平面向量中的三角形四心问题

1、平面向量中的三角形四心问题向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要 工具。本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。在给出结论及证明结论的过程中， 可以体现数学的对称性与推论的 相互关系。一、重心(baryce nter)三角形重心是三角形三边中线的交点。 重心到顶点的距离与 重心到对边中点的距离之比为 2： 1。在重心确定上，有著名的 帕普斯定理。结论1 : 若G为/ ABC所在平面内一点，则 GA GB GC = 0 二G是三角形的重心证明：设BC中点为D，则2GD二GB GC GA GB GC = 6二-GA = GB GC* -GA = 2GD, 这表明，G在中线AD

2、上 同理可得G在中线BE,CF上 故G为厶ABC的重心i结论2:1 一 若P为 ABC所在平面内一点，贝U PG (PA PB PC)3=G是厶ABC的重心一 i - 一(PG - PA) (PG - PB) (PG - PC) = 0证明：PG =彳併人 PB PC)u* * * =GA GB GC = 0 =G是厶ABC的重心二、垂心(orthocenter)三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。结论3:若H为厶ABC所在平面内一点，则 HA HB二HB HC二HC HA=H是厶ABC的垂心证明：HAHB 二 HB HC= HB (HA-HC) = 0 二 HB AC = 0= HB A

3、C 同理，有 HA CB,HC 一 AB故H为三角形垂心#结论4:2 2 2 2 2 2若H为丄ABC所在平面内一点，贝U HA BC = HB AC = HC AB=H是厶ABC的垂心2 2 2 2 2 2证明：由 HA BC = HB CA 得,HA (HB- HC)2 二 HB (HC - HA)2=HB HC 二 HC HA同理可证得，HA HB二HB HC二HC HA由结论3可知命题成立三、外心(circumcenter)三角形三条边的垂直平分线(中垂线)的相交点。用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。结论5:若0是ABC所在平面内一点，贝V|0A 二 |0B| 二 OCu °

4、;是厶 ABC的外心 证明：由外心定义可知 命题成立结论6: 若°是上ABC所在平面内一点，则(OA OB) BA 二(OB OC) CB 二(OC OA) AC =O是二ABC的外心证明：（OA OB） BA = （OA OB）（OA- OB） - OF F 2 二（OB + OC）CB = OB 2OC992故O为厶ABC的外心四、内心（incenter）三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。即内切圆的圆心。结论7:若P为厶ABC所在平面内一点，则3#AB + ACBA * BC（ 、CA 丄 CB鬧同丿=OB + 入 2屈岡丿=OC +、'-3JcA cB丿OP =OA 1（九 > 0）二P是ABC的内心5证明：记AB,AC方向上的单位向量分别 为e1,e2AB ACOP =0A i 厂AP 二 i（ee2）1|ab| |acL由平行四边形法则知，（ee2）在AB, AC边夹角平分线上即P在.A平分线上同理可得，P在.B,C的平分线上故P为厶ABC的内心若P是厶ABC所在平面内一点，则 aPA bPB cPC = 0 =P是厶ABC的内心证明：不妨设PD八PCaPA bPB cPC 二 0= a(PD DA) b(PD DB) cPC 二 0二( a b c)PC (aDA bDB)二 0Rb c = 0,aDA bD