分析法与综合法

1、竞赛题解题思想方法竞赛题解题思想方法l一、分析法与综合法一、分析法与综合法l解题过程解题过程l（一）综合法（一）综合法l例例1 1、甲班和乙班共、甲班和乙班共8383人，乙班和丙班共人，乙班和丙班共8686人，丙人，丙班和丁班共班和丁班共8888人，问甲班和丁班共多少人？人，问甲班和丁班共多少人？l（83+8883+88）86=17186=17186=8586=85（人）（人）l例例2 2、一个车间有两个小组，第一小组与第二小组、一个车间有两个小组，第一小组与第二小组人数的比是人数的比是5 5：3 3；如果从第一小组调；如果从第一小组调1414人到第二人到第二小组，则第一小组与第二小组人数的比

2、是小组，则第一小组与第二小组人数的比是1 1：2 2，原来两个小组各有多少人？原来两个小组各有多少人？例例3、自行车装配车间要装配、自行车装配车间要装配690辆自行车，已经装辆自行车，已经装了了8天，每天装配天，每天装配45辆，由于改进技术，剩下的辆，由于改进技术，剩下的任务任务6天就可以完成，这天就可以完成，这6天中平均每天装配多少天中平均每天装配多少辆？辆？综合法分析：综合法分析：已经做了已经做了8天，每天装配天，每天装配45辆，由辆，由此可求出已经装配的辆数。此可求出已经装配的辆数。（2）已知要装配）已知要装配690辆和已经装配的辆数，可以求辆和已经装配的辆数，可以求出还要装配的辆数。出

3、还要装配的辆数。（3）已求出还要装配的辆数和以后装配的天数）已求出还要装配的辆数和以后装配的天数（4）可以求出以后平均每天装配的辆数。）可以求出以后平均每天装配的辆数。（二）分析法（二）分析法例4、下面是一道有名的下面是一道有名的“斯利哈拉问题斯利哈拉问题”：有：有一群蜜蜂，其中五分之一落在杜鹃花上，三一群蜜蜂，其中五分之一落在杜鹃花上，三分之一落在桂花上，这两者差的分之一落在桂花上，这两者差的3 3倍飞向月季倍飞向月季花，最后剩下一只小蜜蜂在芳香的茉莉花和花，最后剩下一只小蜜蜂在芳香的茉莉花和玉兰花之间飞来飞去，问共有几只蜜蜂？玉兰花之间飞来飞去，问共有几只蜜蜂？例例5 5、自行车装配车间要

4、装配自行车装配车间要装配690690辆自行车，已经装了辆自行车，已经装了8 8天，每天装配天，每天装配4545辆，由于改进技术，剩下的任务辆，由于改进技术，剩下的任务6 6天就可以完成，这天就可以完成，这6 6天中平均每天装配多少辆？天中平均每天装配多少辆？分析法分析分析法分析: :(1)(1)要求以后平均每天装配的辆数要求以后平均每天装配的辆数, ,需要知道以需要知道以后要装配的辆数后要装配的辆数( (未知未知) )和装配的天数和装配的天数( (已知已知) )(2)(2)要求以后要装配的辆数要求以后要装配的辆数, ,需要知道要装配的需要知道要装配的总辆数总辆数(690(690辆辆) )和已装

5、配的辆数和已装配的辆数( (未知未知) )(3)(3)要求已装配的辆数要求已装配的辆数, ,需要知道已装配的天数需要知道已装配的天数(8(8天天) )和每天装配的辆数和每天装配的辆数(45(45辆辆) )l（三）分析（三）分析-综合法综合法l例例6、东方供销社从城里买了、东方供销社从城里买了4500千克化肥，用一辆汽车和千克化肥，用一辆汽车和一辆大车装运，汽车装的重量上大车的一辆大车装运，汽车装的重量上大车的3倍还多倍还多100千克，求千克，求两车各装运多少千克？两车各装运多少千克？分析：分析：4500千克千克 汽车运的汽车运的 大车运的大车运的100千克根据已知条件，从图中可以看出，如果用大

