电动力学第八章

1、第八章 电磁场与介质的相互作用 8.1电子对电磁波的散射与吸收 8.2介质的色散 8.3导体的色散 电导率与介电常量 8.4超导体电动力学8.1电子对电磁波的散射与吸收 1. 电子对电磁波的散射 当频率为的电磁波投射到电子上时，电子就会在电磁波（主要是电磁分量）作用下，以频率作受迫振动，同时向各个方向不断地辐射频率为的次波.这种现象称电磁波的散射，如图8.1.1所示. 假设电子运动速度vc,这时电子运动的振幅d=vT远小于入射波的波长=cT，T=2/为振动周期.这样可以做两个近似： （i） 在电子运动范围d内，场强可看作与电子的位置无关的量； （ii）电磁波的磁场分量对电子的作用力（洛伦兹力）

2、可以忽略，因为它比电场的作用多了v/c1的因子. 现在把处于束缚状态的电子（如原子中的电子）当作经典的谐振子来处理，它受到球对称的恢复力-m r.20当入射波的电场强度为E=E0e-it，则电子在电磁波电场作用下受迫振动，其运动方程为 （8.1.1） 其中辐射阻尼力 因此方程（8.1.1）可改写为 （8.1.2）,020tireemmEFrr.6,63022302rcemcerrF.020tiemeErrr 其稳态解为 （8.1.3） 其中 （8.1.4） 因为电子平均吸收功率为 （8.1.5） 所以从（8.1.3）和（8.1.4）式很容易看出：.,)(tan0220,e10dtTPTa）（r

3、E （i） 在远离0的区域，tan=0，=0，受迫电子振动与外加电场基本是同相位的，由（8.1.5）式电子吸收能量很小，因而辐射也是很小的； （ii）共振时0，tan，=/2，E与 同相位，因而电子对外电磁场有强烈的吸收，同时伴随着很强的辐射. 电子在外加电磁波作用下做受迫振动，同时以原电磁波相同的频率向四面八方散射电磁波.r 电子在外加电磁波作用下做受迫振动，同时以原电磁波相同的频率向四面八方散射电磁波.为计算散射波的强度，可参考图8.1.2. 因v00） 只要入射波的光子能量 远大于电子束缚能 ，就可以把束缚电子当作自由电子.因此，由（8. 1.9）和（8.1.10）式并注意到/01，则

4、（8.1.11） （8.1.11）称为汤姆孙（汤姆孙（Thomson）散射截面公式，）散射截面公式，.10665. 038),cos1 (r2122820220mr）（ 其角分布的特点是在=90处左右对称，如图8.1.3中0的实线所示.总截面是常量，与入射波的频率无关，其数值为电子经典 截面 的8/3倍.因此，对入射电磁波，电子好像是一个横截面为 的不透波的球.有关电磁波被自由电子散射（汤姆孙散射）的结果，也可以从（8.1.1）方程，在其等式右边第一、二项删除后，直接求解得到.20r3820r 经典的汤姆孙微分截面公式，只有在电磁波频率不太高 时才符合实际情况. 如图8.1.3中0的各条实线所

5、示.这时，只有用量子电动力学所得的克莱因克莱因-仁科（仁科（Klein-Nishina）公式）公式，才完全与实验符合.02mc 我国核物理学家赵忠尧先生和奥地利女物理学家迈特纳（Meitner）首先分别从实验上验证了克莱因-仁科公式. （ii） 远离共振（0） 在这条件下， （8.1.12） 这个结果表明，低频散射截面与4成正比，这种散射称瑞利（瑞利（Rayleigh）散射）散射.)(r38,)(cos1 (r21402040220）（ （iii） 共振散射（0） 当接近0时，由（8.1.9）和（8.1.10）式得 （8.1.13） 注意，由（8.1.9）式推导（8.1.13）式时，为保留共振

6、特性，曾做下列近似：.4)(r32,4)()cos1 (r81220202022020220）（.-4-2022020222020222220）（）（）（）（ 当 = 0 时，（8.1.13）式达到极大值 (8.1.14) （8.1.14）式表明，在= 0处，散射截面有一很尖锐的峰，其高度远大于自由电子的截面值.此现象称共振散射共振散射. 对于整个经典频率范围内的散射截面与频率 的关系如图8.1.4所示.20max20max自由电子自由电子自由电子自由电子）（，）（）（）（）（ 2. 电子对电磁波的吸收电子对电磁波的吸收 前面已经指出，当= 0 时，入射电磁波被电子强烈吸收，使电子受迫振动并辐

