RayLeighRitz瑞立法学习课程

1、1.Rayleigh法 1.1 Rayleigh法-多自由度体系 1.2 Rayleigh法-连续体系 Rayleigh法-例题分析2.Rite法 2.1 Rite法-多自由度体系 2.2 Rite法-连续体系Rite法-例题分析第1页/共19页第一页，编辑于星期六：十八点 三十四分。1.瑞利商瑞利商 无阻尼体系振动微分方程：无阻尼体系振动微分方程： 对应广义坐标解对应广义坐标解： 体系最大动能为：体系最大动能为： 最大动能为：最大动能为： 由机械能守恒定律：Rayleigh法法-多自由度体多自由度体系 ()R u220 xMKxt =sin(t)xumaxmaxTV ()Ru瑞利商瑞利商-广

2、义质量广义质量-广义刚度广义刚度第2页/共19页第二页，编辑于星期六：十八点 三十四分。2. 瑞利法瑞利法 (1) 特点：只能求解最低阶固有频率的近似值，且所求出的近似值总是大特点：只能求解最低阶固有频率的近似值，且所求出的近似值总是大 于精确解于精确解 。 (2) 基本思想：假设一振型，代入到基本思想：假设一振型，代入到 求得的瑞利商作为基本频率平方的近似值。求得的瑞利商作为基本频率平方的近似值。 分析分析:假设的振型与系统的真实振型越接近，得到的频率近似值就越接假设的振型与系统的真实振型越接近，得到的频率近似值就越接 精确解。精确解。 因为基本固有频率平方的精确值是瑞利商的最小值，因为基本

3、固有频率平方的精确值是瑞利商的最小值， 所以瑞利法算出的固有频率总是大于精确值。所以瑞利法算出的固有频率总是大于精确值。Rayleigh法法-多自由度体系多自由度体系 ()Ru uuuuMKTT2第3页/共19页第三页，编辑于星期六：十八点 三十四分。 对于无阻尼体系，梁的位移可表示为：对于无阻尼体系，梁的位移可表示为： 梁的动能为：梁的动能为： 梁的位能为：梁的位能为： Rayleigh法法-连续体连续体系2l20111(x)(x,t)22jxiiiTmy dM y2222011cos ( t)(x) (x)d(x)2jlxiiimM 22201(x)()2lxyVEIdx222201sin

4、 ( t)(x)2lxd yEIddx第4页/共19页第四页，编辑于星期六：十八点 三十四分。 由机械能守恒定律： 特例：等截面、没有集中质量的梁：设特例：等截面、没有集中质量的梁：设m(x)=m EI(x)=EI 由最大动能由最大动能 最大位能最大位能 Rayleigh法法-连续体系连续体系maxmaxTV222022201(x)(x)()(x)x(x )lxjlxiiidEIddxmdM（ ）22max0 x2lxTmd（ ）22max202lxEIVdx2220220(x)lxlxdxEImd第5页/共19页第五页，编辑于星期六：十八点 三十四分。 总结：总结： (1)一般用式一般用式

5、求梁的基频，就是所谓的求梁的基频，就是所谓的“一阶频率的近似求解。一阶频率的近似求解。 (2)瑞利指出，对于一个合理假定的固有振型，必须满足所有的几何瑞利指出，对于一个合理假定的固有振型，必须满足所有的几何 边界条件（即梁端位移与转角条件），便可得到一个较好的固有边界条件（即梁端位移与转角条件），便可得到一个较好的固有 频率近似值。频率近似值。 (3)若假定的振型接近基谐调振型，则由上式求出的基频将高于精确若假定的振型接近基谐调振型，则由上式求出的基频将高于精确 值，因为这种假定相当于引入了附加约束。值，因为这种假定相当于引入了附加约束。Rayleigh法法-连续体系连续体系222022201

6、(x)(x)()(x)x(x )lxjlxiiidEIddxmdM（ ）第6页/共19页第六页，编辑于星期六：十八点 三十四分。 求一阶固有频率的求一阶固有频率的 步骤：步骤： (1) 求体系的最大动能求体系的最大动能 = ？ (2) 求体系的最大动能求体系的最大动能 = ？ (3) =？ Rayleigh法法-例题分析例题分析maxVmaxTmax=maxVT由121第7页/共19页第七页，编辑于星期六：十八点 三十四分。例例1. 求图示等截面悬臂梁的一阶固有频率，求图示等截面悬臂梁的一阶固有频率， 其中其中m(x)=m， EI(x)=EI。 解：解： 假定梁的一阶振型为：假定梁的一阶振型为

