为零的根不是原方程的解，必需舍去（1）为什么要检验根？在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根）；对于原分式方程的解来

7、说，必需要求使方程中 各分式的分母的值均不为零， 但变形后得到的整式方程就没有这个要求. 假如所得整式方程的某个根，使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为零，也就是说使变形时所乘的整式 （各分式的最简公分母）的值为零，它就不适合原方程，就不是原方程的解；（2）验根的方法：一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为 0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，假如最简公分母的值不为0，就整式方程的解是原分式方程的解，否就，这个解不是原分式方程的解；应当舍去；列分式方程解应用题依据实际问题的数量关系，列代数式；依据等量关系，列出分式方程；与列一元一次方程解应用题的

8、不同之处在于：所列的为分式方程，要检验是否为所列方程的根；二、纵深懂得基础学问例题精讲经典例 1 写出一个含有字母x 的分式： （.要求：不论 x 取任何实数，该分式都有意义，且分式的值为负）思路解析： 这是一道开放性试题，解题的关键是正确懂得分式的概念和有意义的条件，第一找出符合条件的字母，由于x 本身取任意实数，所以当分母取ax2n+b（a、b 同号且 n 是正整数）时， ax2n+b 0因. 此分母可以用x2+1，3x2+2，-2x2-5 等来表示，而对于分子，由于分式的值为负，因此也可用ax2n+b 来选取 .但要留意分子、分母异号，分式要写成最简形式.答案： 如| x |1,x 21

9、1x 22 x221 答案不唯独 经典例 2 如 x 22 x3 的值为零，就 x 的值是 a. ±1b.1c.-1d.不存在思路解析：| x | x10,22x30, 解得 x=-1.答案： c解题关键： 分式的值为零，必需同时满意两个条件：一是分子等于零；二是分母不等于零；列出条件后，将分子等于0 的 x 值，代入分母中，如分母为0，就此值舍去；x 2经典例 3 小明说：“x 说明理由 .9x 23 可以化简为 x-3 ，所以 x93 应当是整式 . ”你认为他的说法正确吗？思路解析： 这里的化简即约分，依据是分式的基本性质，在分式值范畴是 x-3，而在 x-3 中 x 的取值范

10、畴是任意实数 .x 29x3中,字母 x的取解题关键： 在分式的约分中，默认的是字母的取值使分母不等于零；而在整式中，字母可取任意实数 .x 29答案： 不正确，化简后 x 的取值范畴不同，因此x-3 不能代替x3.举一反三提高训练1以下分式的变形是否正确？为什么？x1（1） x1 x1 x1 x1 x1 x1 2x21a；（2） a1aaa1aa 22aa .思路解析： 两题运算都应用了分式的基本性质：分子、分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.在以上变形中，没有指明（x-1）和 a 不为零 .假如指明白就正确答案： 都不正确，由于无法保证（1）中分子、分母同乘以的x-1

11、和（ 2）中的 a 不为零 .举一反三提高训练2以下分式变形是否正确 .为什么 . x1 2x1 x1x1a 2aaa（1）x21x1 x1x1 ;（2） a 2aa1aa1 .x1 2a 2和思路解析： 两个变形也是利用分式的基本性质，原先的两个分式x- 10和 a0，故变形正确 .x 21a 2a中隐含了答案：变形正确，由于原分式 x1 2a 2和x 21a 2a 中隐含了 x-10和a0的条件 ,可以进行约分 .x经典例 4： 分式 3 xa1 中，当 x=-a 时，以下结论正确选项 a. 分式的值为零b.分式无意义11c.如 a 3 时,分式的值为零xad.如 a3 时,分式的值为零1

12、1思路解析： 由条件 x=-a,知 3x1 =0，但分母为 0 时,分式无意义 ,就 x3 ,故 a- 3.答案： cx2经典例 5： 约分： x yz 222yz.思路分析： 分子、分母是多项式时，应先分解因式，再约分.x 2解: x yy2z 2z2 xy xy1,z xyzz xyz22,3xyzxyz .经典例 6.通分： ab 2aba 2b.思路分析： 由于-a+b=-a-b，a2-b2=a+ba-b，所以最简公分母是 a-ba+b2.，解:最简公分母是 a-ba+b21ab222ab 2 ab 23ab 2 a3b ，abab3abab2 ab ,a 2b 2ab abab 2