6、车运量根据已知条件，从图中可以看出，如果用大车运量去代替汽车运量，那么汽车运量就相当于去代替汽车运量，那么汽车运量就相当于3 3辆大车运量再加辆大车运量再加100100千克，从总量中减去千克，从总量中减去100100千克，就相当于（千克，就相当于（3+13+1）辆大车运量，）辆大车运量，从而可求出每辆大车运量。从而可求出每辆大车运量。l例例7、畜牧场存有干草若干公斤，如果畜群每天、畜牧场存有干草若干公斤，如果畜群每天吃草吃草370公斤，若干天后还剩公斤，若干天后还剩840公斤；如果每公斤；如果每天吃草天吃草330公斤，那么同样天数后还剩公斤，那么同样天数后还剩1760公斤，公斤，问原存干草多少

7、公斤？问原存干草多少公斤？l分析：比较两次每天吃草数量和剩余草量，由分析：比较两次每天吃草数量和剩余草量，由于每天吃草量不同，同样天数后剩余草量也不于每天吃草量不同，同样天数后剩余草量也不相同，根据两次剩余量之差及每天吃草量之差，相同，根据两次剩余量之差及每天吃草量之差，可以求出吃了几天，然后再求出原存干草数量。可以求出吃了几天，然后再求出原存干草数量。例例8、某校分配学生宿舍，如果每个房间住、某校分配学生宿舍，如果每个房间住6人，人，则有则有38人没有床位，如果每间住人没有床位，如果每间住8人，则多余人，则多余32个床位，问宿舍几间？学生几人？个床位，问宿舍几间？学生几人？l分析：比较两次分

8、配方案，由于第二次分配时分析：比较两次分配方案，由于第二次分配时每间人数和第一次相差（每间人数和第一次相差（8-6）人，而两次分配）人，而两次分配中床位差为（中床位差为（38+32）个，根据两次分配中的床）个，根据两次分配中的床位差和每间人数差可求出宿舍间数，再求出人位差和每间人数差可求出宿舍间数，再求出人数。数。l例例9 9、粮库内存有大米若干包，第一次运出库存的一半、粮库内存有大米若干包，第一次运出库存的一半多多2020包，第二次运出剩下的一半多包，第二次运出剩下的一半多4040包，第三次运出包，第三次运出140140包，粮库里还存包，粮库里还存5050包，求粮库里原有大米多少包？包，求粮

9、库里原有大米多少包？l分析：由于第三次运出分析：由于第三次运出140140包，还剩包，还剩5050包，可知第三次包，可知第三次运出之前，粮库里大米为（运出之前，粮库里大米为（140+50140+50）包。由于第二次）包。由于第二次运出余下的一半多运出余下的一半多4040包，剩下的就是第三次运出之前包，剩下的就是第三次运出之前的的190190包，也就是说（包，也就是说（190+40190+40）包相当于第一次余下的）包相当于第一次余下的一半，这就可以求出第一次余下的包数，即一半，这就可以求出第一次余下的包数，即2302302=4602=460（包），由于第一次运出库存的一半多（包），由于第一次运

10、出库存的一半多2020包，那么包，那么460+20=480460+20=480（包）就是原有大米的一半，从（包）就是原有大米的一半，从而可以求出原有大米的包数而可以求出原有大米的包数l二、反证法二、反证法l1 1、反证法证题的步骤、反证法证题的步骤 （1 1）假设命题的结论不成立）假设命题的结论不成立 （2 2）进行一些列推理）进行一些列推理 （3 3）在推理过程中出现了下列情况中的一种。）在推理过程中出现了下列情况中的一种。与已知条件矛盾与已知条件矛盾与公里矛盾与公里矛盾与已知定理矛盾。与已知定理矛盾。 （4 4）由于上述矛盾的出现，可以断言原来的假）由于上述矛盾的出现，可以断言原来的假定是

