第一章条件概率

1、概率论概率论 5 条件概率条件概率条件概率条件概率乘法公式乘法公式全概率公式全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式概率论概率论 在解决许多概率问题时，往往需要在有某在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息些附加信息(条件条件)下求事件的概率下求事件的概率.1. 条件概率的概念条件概率的概念如在事件如在事件A发生的条件下求事件发生的条件下求事件B发生的概率，发生的概率，将此概率记作将此概率记作P(B|A). 一般地一般地 P(B|A) P(B) 概率论概率论 P(B )=1/6，例例如如，掷一颗均匀骰子，掷一颗均匀骰子，B=掷出掷出2点点， A=掷出偶数点掷出偶数点，P(B|A)=？掷骰子掷骰子

2、已知事件已知事件A发生，此时试验所有可能发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是结果构成的集合就是A， P(B|A)= 1/3. A中共有中共有3个元素个元素,它们的出现是等它们的出现是等可能的可能的,其中只有其中只有1个在集个在集A中中.容易看到容易看到11 633 6()( )P ABP AP(B|A)于是于是概率论概率论 ABAB事实上，对于古典概型，事实上，对于古典概型，设样本空间设样本空间S包含包含n个样本个样本点，事件点，事件A包含包含m个样本个样本点，事件点，事件AB包含包含k个样本个样本点，点，则则S()(|)( )kk nP ABP B Amm nP A概率论概率论 同理，对

3、于几何概型同理，对于几何概型)()()()()()()()()|(BPABPSmBmSmABmBmABmBAPABABS概率论概率论 设设A、B是两个事件，且是两个事件，且P(A)0,则称则称 (1)()(|)( )P ABP B AP A ABAB2. 条件概率的定义条件概率的定义为在为在事件事件A发生发生的条件下的条件下,事件事件B的条件概率的条件概率.概率论概率论 条件概率条件概率P(B|A)与与P(B)的区别的区别 每一个随机试验都是在一定条件下进行的每一个随机试验都是在一定条件下进行的 ,设设B是随机试验的一个事件，则是随机试验的一个事件，则P(B)是在该试验条件下是在该试验条件下事

4、件事件B发生的可能性大小发生的可能性大小.P(B) 与与 P(B |A) 的区别在于两者发生的条件不同的区别在于两者发生的条件不同,它它们是两个不同的概念们是两个不同的概念,在数值上一般也不同在数值上一般也不同. 而条件概率而条件概率 P(B|A) 是在原条件下又添加是在原条件下又添加 “A 发生发生 ” 这个条件时这个条件时B发生的可能性大小发生的可能性大小, 即即 P(B|A) 仍是概率仍是概率.概率论概率论 3. 3. 条件概率的性质条件概率的性质0()P B A 1()PA 11iiiiPBAP B Aq 非负性非负性q 规范性规范性 q 可列可加性可列可加性 121212()()()

5、()P BBAP BAP BAP B BAq 1()()P B AP B A q 12112()()()P BBAP BAP B BAq 概率论概率论 2)从加入条件后改变了的情况去算从加入条件后改变了的情况去算 4. 条件概率的计算条件概率的计算1) 用定义计算用定义计算:()(|),( )P ABP B AP AP(A)0 掷骰子掷骰子例：例：B=掷出掷出2 点点， A=掷出偶数点掷出偶数点P(B|A）=31A发生后的缩减发生后的缩减样本空间所含样样本空间所含样本点总数本点总数在缩减样本空在缩减样本空间中间中B所含样所含样本点个数本点个数概率论概率论 例例1 掷两颗均匀骰子掷两颗均匀骰子,

6、已知第一颗掷出已知第一颗掷出6点点,问问“掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10”的概率是多少的概率是多少? 解法解法1()(|)( )P ABP B AP A解法解法2 3162(|)P B A 解解 设设B=掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10 A=第一颗掷出第一颗掷出6点点应用应用 定义定义在在A发生后的缩减样本发生后的缩减样本空间中计算空间中计算21366363概率论概率论 由条件概率的定义：由条件概率的定义：即即 若若P(A)0,则则P(AB)=P(A)P(B|A) (2)()(|)( )P ABP B AP A而而 P(AB)=P(BA)若已知若已知P(A), P(B|A)时