7、射能量.开始阶段吸收能量大于辐射能量，振幅不断增大，随着振幅的增大，辐射增强.当吸收的能量与辐射能量平衡时，吸收达到稳定值.如果不在共振区，吸收很小，辐射也很小.当连续频谱的电磁波投射到电子上时，只有= 0 的部分被强烈吸收，因而形成一条吸收谱线. 设入射电磁波的频谱为I（），总强度 （8.1.15） 把电子看作谐振子，则在单位时间内所吸收的能量Ua（如无其他损耗）应等于散射波的总强度，即 （8.1.16） 因为只有在共振附近= 0才有强烈的吸收，在上式中的总截面应取（8.1.13）式.d00）（II.d0）（IUa 所以 （8.1.17） 因此，共振现象是能量吸收与再辐射的过程，吸收的能量是

8、与入射波中0处频谱分布密度I（0）成正比的.).(24)()(324)()(320202202002002202020ImcedIrdIrUa8.2 介质的色散介质的色散 色散是指电磁波在介质中传播时，其相速度与频率的依赖关系.在麦克斯韦理论中，电磁波在介质中的传播速度v=c/n，这里折射率 （通常假设=0）.过去一直假设介电常量与频率无关，因而折射率n也与频率无关.但实验发现，折射率n与频率有关，这就是散射现象.本节应用经典的电子模型来说明介质散射问题.0n 1. 介质色散的经典电子模型介质色散的经典电子模型 当电磁波入射到介质内部时，由于介质中有大量电子散射所产生的次波相互叠加，形成了在介

9、质中传播的电磁波.介质的宏观现象取决于极化矢量P和磁化矢量M.因为一般非铁磁质的=0，磁化效应很小，可以不考虑，所以只要应研究极化矢量与入射波的场强、频率等的依赖关系. 为简单起见，设介质由同一种分子组成，分子中的离子可看成静止不动，电子运动仍采用简单的谐振子模型.电子在入射电磁波的只要下受到一有效场Eeff=E0e-it的作用. 这是因为在介质中存在大量电子，一个电子除受外场作用外，还有周围其他电子对它的作用，即一个电子所受的有效场不等于入射波的电场Ei，也不等于介质中的电场E.在有效场作用下，电子受迫振，其运动方程与（8.1.2）相同，即 （8.2.1） 其稳态解为 （8.2.2）,020

10、tieffememeEErrr.)()(2202200efftiimeeimeEEr 令N为单位体积内的电子数，则极化矢量 （8.2.3） 其中 （8.2.4） 在各向同性的均匀介质中，介质被外场Ei（现在为入射电磁波的场）均匀极化，其极化矢量为P，介质中的电场强度E.,ee22002efftieimNNEErP）（.2202imNe）（ 现在设想在介质中分割出来一个小介质球，如图8.2.1所示，这个均匀极化的小介质球感受到的有效场为，介质中的电场E加上介质球外分界面上的极化电荷在球心处的Ep.在1.3节例1已求得Ep=P/30，所以， （8.2.5）.310effPEEEEp 这一结果就相当

11、于介质中谐振电子所感受的有效场.将（8.2.5）代人（8.2.3）式得 （8.2.6） 利用（1.3.13）和（1.3.15）式， （8.2.7） 其中r是相对介电常量.（8.2.7）代人（8.2.6）式得 （8.2.8）.310）（PEP,) 1(0EPr.3210rr 上式中r和都是复数，而且由（8.2.4）式， 是的函数.因此，（8.2.8）式代表了复介电常量与频率的关系，即介质的散射关系. 对于液体和固体，() 是比较复杂的，但对于气体，尤其是稀薄气体，()可以简化. 2. 反常色散与共振吸收反常色散与共振吸收 对于气体，尤其稀薄气体，可以忽略分子之间的作用，这时，r1（8.2.8）式

12、可以简化为 (8.2.9) 并利用（8.2.4）式，得 (8.2.10) 这就是气体的色散关系.由（8.2.9）式，则 (8.2.11) ,1)(0r,e22020imN）（,21)1(0210inr 其中实部n为介质的折射率，虚部代表介质对电磁波的吸收式可得.由（8.2.10）和（8.2.11） （8.2.12） 下面分析一下所得的结果. （i） 远离共振区，吸收很小，=0，而且/0j,这时所有的电子都可看成自由电子，即形成等离子体，则（8.3.1）式变为 其中 为等离子频率，NZ为单位体积内的电子数。 由 ，可见色散关系（8.3.7）与（4.11.31）完全相同，它反映了电磁波在等离子体中

