控制系统的时域分析ppt课件

1、第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析3.1 典型输入信号与系统的性能目的典型输入信号与系统的性能目的010, 0)(tttrssR1)(sbsR)( 1、单位阶跃函数输入：非单位阶跃函数输入非单位阶跃函数输入 r(t)=b1(t)，那么，那么其拉氏变换为其拉氏变换为r (t)t10一、典型输入信号一、典型输入信号00, 0)(ttttr21)(ssR2、单位斜坡函数输入：、单位斜坡函数输入：非单位斜坡函数输入非单位斜坡函数输入r(t)=bt，其拉氏变换为其拉氏变换为2)(sbsR那那么么r (t)t0r (t)t00,210, 0)(2ttttr31)(ssR3、单位抛物线函数输

2、入：、单位抛物线函数输入：拉氏变换为拉氏变换为3)(sbsR那那么么非单位抛物线函数输入非单位抛物线函数输入 ，221bt000)(ttt4、单位脉冲函数输入、单位脉冲函数输入其拉氏变换为其拉氏变换为 1)(dtt且5、正弦函数：当正弦函数作为输入信号时，可以求、正弦函数：当正弦函数作为输入信号时，可以求得系统对不同频率的正弦函数输入的稳态正弦输出得系统对不同频率的正弦函数输入的稳态正弦输出呼应，这种呼应称为频率呼应。呼应，这种呼应称为频率呼应。 tAtrsin)( 当22)( sAsR则1)(sRtL (t) t 0二、瞬态呼应和稳态呼应二、瞬态呼应和稳态呼应v呼应：在输入信号作用下，系统的

3、输出。呼应：在输入信号作用下，系统的输出。v瞬态呼应：系统从初始形状到最终形瞬态呼应：系统从初始形状到最终形状的过渡状的过渡(动态过程。动态过程。v稳态呼应：稳态呼应： 时，系统的输出。时，系统的输出。t 三、稳定性和稳态误差三、稳定性和稳态误差稳定：线性定常系统在遭到扰动作用之稳定：线性定常系统在遭到扰动作用之后，能前往到原来的平衡形状；后，能前往到原来的平衡形状；稳定稳定不稳定不稳定稳态误差：准确度。是描画系统稳态性能稳态误差：准确度。是描画系统稳态性能的目的，表示系统期望输出与实践输出之间的目的，表示系统期望输出与实践输出之间的误差。的误差。四、阶跃呼应的性能目的四、阶跃呼应的性能目的t

4、stptrc ( t)t %2 % 或5 %误 差 带01上升时间上升时间tr 2峰值时间峰值时间tp3调理时间调理时间ts : 取取5%(或取或取2%)作为误差带作为误差带 4超调量%: %100)()()(%cctcp90%10%无振荡系统无振荡系统trtr 5稳态误差ess : ess=1-c()当当c()=1时时 , ess =0 这类系统称为无静差系统。这类系统称为无静差系统。 超调量超调量%、调理时间、调理时间ts和稳态误差和稳态误差 ess 这三项这三项目的分别评价系统单位阶跃呼应的平稳性、快速性目的分别评价系统单位阶跃呼应的平稳性、快速性和稳态精度。和稳态精度。 对单位反响系统

5、，其对单位反响系统，其单位阶跃呼应的稳态误单位阶跃呼应的稳态误差可表示为差可表示为单位反响系统框图单位反响系统框图 C(s) R(s)E(s) G(s)(lim)(lim0sEsteestss H(s)3.2 线性系统的时域呼应及一阶线性系统的时域呼应及一阶系统的时域呼应系统的时域呼应1.1.线性系统的时域呼应线性系统的时域呼应从前面的讨论可知从前面的讨论可知,描画系统运动规律的高阶微分描画系统运动规律的高阶微分方程为：方程为： )(tC在给定系统输入及系统初始条件下在给定系统输入及系统初始条件下, ,求系统的输出求系统的输出 , ,即求解微分方程。即求解微分方程。)()()()()()()(

6、)(11111111trbtrdtdbtrdtdbtrdtdbtcatcdtdatcdtdatcdtdmmmmmmonnnnnn 系统运动的微分系统运动的微分 方程表达式方程表达式 求出输出的求出输出的 象函数象函数 (微分方程微分方程 的解的解) 拉氏反变换 拉氏变换 在自控实际中求解系统的输出普通用拉普拉斯变在自控实际中求解系统的输出普通用拉普拉斯变换方法，其过程是：换方法，其过程是： )(5)(2)(3)(22trtydttdydttyd2)( , 1)(00ttdttdyty举例，系统微分方程表达式为举例，系统微分方程表达式为r(t)为单位阶跃输入，系统初始条件为为单位阶跃输入，系统初