7、时, 可以反求可以反求P(AB).将将A、B的位置对调，有的位置对调，有故故 P(B)0 , 则则 P(AB)=P(B)P(A|B) (3)若若 P(B)0,则则P(BA)=P(B)P(A|B) (2)和和(3)式都称为乘法公式式都称为乘法公式, 利用利用它们可计算两个事件同时发生的概率它们可计算两个事件同时发生的概率概率论概率论 注意注意P(AB)与与P(A | B)的区别！的区别！请看下面的例子请看下面的例子概率论概率论 例例2 甲、乙两厂共同生产甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中个零件，其中 300件是乙厂生产的件是乙厂生产的. 而在这而在这300个零件中，有个零件中，有189个是标

8、准个是标准件，现从这件，现从这1000个零件中任取一个，问个零件中任取一个，问这个零件是乙厂这个零件是乙厂生产的标准件生产的标准件的概率是多少？的概率是多少？所求为所求为P(AB).甲、乙共生产甲、乙共生产1000 个个189个个是是标准件标准件300个个乙厂生产乙厂生产300个个乙厂生产乙厂生产设设B=零件是乙厂生产零件是乙厂生产, A=是标准件是标准件概率论概率论 所求为所求为P(AB) .设设B=零件是乙厂生产零件是乙厂生产A=是标准件是标准件若改为若改为“发现它是发现它是乙厂生产的乙厂生产的,问它问它是标准件的概率是标准件的概率是多少是多少?”求的是求的是 P(A|B) .B发生发生,

9、在在P(AB)中作为结果中作为结果;在在P(A|B)中作为条件中作为条件.甲、乙共生产甲、乙共生产1000 个个189个个是是标准件标准件300个个乙厂生产乙厂生产300个个乙厂生产乙厂生产概率论概率论 . 个个事事件件的的积积事事件件的的情情况况乘乘法法定定理理可可以以推推广广到到多多 , 0 , 则则且且为三个事件为三个事件、设设 ABPCBA .|APABPABCPABCP , 2, , , , 21并且并且个事件个事件设有设有一般地一般地 nAAAnn , , 0121可得可得则由条件概率的定义则由条件概率的定义 nAAAP 2-2111-2121|nnnnnAAAAPAAAAPAAA

10、P 112213|APAAPAAAP 概率论概率论 乘法公式应用举例乘法公式应用举例 一个罐子中包含一个罐子中包含r个红球和个红球和t个白球个白球. 随机地抽随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 a 个与所抽出的球具有相同颜色的球个与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种抽取进行这种抽取进行四次四次 ，试求第一、二次取到红球且第三、四次取，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率到白球的概率. 例例3（波里亚罐子模型）（波里亚罐子模型）r个红球个红球, t个白球个白球概率论概率论 r个红球个红球, t个白球个白球 随机取一个球，观看颜色后

11、放随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进回罐中，并且再加进a个与所抽出个与所抽出的球具有相同颜色的球的球具有相同颜色的球.=第第i次取出是白球次取出是白球， i=1,2,3,4iA 解解 设设 =第第i次取出是红球次取出是红球, i=1,2,3,4 iA 表示事件表示事件“连续取四个球，第一、第二个连续取四个球，第一、第二个是红球，第三、四个是白球是红球，第三、四个是白球. ” 4321AAAA概率论概率论 用乘法公式容易求出用乘法公式容易求出 当当 a 0 时，由于每次取出球后会增加下一次时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率也取到同色球的概率. 这是一个这是一个传染病模型

12、传染病模型. 每次每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.atratatrtatrartrr32 )()()()()(32142131214321AAAAPAAAPAAPAPAAAAP 概率论概率论 , ,2 ,3 5 4试按试按个白球个白球个黑球个黑球个红球个红球设袋中有设袋中有例例 2; 1不放回抽样不放回抽样有放回抽样有放回抽样 两种方式摸球三次两种方式摸球三次 . , 概率概率求第三次才摸得白球的求第三次才摸得白球的每次摸得一球每次摸得一球 解解 1 有放回抽样有放回抽样 , 第第一一次次未未摸摸得得白白球球设设 A , 第第二二次次未未摸

13、摸得得白白球球 B . 第第三三次次摸摸得得白白球球 C 可表示为可表示为第三次才摸得白球第三次才摸得白球则事件则事件. ABC AP, 108 ABP|, 108 ABCP|, 102 概率论概率论 APABPABCPABCP| 108108102 . 12516 2 无放回抽样无放回抽样 AP, 108 ABP|, 97 ABCP|, 82 APABPABCPABCP| 1089782 . 457 概率论概率论 例例5 设某光学仪器厂制造的透镜设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时第一次落下时打破的概率为打破的概率为1/2,若第一次落下未打破若第一次落下未打破, 第二次落第二次落下打破的