13、ab .x2x4x6x8x1x3x5x7经典例 7 运算分析：对于这道题，一般采纳直接通分后相加、减的方法，明显较繁，留意观看到此题的每个分式的分子都是一个二项式，并且每个分子都是分母与1 的和，所以可以实行“裂项法” 解：原式x11x1x31x3x51x5x71x71111x1x31111x5x711x1x311x5x7222 x5x72 x1x316 x4x1x3x5x7x1x3x5x7x1x3x5x7经典例 8：解方程：11x5x611x8x9思路解析 ：如直接去分母，运算量很大且复杂，因此题的构成比较特殊，假如方程两边分别通分，就具有相同的分子，可以使解方程的过程大大的简化.解：原方程

14、变形为x6x5x9x8 x5 x6（ x5（ x6）x8 x9 x8 x9所以： x15 x61x8 x9（x-8）x-9= x-5x-6解得 x=7将 x=7 代入x-5x-6 x-8 x-9 中不为 0 所以 x=7 是原分式方程的解仿照此解法，你能解下面的一道题吗？试试看！x4x8x7x5x5x9x8x6经典例 9 已知 a 23a10 ，求a2a 4的值；1思路解析： 分式的化简求值，适当运用整体代换及因式分解可使问题简化；略解：a 23a10 ，（由已知 a 0）a13aa41112a 21 a 2 a2 322 7= .a 2a 2a222a3ba 417c 2411经典例 10.

15、已知 a 、b 、c 为实数，且满意0 ，求的值；b3c20b3 c2abbc2解：由题设有2a3b2c 24，依据一个数的平方值、肯定值、算术平方根都0是非负数可解得 a 2， b3 ， c 21ab11bc231 223323 42a 2a 1a 4经典例 11 已知 a 2a10，求（2 2）÷的值a2aa 4a4a 2思路解析： 此题将分式的加减和乘除结合起来，先算括号里的减法，再将除法转化成乘法化简后再代值求出结果a2a1a 4（a2）（ a 2）a（a1）a2解： 原式 a（ a 2） （a2）2 ÷ a（a2）2a（a2） 2 · 4a 2aa24a

16、2aa2a4a211 a（ a2）2 · （a2）2· （ a2）a2 2aa4aa4a由于 a22a10，所以 a22a1，所以2 1112 a a11经典例 12 已知 a12 ab =1，求分式a3ab 2ab2b b的值.思路分析： 由已知变形得a-b=-ab,把原式变形，使式子中字母部分只有a-b 和 ab 这样的式子，用整体代入法代入、约分、求值.解:由已知得 a-b=-ab.原式=2ab ab3ab 2ab2ab ab3ab 2abab1.3ab3三、应用与探究拓展思维拓展思维例 1、阅读懂得题：阅读以下材料，关于x 的方程：（1） x+1 =c+ 1 的解是

17、 x1=c，x2= 1 ；（2） x-1 =c- 1 的解是 x1=c，x 2=- 1 ；xccxcc（3） x+ 2 =c+ 2 的解是 x1=c，x2= 2 ；（4）x+ 3 =c+ 3 的解是 x1=c，x 2= 3xccxcc（ 1）请观看上述方程与解的特点，比较关于x 的方程 x+ mcm （m 0）与它们的关xc系， .猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证（ 2）由上述的观看、比较、猜想、验证，可以得出结论：.假如方程的左边是未知数与其倒数的倍数，方程右边的形式与左边完全相同，只把其中未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于x 的方程： x

18、+2x1要将独立的 x 化为 x-1 的形式a2. 思路解析：一 定a1解：（1） x1c， x2m 2.xca， x2a1a1拓展思维例2.福兴商场文具专柜以每枝a（a 为整数）元的价格购进一批“英雄”牌钢笔，打算每枝加价 2 元销售 .由于这种品牌的钢笔价格优、 质量好、外表美，很快就销售一空 .结账时， 售货员发觉这批钢笔的销售总额为399a+805元.你能依据上面的信息求出文具专柜共购进多少枝钢笔及每枝钢笔的进价a 是多少元吗？思路分析： 依题意 ,知购进钢笔的枝数为399aa8052，明显 ,仅仅通过399a399 aa 8058052不能求出 a，因此，挖掘条件中的内涵是解决问题的

19、关键.这里 a 为正整数，解:设文具专柜共购进钢笔y 枝，就有a2也是正整数 .399 ay=a8052399aa79872399a27a23997a2 .a0 且为整数， y 为正整数， a+2 是 7 的约数 . a+2=7 或 a+2=1.a=5，a=-1（不合题意） .当 a=5 时， y=400.故文具专柜共购进钢笔400 枝，每枝进价 5 元.拓展思维例 3：两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1 个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队， 两队又共同工作了半个月， 总工程全部完成； 哪个队的施工速度快？分析： 甲队一个月完成总工程的1 ，设乙队假如单独施工1 个月能完成总工程的31 ，那么甲x队半个月完成总工程的1 ，乙队半个月完成总工程的