7、： 则最大动能则最大动能 最大位能最大位能 Rayleigh法法-例题分析例题分析2xL（ x） =1-cos2422301(x)(x)()264lmaxxdEIVEIddxL222max0 x0.1142lxTmdmL（ ）第8页/共19页第八页，编辑于星期六：十八点 三十四分。 Rayleigh法法-例题分析例题分析max=maxVT由14=3.6538EImL第9页/共19页第九页，编辑于星期六：十八点 三十四分。例例2. 求图示跨中承受集中重量求图示跨中承受集中重量W的等截面悬臂梁的一阶固有频率，的等截面悬臂梁的一阶固有频率， 其中其中 m(x)=m， EI(x)=EI。 解：设在自由

8、端作用集中力解：设在自由端作用集中力P, 则梁端挠度为：则梁端挠度为： 梁的挠曲线形状为：梁的挠曲线形状为： 梁的最大动能为：梁的最大动能为： Rayleigh法法-例题分析例题分析303PLZEI323033( )(x)32PLx L xy xZEIL20max033122EIZVPZL第10页/共19页第十页，编辑于星期六：十八点 三十四分。 梁的最大动能可分为两部分计算，即梁的动能和承重物梁的最大动能可分为两部分计算，即梁的动能和承重物W的动能，的动能， 其中梁的动能：其中梁的动能： W的动能：的动能： 总动能：总动能： Rayleigh法法-例题分析例题分析2222max0033m(x

9、)2140 2lBxmLTydZ22max0252562 2WWTZg22maxmaxmax033251402562BWWmLTTTZmLgm ax=m a xVT由2433325140256EImLWmLg第11页/共19页第十一页，编辑于星期六：十八点 三十四分。 背景知识背景知识： 在工程中，当把一个实际结构离散为多自由度体系，在工程中，当把一个实际结构离散为多自由度体系， 动力分析往往归结为高阶次的广义特征值问题。对这类问题，动力分析往往归结为高阶次的广义特征值问题。对这类问题， 我们关心的往往不是全部特征值，而只是其中的主要部分，我们关心的往往不是全部特征值，而只是其中的主要部分，

10、即结构的前即结构的前s阶阶 (s n) 。在这种情况下，可以用一种近似在这种情况下，可以用一种近似 的有效方法，将的有效方法，将n阶广义特征值问题化为阶广义特征值问题化为s阶广义特征值问阶广义特征值问题题 这就是这就是Rayleigh-Ritz分析法。分析法。 特点特点： (1)求出的基频更接近精确值；求出的基频更接近精确值； (2)方程的自由度数越多，求出的低阶振型误差越小；方程的自由度数越多，求出的低阶振型误差越小； (3)求出的固有频率近似值总是大于精确值。求出的固有频率近似值总是大于精确值。 Rite法法第12页/共19页第十二页，编辑于星期六：十八点 三十四分。 基本步骤：基本步骤：

11、 (1) 选取选取k个试探向量个试探向量 (2)对原系统降阶，形成对原系统降阶，形成k个广义特征方程：个广义特征方程： 其中其中 (3)求原系统特征向量求原系统特征向量 Rite法法-多自由度体多自由度体系(i)u 20KMc TKuK u TMuM u 第13页/共19页第十三页，编辑于星期六：十八点 三十四分。 设振型设振型 为一个级数：为一个级数： 经过一系列推到可得：经过一系列推到可得： 或写成或写成 其中其中 为参数列向量为参数列向量 Rite法法-连续体连续体系(x)1(x)(x)niiiC2110(1,2,., )nnikkikkkkk Cm Cin 20KmCC第14页/共19

12、页第十四页，编辑于星期六：十八点 三十四分。例例1. 用用Rite法求简支梁固有频率及振型，法求简支梁固有频率及振型， 简支梁的质量均匀分布简支梁的质量均匀分布m(x)=m,EI(x)=EI。解：解：选取无集中质量的梁的模态函数选取无集中质量的梁的模态函数 为基函数为基函数 为了保证前两阶固有频率的精度，取为了保证前两阶固有频率的精度，取n=3，则假设模态，则假设模态函数函数 Rite法法-例题分析例题分析( )aMm x l( )sinii xxl31( )C siniii xxl第15页/共19页第十五页，编辑于星期六：十八点 三十四分。计算质量系数和刚度系数计算质量系数和刚度系数 质量矩

13、阵和刚度矩阵质量矩阵和刚度矩阵 得到特征值方程得到特征值方程 Rite法法-例题分析例题分析0( )sinsin( ) sinsinlijjii xjxijmmm xdxm x lllll220() ()sinsinlijjiiji xjxkkEIdxllll42 3 0 21 0 0( ) 0 1 0 0 16 0222 0 30 0 81m x lEIKMl20KwM第16页/共19页第十六页，编辑于星期六：十八点 三十四分。解得特征值解得特征值 经过一系列推到可得：经过一系列推到可得：简支梁弯曲振动的前两阶振型函数为简支梁弯曲振动的前两阶振型函数为 Rite法法-例题分析例题分析12445.6825 39.478EIEIwwmlml(1)(2)1 0 0.