14、概率为下打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破若前两次落下未打破, 第三第三次落下打破的概率为次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未试求透镜落下三次而未打破的概率打破的概率.解解以以B 表示事件表示事件“透镜落下三次而未打破透镜落下三次而未打破”.,321AAAB 因为因为)()(321AAAPBP 所以所以)()()(112213APAAPAAAP )211)(1071)(1091( .2003 ,)3 , 2 , 1(次次落落下下打打破破透透镜镜第第表表示示事事件件以以iiAi 概率论概率论 有三个箱子有三个箱子,分别编号为分别编号为1,2,3. 1号箱装有号箱装有1个红个

15、红球球4个白球个白球,2号箱装有号箱装有2红红3白球白球 , 3号箱装有号箱装有3 红球红球. 某人从三箱中任取一箱某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球从中任意摸出一球,求取得红求取得红球的概率球的概率.解解 记记 Bi=球取自球取自i号箱号箱, i=1,2,3; A =取得红球取得红球A发生总是伴随着发生总是伴随着B1，B2，B3 之一同时发生，之一同时发生，123其中其中 B1、B2、B3两两互斥两两互斥看一个例子看一个例子:概率论概率论 将此例中所用的方法推广到一般的情形，就将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的得到在概率计算中常用的全概率公式全概率公式.对求和中

16、的每对求和中的每一项运用乘法一项运用乘法公式得公式得P(A)=P( AB1)+P(AB2)+P(AB3) 31iiiBAPBPAP)()()(代入数据计算得：代入数据计算得：P(A)=8/15运用加法公式得到运用加法公式得到即即 A= AB1+AB2+AB3， 且且 AB1、AB2、AB3 两两互斥两两互斥概率论概率论 定义定义 , 如果满足如果满足的一组事件的一组事件是是 E jiBBji 1 221SBBBn , , , , , nnBBBBBB2121或称或称为完备事件组为完备事件组则称则称 . 的一个划分的一个划分为为 S: 注意注意 , , , 为样本空间的一个划分为样本空间的一个划

17、分若若nBBB21 , 事件组事件组则对每次试验则对每次试验 , , 中必有且仅有中必有且仅有nBBB21一个事件发生一个事件发生. . S , 分割成若干个互斥事件分割成若干个互斥事件的划分是将的划分是将可见可见 S, SE的样本空间为的样本空间为设试验设试验nBBB, , 211B2B3B1 nBnB概率论概率论 1定定理理, SE的样本空间为的样本空间为设试验设试验nBBB, , 21 , , 2 , 1 0 , 则对则对且且的一个划分的一个划分为为 niBPSi , 恒有恒有样本空间中的任一事件样本空间中的任一事件 A 1|iiiBAPBPAP 证明证明 因为因为 ASA nBBBA

18、21 nABABAB 21 并且并且 , , 所以所以jiABABji B1BnAB1AB2ABnASB2概率论概率论 1|iiiBAPBPAP . 全概率公式全概率公式 nABPABPABPAP 21 nnBAPBPBAPBP| |11 1|iiiBAPBP全概率公式的应用：全概率公式的应用：在计算某一较复杂的事件的在计算某一较复杂的事件的概率时，有时根据事件在不同情况或不同原因或概率时，有时根据事件在不同情况或不同原因或不同途径下发生而将它分解成两个或若干互不相不同途径下发生而将它分解成两个或若干互不相容的部分的并，分别计算概率，然后求和容的部分的并，分别计算概率，然后求和.全概全概率公式

19、使一个复杂事件的概率计算问题化繁就简率公式使一个复杂事件的概率计算问题化繁就简，得以解决，得以解决.概率论概率论 某一事件某一事件A的发生有各种可能的原因的发生有各种可能的原因 ，如果，如果A是由原因是由原因Bi (i=1,2,n) 所引起，则所引起，则A发生的概率是发生的概率是 每一原因都可能导致每一原因都可能导致A发生，故发生，故A发发生的概率是各原因引起生的概率是各原因引起A发生概率的总和，发生概率的总和，即全概率公式即全概率公式.P(ABi)=P(Bi)P(A |Bi)全概率公式全概率公式.我们还可以从下面这个角度去理解我们还可以从下面这个角度去理解概率论概率论 由此可以形象地把由此可