13、传播特性。对于电离层或实验室里的稀薄等离子体，色散关系（8.3.7）在很宽频率范围内都成立。当p时，220( )(1/)p 20/pZNem0/n （）p的情况，这时介电常量接近于0（真空）。 在光频或高于光频的区域，金属的介电常量由（8.3.1）给出。高频时，0，因而（8.3.1）可取如下的近似形式 其中 为传导电子的等离子体频率，Ne为传导电子数密度，m*为电子的有效质量，它部分地把电子的结合效应考虑进去。当p使（）0时，电磁波就能透过去，一般在紫外波段能出现这一情况。所以说，金属对紫外光是透明的。因此通过测定临界频率就可给出传导电子密度和电子有效质量。8.4 超导体电动力学1. 超导体的

14、电磁性质超导体的电磁性质 从1911年发现超导电性以来的大量实验事实说明，超导体与普通导体有许多不同的电磁性质.现简要地介绍如下.（i） 超导电性 1911年荷兰物理学家卡末林-昂内斯（Kamerlingh- Onnes）首先发现，当温度下降到4.2K附近时，汞的电阻突然降为零，如图8.4.1所示 图的纵坐标为该温度下汞的电阻与0C时汞的电阻之比.因此，汞在4.2K附近进入了一个新的物态，称为超导态，它所具有的零电阻性质称为超导电性.后来又发现了许多金属也有这种超导电现象. 当温度下降到某一定值Tc时，金属开始失去电阻，这一特定的温度Tc称为转变温度或临界温度.当TTc时，金属为正常态，TTc

15、时为超导态.在超导态时直流电阻为零，但对于交流情况，仍有很小的能量损耗. 不同的材料的转变温度不同，1986年以前，超导体的Tc都很低，因而限制了它的应用.1987年以来，超导材料研究取得了突破性进展，中国、美国、日本等国家相继研制成功了Tc100K的新高温超导材料，为超导技术的应用与发展开辟了广阔的前景.（ii） 临界磁场和临界电流 实验发现，把超导体放进磁场中，当磁场强度增大到一定值时，超导体就由超导态变为正常态，又出现了电阻.这个特定的磁场值Hc称为临界磁场.临界磁场Hc与温度有关，经验公式为 （8.4.2） 根据上式，图8.4.2所示的Hc-T曲线，称为i超导体的相变曲线.)(1)0(

16、2cccTT HH 在发现外加磁场超过临界磁场可以破坏超导电性之前，实验上就已发现，当通过超导体的电流超过某一定值Ic时，超导性也被破坏.Ic称为超导体的临界电流.同样发现，临界电流与温度有关， （8.4.2） 因为电流足够大时，它所产生的磁场达到了临界磁场值，从而破坏了超导电性.因此，临界电流实际上是临界磁场的另一种表现形式.)(1)0(2cccTTII（iii） 迈斯纳效应 1933年迈斯纳（Meissner）发现，在磁场中的超导材料，当温度降低到Tc以下时，发生相变，成为超导态，同时原来存在于超导体内的磁感应强度B B被完全排除出体外，即超导体内B B=0，如图8.4.3所示；这种现象称

17、迈斯纳效应迈斯纳效应.如果先降温使超导体达到超导态，然后再外加磁场，结果磁感应线仍被排除出体外.因此，超导体内B B=0的状态与它的历史无关. 但在迈斯纳效应发现以前，超导电性被认为是单纯的零电阻性，即把它看成完全导体（或理想导体）.根据法拉第电磁感应定律，完全导体（零电阻性）内 即B B保持不变.这样超导体内B B是否为零与它的历史有关.也就是说，原来内部有磁场，降温变为超导态后，内部磁场仍不变；如果原来内部无磁场，则后来外加磁场也进不去.这表明，在给定条件下（如温度、外磁场）,完全导体的状态不是唯一的. 因此，迈斯纳效应表明，超导体不能看成完全导体，除零电阻性外超导体还有其独特的磁特性-完

18、全抗磁性，即只要处于超导态，超导体内B B=0. 2.超导体电动力学（ii） 伦敦方程 这是超导电流与电磁场关系的新的物质方程. 应用二流体模型，超导电子在电场E中的运动方程为 （8.4.5） 式中m，e分别为电子的质量与电荷，v为超导电子的运动速度.因为超导电子在超导体中运动时不受晶格的散射，所以上式只有电场的作用力.超导电流密度 （8.4.6） 由（8.4.5）和（8.4.6）式可得 （8.4.7） ,eEvm.evnjss2j,ssn eEtm 式中 （8.4.7）或（8.4.8）式就是伦敦第一方程伦敦第一方程，它反映了超导体的零电阻性质.因为在稳恒条件下， 则超导体内E E=0，所以正常电流j jn n= =c cE E=0=0，这时超导体内只有无耗的超导电流，从而表现出零电阻性.但在交变电流情况下， 超导体内E E0，这时除超导电流外，还有正常电流j jn n，因而出现交流损耗.这些结果