11、错误的。定是错误的。 （5 5）肯定原结论成立。）肯定原结论成立。 l作业：作业：l1、求证、求证3是无理数2、）不可能有整数根（）不可能有等根（是奇数，则方程、若2102qpxxqp3、证明素数的个数是无限的证明素数的个数是无限的l反证法在小学数学解题中也有很广泛的应用l例1、甲、乙、丙、丁四个人比赛乒乓球，每两个人都要赛一场，结果甲胜了丁，并且甲乙丙三人胜的场数相同，问丁胜了几场？l例2、将1、2、3、21分成七组，每组3个数，试证：无论怎样分组，都不能保证每组中都有一个数等于其余两个数的和。l例3、求证：整数ab的商如果存在，则商是唯一的。l例4、在一次长跑比赛中，有100名选手参加，组

12、委会准备了标有1到100的一百块号码布，分发给每个选手，比赛结束时，要求每位选手将自己的号码布上的数与到达终点时名次相加并将这个和交上去，问这次交上来的100个数的末两位是否可能各不相同？为什么？（假定没有同时到达终点的选手）二、化归思想及其应用二、化归思想及其应用 例例1、明明原有的图书是亮亮的、明明原有的图书是亮亮的6倍，如果两人倍，如果两人各再买各再买2本，那么明明所有图书是亮亮的本，那么明明所有图书是亮亮的4倍。两人倍。两人原来各有图书多少本？原来各有图书多少本？明明明明亮亮亮亮6 倍倍2本本2本本4 倍倍12-2=10（本）（本）6-4=2倍倍4 倍倍1 倍倍 将原题化归成一个简单的

13、将原题化归成一个简单的“差倍问题差倍问题”：已知：已知两数的差为两数的差为10，倍数差为，倍数差为2，求一倍数。，求一倍数。 例例2、甲站有汽车、甲站有汽车192辆，乙站有汽车辆，乙站有汽车48辆，每辆，每天从甲站开往乙站的汽车有天从甲站开往乙站的汽车有21辆，从乙站开往甲站辆，从乙站开往甲站的汽车有的汽车有24辆。几天以后甲站的汽车是乙站的辆。几天以后甲站的汽车是乙站的7倍？倍？ 1、甲乙两站共有汽车（、甲乙两站共有汽车（192+48）辆，当甲站）辆，当甲站的汽车是乙站汽车的的汽车是乙站汽车的7倍时，乙站有多少辆汽车？倍时，乙站有多少辆汽车？ 原问题可以分割成以下两道有连续性的简单原问题可以

14、分割成以下两道有连续性的简单应用题：应用题：)()()(辆辆30301 17 74848192192 2、乙站原有汽车、乙站原有汽车48辆，每天从乙站开往甲站辆，每天从乙站开往甲站的汽车有的汽车有24辆，从甲站开往乙站的汽车有辆，从甲站开往乙站的汽车有21辆，辆，几天以后乙站还有几天以后乙站还有30辆汽车？辆汽车？)()()(天天6 62121242430304848 （一）（一）化归原则化归原则 1、 “化归化归”一词，从字面上看是转化和归结的意一词，从字面上看是转化和归结的意思。思。 数学中的数学中的“化归原则化归原则”，就是指未解决的或待，就是指未解决的或待解决的问题通过某种途径进行转化

15、，归结为已解决解决的问题通过某种途径进行转化，归结为已解决的或易解决的问题，最终使原问题获得解决的一种的或易解决的问题，最终使原问题获得解决的一种方法原则。方法原则。 2、 数学中到处蕴涵着化归思想数学中到处蕴涵着化归思想 譬如运算。小学数学中减法是化归成加法、除法譬如运算。小学数学中减法是化归成加法、除法是化归成乘法而完成的；异分母分数的大小比较及加是化归成乘法而完成的；异分母分数的大小比较及加减运算法则的基本思想，是借助通分将其化归为同分减运算法则的基本思想，是借助通分将其化归为同分母分数的大小比较及加减运算，进而化归为整数（分母分数的大小比较及加减运算，进而化归为整数（分子）的大小比较及