20、以形象地把全概率公式全概率公式看成为看成为“由原由原因推结果因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的，每个原因对结果的发生有一定的“作用作用”，即结果发生的可能性与各种原因的，即结果发生的可能性与各种原因的“作作用用”大小有关大小有关. 全概率公式表达了它们之间的关系全概率公式表达了它们之间的关系 .B1B2B3B4B5B6B7B8A诸诸Bi是原因是原因A是结果是结果每一原因每一原因Bi发生的发生的概率概率P(Bi)已知，其已知，其对结果对结果A的影响程度的影响程度P(A|Bi)已知已知概率论概率论 例例6 6 人们为了了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往人们为了了解一支股票未来一定时期内

21、价格的变化，往往会去分析影响股票的基本因素，比如利率的变化往会去分析影响股票的基本因素，比如利率的变化. .现在假设现在假设人们经分析估计利率下调的概率为人们经分析估计利率下调的概率为60%,60%,利率不变的概率利率不变的概率为为40%.40%.根据经验根据经验, ,人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为涨的概率为80%80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为为40%40%，求该支股票将上涨的概率，求该支股票将上涨的概率. .解解: : 记记 为事件为事件“利率下调利率下调”，那么，那

22、么 即为即为“利利率不变率不变” ，记，记 为事件为事件“股票价格上涨股票价格上涨”. .据题设知据题设知AAB%60)(AP%40)(AP%,80)(ABP%,40)(ABP)()()()()(ABPAPABPAPBP =60%80%+40%40%=64%=60%80%+40%40%=64%概率论概率论 例例7 某产品成箱包装，某产品成箱包装，10件一箱，其中含次品件一箱，其中含次品有有0,1,2三种等可能情况。现从中任取一件产品三种等可能情况。现从中任取一件产品检验，若检验合格，则认为这箱产品合格。在检验，若检验合格，则认为这箱产品合格。在检验过程中，由于技术原因，将正品误判为次检验过程中

23、，由于技术原因，将正品误判为次品的概率为品的概率为2%，而将次品误判为正品的概率，而将次品误判为正品的概率为为5%，求一箱产品被判为合格的概率。，求一箱产品被判为合格的概率。解：设解：设Ai=箱中有箱中有i件次品件次品， i=0,1,2 A=产品被判为合格产品被判为合格 B=取出的一件产品为正品取出的一件产品为正品 则则P(A)=P(B)P(A|B)+)|()(BAPBP测测为为正正品品正品正品次品次品BBAP(B)=?概率论概率论 P(Ai)=1/3，i=0,1,2P(B|A0)=10/10=1,P(B|A1)=9/10 P(B|A2)=8/10 20iiiABPAPBP)|()()(901

24、083110931131. )|()()|()()(BAPBPBAPBPAP 88705109890.%.%. A0012A1A2正正品品B概率论概率论 被调查者只需回答其中一个问题至于回答哪一个问题被调查者只需回答其中一个问题至于回答哪一个问题由被调查者事先从一个罐中随机抽取一只球，看过颜由被调查者事先从一个罐中随机抽取一只球，看过颜色后再放回，若抽出白球则回答问题色后再放回，若抽出白球则回答问题1 1；若抽出红球则；若抽出红球则回答问题回答问题2 2，罐中只有白球与红球，且红球的比率，罐中只有白球与红球，且红球的比率 是是已知的，即已知的，即例例8 (敏感性问题的调查敏感性问题的调查) 学

25、生考试作弊会严重影响学风学生考试作弊会严重影响学风和大学生身心健康发展，但这些都是避着教师进行的，和大学生身心健康发展，但这些都是避着教师进行的，属于不光彩行为，要调查考试作弊同学在全体学生中所属于不光彩行为，要调查考试作弊同学在全体学生中所占比率占比率P是一件难事，这里关键是要设计一个调查方案是一件难事，这里关键是要设计一个调查方案，使被调查者愿意作出真实回答又能保守个人秘密，经，使被调查者愿意作出真实回答又能保守个人秘密，经过多年研究与实践，一些心理学家与统计学家设计了一过多年研究与实践，一些心理学家与统计学家设计了一种调查方案，这个方案的核心是如下两个问题。种调查方案，这个方案的核心是如

