第3课时：函数周期性和对称性(学生用)

1、函数周期性和对称性一、教学内容 抽象函数的周期与对称轴二、教学重、难点 重点：抽象函数周期与对称轴的相关结论。难点：结论的推导证明，利用结论解决问题。三、具体内容1. 若则的周期为。2. 若则的周期为。 3. 若则的周期。4. 若则图象的对称轴为。5. 若则的图象，以为对称中心。【几个重要的结论】（一）函数图象本身的对称性（自身对称）1、函数满足（T为常数）的充要条件是的图象关于直线对称。2、函数满足（T为常数）的充要条件是的图象关于直线对称。3、函数满足的充要条件是图象关于直线对称。4、如果函数满足且，（和是不相等的常数），则是以为为周期的周期函数。5、如果奇函数满足（），则函数是以4T为周

2、期的周期性函数。6、如果偶函数满足（），则函数是以2T为周期的周期性函数。（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、曲线与关于X轴对称。2、曲线与关于Y轴对称。3、曲线与关于直线对称。4、曲线关于直线对称曲线为。5、曲线关于直线对称曲线为。6、曲线关于直线对称曲线为。7、曲线关于点对称曲线为。注：一个结论：设，都有且有个实根，则所有实根之和为【典型例题】【例1】 对于，有下列命题。其中正确的为（ ）（1）在同一坐标系下，函数与的图象关于直线对称。（2）若且均成立，则为偶函数。（3）若恒成立，则为周期函数。（4）若为单调增函数，则也为单调增函数，【例2】若

3、函数 有求。【例3】设是定义在上的函数，均有，当时，求当时，的解析式。【例4】已知是定义在上的函数且满足，当时有则（1）是周期函数且周期为，（2）当时，（3）其中正确的是？ 【例5】已知满足，当时且，若，求大小关系？【例6】 定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，求的值。【例7】 设定义在上，有且当时，（1）求证：且当时， （2）求证：在上递减。【模拟试题】一、选择题1. 已知满足，且是奇函数，若则（ ）A. B. C. D. 2. 已知是定义在上的偶函数，且对任何实数均成立，当时，当时，（ ）A. B. C. D. 3. 若函数，都有则等于（ ）A. B. C. D

4、. 或4. 函数是（ ）A. 周期为的奇函数B. 周期为的偶函数C. 周期为的奇函数D. 周期为的奇函数5. 的图象关于轴对称的充要条件是（ ）A. B. C. D. 6. 如果且则可以是（ ）A. B. C. D. 7. 为偶函数的充要条件是（ ）A. B. C. D. 8. 设是上的奇函数，当时，则（ ）A. B. C. D. 9. 设，有那么（ ）A. B. C. D. 10. 定义在上，则与的图象关于（ ）A. 对称 B. 对称 C. 对称 D. 对称二、 填空题1. 是上的奇函数，且， 。2. 函数的图象的对称轴中最靠近轴的是 。3. 为奇函数，且当时，则当时 。4. 偶函数的定义域

5、为，且在上是增函数，则（1） （2）（3） （4）中正确的是 。三. 解答题1. 设是定义在上的偶函数，图象关于对称,都且。 （1）求、 （2）证明：是周期函数2. 如果函数的图象关于和都对称，证明这个函数满足。3. 已知对任意实数都有，比较与的大小。4. 定义在实数集上的函数，对一切实数x都有成立，若方程仅有个不同实根，求所有实根之和。【课后练习】1、定义在实数集上的奇函数恒满足，且时, ,则_。2、已知函数满足，则图象关于_对称。3、函数与函数的图象关于关于_对称。4、设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于_对称。5、设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于_对称。图象关于_对称6、设的定义域为R，且对任意，有，则图象关于_对称，关于_对称。7、已知函数对一切实数x满足，且方程有5个实根，则这5个实根之和为（ ）A、5 B、10 C、15 D、188、设函数的定义域为R，则下列命题中，若是偶函数，则图象关于y轴对称；若是偶函数，则图象关于直线对称；若，则函数图象关于直线对称；与图象关于直线对称，其中正确命题序