16、加减运算。代数中，有理数的大小子）的大小比较及加减运算。代数中，有理数的大小比较与运算法则是借助绝对值将其化归为算术数的大比较与运算法则是借助绝对值将其化归为算术数的大小比较与运算；整式的加减运算又是通过去括号、合小比较与运算；整式的加减运算又是通过去括号、合并同类项化归为有理数间的运算。并同类项化归为有理数间的运算。 一般的说，总是将一种新的、陌生的运算化为一般的说，总是将一种新的、陌生的运算化为已掌握的、熟悉的运算。已掌握的、熟悉的运算。 再譬如解方程。通过因式分解将一元二次方程的再譬如解方程。通过因式分解将一元二次方程的求解化归为解一元一次方程；通过降次将简单高次方程求解化归为解一元一次

17、方程；通过降次将简单高次方程的求解化归为较低次的方程；通过去分母将分式方程的的求解化归为较低次的方程；通过去分母将分式方程的求解化归为解整式方程；通过去根号将无理方程的求解求解化归为解整式方程；通过去根号将无理方程的求解化归为解有理方程；通过换元或其它途径将指数方程、化归为解有理方程；通过换元或其它途径将指数方程、对数方程等超越方程的求解化归为解代数方程。对数方程等超越方程的求解化归为解代数方程。 数学家笛卡尔通过建立坐标系把几何问题化归为代数学家笛卡尔通过建立坐标系把几何问题化归为代数方程问题，开创了用代数方法研究几何问题的新纪元。数方程问题，开创了用代数方法研究几何问题的新纪元。由此创设的

18、解析几何被称为由初等数学阶段向变量数学由此创设的解析几何被称为由初等数学阶段向变量数学发展的第一个决定性步骤。发展的第一个决定性步骤。（二）化归原则的一般模式为：（二）化归原则的一般模式为： 数数 学学 问问 题题 解解 答答 能够解决的，较为能够解决的，较为简单的问题（简单的问题（*） 解解 答答 问问 题（题（*）化化 归归 ？ 特点：具有较强的目的性、方向性和概括性。特点：具有较强的目的性、方向性和概括性。 基本原则：由未知到已知、由难到易、由繁到简。基本原则：由未知到已知、由难到易、由繁到简。 核心：如何实现由所要解决的问题向已经解决核心：如何实现由所要解决的问题向已经解决的或的或 较

19、容易解决的问题转化。较容易解决的问题转化。（三）常用的化归法（三）常用的化归法 1、 分割与叠加法分割与叠加法 如隧道面积的计算方法：如隧道面积的计算方法：=+ 一般的一般的,将原问题分成若干部分将原问题分成若干部分,以便以便“化整化整为零为零”，分散处理；然后再，分散处理；然后再“集零为整集零为整”，使原，使原问题获得解决。问题获得解决。 例例3、勾股定理的证明。、勾股定理的证明。acb图中面积为图中面积为c2的正方形被的正方形被分割成四个全等的直角三角形分割成四个全等的直角三角形及中间一个小正方形，据他们及中间一个小正方形，据他们的面积关系可得：的面积关系可得：2 22 22 22 22

20、21 14 4ba)ab()ab(c 例例4、笼中有若干只鸡与兔，他们共有个、笼中有若干只鸡与兔，他们共有个头和头和只脚，问鸡兔各有多少只？只脚，问鸡兔各有多少只？设想出一种奇特的现象，笼中鸡兔突然设想出一种奇特的现象，笼中鸡兔突然“全体肃全体肃立立”，每只鸡呈金鸡独立状，每只兔呈玉兔拜月状，每只鸡呈金鸡独立状，每只兔呈玉兔拜月状，这时脚只剩下只，头仍是个，而鸡的头数与这时脚只剩下只，头仍是个，而鸡的头数与脚数相等，每只兔的脚数比头数多。脚数相等，每只兔的脚数比头数多。因此，脚的总数与头数的差就是兔因此，脚的总数与头数的差就是兔子的数目，而鸡有只。子的数目，而鸡有只。注：这个解法简捷而巧妙。它是