26、下两个问题。问题问题1：你的生日是否在你的生日是否在7月月1日之前？日之前？ 问题问题2：你是否在考试时作过弊？你是否在考试时作过弊？概率论概率论 P(P(红球红球)=)= ， P(P(白球白球)=1- )=1- 被调查者无论回答问题被调查者无论回答问题1 1还是问题还是问题2 2，只需在下面答卷，只需在下面答卷上认可的方框内打勾，然后将答卷放入一只密封的投上认可的方框内打勾，然后将答卷放入一只密封的投票箱内票箱内. .是是 否否 答案答案 上述抽球与答卷都是在一间无人的房间内进行的，任何外上述抽球与答卷都是在一间无人的房间内进行的，任何外人都不知道调查者抽到什么颜色的人都不知道调查者抽到什么

27、颜色的球和在什么地方打勾，球和在什么地方打勾，概率论概率论 P(P(是是)=)=k/nk/n ， 这里答这里答“是是”有两种情况：一种是摸到白球后回答问题有两种情况：一种是摸到白球后回答问题1 1答答“是是”，这是一个条件概率，它是，这是一个条件概率，它是“生日是否在生日是否在7 7月月1 1日之前日之前”的概率，一般认为是的概率，一般认为是0.50.5，即，即 如果向被调查者讲清楚这个方案的做法，并严格执如果向被调查者讲清楚这个方案的做法，并严格执行，那么就容易被调查者确信他（她）参加这次调查不行，那么就容易被调查者确信他（她）参加这次调查不会泄露个人秘密，从而愿意参加调查会泄露个人秘密，从

28、而愿意参加调查. . 当有较多的人参加调查后，就可以打开投票箱进行当有较多的人参加调查后，就可以打开投票箱进行统计统计. .设有设有n n 张答卷，其中张答卷，其中 k k 张答张答“是是”，于是回答，于是回答“是是”的概率是的概率是 ，可用频率，可用频率 去估计，记为去估计，记为nk/概率论概率论 P(P(是是| |白球）白球）=0.5=0.5 另一种是摸到红球后回答问题另一种是摸到红球后回答问题2 2答答“是是”，这也是，这也是一个条件概率，即是考试作弊同学在全体学生中所占一个条件概率，即是考试作弊同学在全体学生中所占比率比率p p ，即，即 P(P(是是| |红球红球)= )= p p最

29、后利用全概率公式把上述各项概率（或其估计值）最后利用全概率公式把上述各项概率（或其估计值）联系起来联系起来 P(P(是是)=P()=P(是是| |白球白球) )P(P(白球白球)+P()+P(是是| |红球红球) )P(P(红球红球) )由此可获得感兴趣的比率由此可获得感兴趣的比率 p p p)1 ( 5 . 0p/)1 ( 5 . 0= =概率论概率论 该球取自哪号箱的可能性该球取自哪号箱的可能性最大最大? 这一类问题是这一类问题是“已知结果求原因已知结果求原因”. 在实际中在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，探求各原因发生

30、可能性大小发生条件下，探求各原因发生可能性大小. 某人从任一箱中任意摸某人从任一箱中任意摸出一球，出一球，发现是红球发现是红球,求该球求该球是取自是取自1号箱的概率号箱的概率.1231红红4白白或者问或者问:看一个例子看一个例子:概率论概率论 接下来我们介绍为解决这类问题而引出的接下来我们介绍为解决这类问题而引出的贝叶斯公式贝叶斯公式概率论概率论 某人从任一箱中任意摸出一球，某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自发现是红球，求该球是取自1号号箱的概率箱的概率. )()()|B(11APABPAP 记记 Bi=球取自球取自i号箱号箱, i=1,2,3; A =取得红球取得红球求求P

31、(B1|A) 3111kkkBAPBPBAPBP)()()|()(运用全概率公式运用全概率公式计算计算P(A)将这里得到的公式一般化，就得到将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式贝叶斯公式1231红红4白白?概率论概率论 1)()()()()|(jjjiiiBAPBPBAPBPABP 该公式于该公式于1763年由贝叶斯年由贝叶斯 (Bayes) 给出给出. 它是在它是在观察到事件观察到事件A已发生的条件下，寻找导致已发生的条件下，寻找导致A发生的每发生的每个原因的概率个原因的概率.，ni, 2 , 1 贝叶斯公式贝叶斯公式定理定理2 , , , 21为为样样本本空空间间的的设设nBBB ,

32、0 , , 则则恒恒有有且且中中的的任任一一事事件件为为一一个个划划分分 APSA概率论概率论 BayesBayes公式的使用公式的使用我们把事件我们把事件A看作某一过程的结果，看作某一过程的结果，因，因，看作该过程的若干个原看作该过程的若干个原把把nBBB,21根据历史资料，根据历史资料，每一原因发生的概率已知，每一原因发生的概率已知， 已知已知即即nBP 已已知知即即nBAP而且每一原因对结果的影响程度已知，而且每一原因对结果的影响程度已知， 如果已知事件如果已知事件A已经发生，要求此时是由第已经发生，要求此时是由第 i 个个原因引起的概率，原因引起的概率，则用则用Bayes公式公式 AB

33、Pi即即求求概率论概率论 贝叶斯公式在实际中有很多应用贝叶斯公式在实际中有很多应用. 它可以帮助人们确定某结果（事件它可以帮助人们确定某结果（事件 A）发生的最）发生的最可能原因可能原因.概率论概率论 例例9 某一地区患有癌症的人占某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一，患者对一种试验反应是阳性的概率为种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试，正常人对这种试验反应是阳性的概率为验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?则则 表示表示“抽查的人不患癌症抽查的人不患癌症”.

34、CCC已知已知 P(C)=0.005, P( )=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| )=0.04求解如下求解如下: 设设 C=抽查的人患有癌症抽查的人患有癌症， A=试验结果是阳性试验结果是阳性，求求 P(C|A).概率论概率论 现在来分析一下结果的意义现在来分析一下结果的意义. .由由贝叶斯公式贝叶斯公式，可得，可得 )|()()|()()|()()|(CAPCPCAPCPCAPCPACP代入数据计算得代入数据计算得 P(CA)= 0.1066 2. 检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症? 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？这种试验对于诊断一个人是

35、否患有癌症有无意义？概率论概率论 如果不做试验如果不做试验,抽查一人抽查一人,他是患者的概率他是患者的概率患者阳性反应的概率是患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应，若试验后得阳性反应则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为从从0.005增加到增加到0.1066,将近增加约将近增加约21倍倍.1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.P(CA)= 0.1066 P(C)=0.005 概率论概率论 试验结果为阳性试验结果为阳性 , 此人确患癌症的概率为此人确患癌症的概率为 P(CA)=0.1066 2

36、. 即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有症，这种可能性只有10.66% (平均来说，平均来说，1000个人个人中大约只有中大约只有107人确患癌症人确患癌症)，此时医生常要通过再，此时医生常要通过再试验来确认试验来确认. 概率论概率论 P(Bi) (i=1,2,n) 是在没有进一步信息（不知道事是在没有进一步信息（不知道事件件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识性大小的认识.当有了新的信息（知道当有了新的信息（知道A发生），人们对诸事件发发生），人们对诸事件发生可能性大小生可

37、能性大小P(Bi | A)有了新的估计有了新的估计.贝叶斯公式从概率上刻划了这种变化贝叶斯公式从概率上刻划了这种变化 在贝叶斯公式中，在贝叶斯公式中，P(Bi)和和P(Bi |A)分别称为原因分别称为原因的的前验概率前验概率和和后验概率后验概率.概率论概率论 例例 10 某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的。根据以往的记录有以下的数据。元件厂提供的。根据以往的记录有以下的数据。 元件制造厂元件制造厂 次品率次品率 提供晶体管的份额提供晶体管的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05SB1B2B3A概率论概率论

38、设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。且无区别的标志。 （1）在仓库中随机的取一只晶体管，求它）在仓库中随机的取一只晶体管，求它是次是次品品的概率。的概率。（2）在仓库中随机的取一只晶体管，若已知取）在仓库中随机的取一只晶体管，若已知取到的是次品试分析此到的是次品试分析此次品出自那家工厂次品出自那家工厂的可能的可能性最大。性最大。 解解 ： 设设 A 表示表示“取到的是一只次品取到的是一只次品”，Bi ( i= 1,2,3)表示表示“取到的产品是由第取到的产品是由第 i家工厂提供的家工厂提供的”,例10（续）概率论概率论 元件制造厂元件制造厂 次品率次品率 提供晶体管的份额提供晶体管的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05PA Bi(|)PBi()P A( ).00125. )()|()()|()()|()(2211nnBPBAPBPB