7、始条件为求系统的输出呼应求系统的输出呼应ssYyssYysysYs5)(2)0(3)(3)0()0()(2)0()0(3)0(5)(2)(3)(2yysyssYssYsYs 得： sCsCsCsssssssssssY32122221) 2)(1(5) 23(5)(25235)( 2tteety解：取拉氏变换，得解：取拉氏变换，得 )(5)(2)(3)(22trtydttdydttyd)0()0()0()()()1(21)( nnnnnffsfssFstfLsss2/ 522/ 3152. 2. 一阶系统的时域呼应一阶系统的时域呼应- -RsCs一阶系统的构造图一阶系统的构造图Ts11.单位阶跃

8、输入呼应单位阶跃输入呼应 ssR1)(TsssTssC/111111)()1 ()(TtetC数学模型为一阶微分方数学模型为一阶微分方程的系统程的系统, ,称为一阶系称为一阶系统。典型一阶系统统。典型一阶系统( (惯惯性环节性环节) )的闭环传送函的闭环传送函数为数为 : :11)()()(TssRsCsT:系统时间常数系统时间常数 t C (t) T1 T 3T t C(t) 1 63.2% T 3T 4T 这种指数曲线的特点是：在时间经过T后，呼应只上升到稳态值的63.2%，经过3T到达95%，经过4T到达98%。过渡过程时间调理时间ts普通取3T 95% 或4T 98% 。时间常数T反映

9、了系统的呼应速度，时间常数T愈小，那么惯性愈小，曲线上升快，输出呼应速度也快。2.单位脉冲呼应单位脉冲呼应 )()(ttr1)(sRTsTsRTssC/1/1)(11)(TteTtC/1)(其呼应其呼应特征根的分布与呼应速度特征根的分布与呼应速度一阶系统的特征根，即一阶系统的特征根，即Ts+1=0的根，为的根，为1sT 1Tj0特征根在特征根在s平面离虚轴越远平面离虚轴越远T小，小，呼应速度越快，调理时间也越短，快呼应速度越快，调理时间也越短，快速性越好。速性越好。例例1：知系统框图，求系统的调理时间：知系统框图，求系统的调理时间ts 95%。0.1s100R(s)C(s)解解:1101101

10、01001)(ssGHGs)(3 . 03 1 . 0101 sTtTs则111101110)(TsKss相当于95%111101110)(TsKss放大系数放大系数K不影响不影响ts ts120tC(t)参看表示图参看表示图例例2：知系统框图，分析如下两种情况。：知系统框图，分析如下两种情况。Ts1R(s)C(s)1 ()(TteKtC单位阶跃响应)(11)(sRTsKsCTs1R(s)C(s)当当r(t)=1时时(1). c(t)随时间线性添加随时间线性添加(2). c(t)随时间按指数不断添加随时间按指数不断添加开环形状开环形状正反响正反响ttcTssTssCT1)( 111)(2 T1

11、-s1 1111)(ssTssCTte1c(t) 3. 单位斜坡呼应单位斜坡呼应 展开成部分分式后求拉氏反变换，得到一阶系统的展开成部分分式后求拉氏反变换，得到一阶系统的 单位斜坡呼应为单位斜坡呼应为ttr)(21)()(strLsRTsTsTssTssC/11111)(22TtTeTttc/)(系统输出呼应的拉氏变换为系统输出呼应的拉氏变换为 c (t) 0 T t T r(t) c (t) 假设以假设以ct表示单位斜坡呼应；表示单位斜坡呼应； ht表示单位阶跃呼应；表示单位阶跃呼应； gt表示单位脉冲呼应；表示单位脉冲呼应；那么三种输入输出之间的关系有：那么三种输入输出之间的关系有： 1.

12、输入信号间的关系：输入信号间的关系：)( 1)(22tdtddttdt22)()()(dttcddttdhtg2.输出信号之间有与之对应的关系输出信号之间有与之对应的关系:TteTtg/1)(脉冲TtTeTttc/)(斜坡)1 ()(Tteth阶跃线性定常系统的重要特性：线性定常系统的重要特性：输入信号导数的呼应，等于输入信号导数的呼应，等于原信号呼应的导数；输入信原信号呼应的导数；输入信号积分的呼应，等于对原信号积分的呼应，等于对原信号呼应的积分。号呼应的积分。例例3、巳知某系统在零初始条件下的单位阶、巳知某系统在零初始条件下的单位阶跃呼应为：跃呼应为： ,求系统的脉求系统的脉冲呼应冲呼应

13、和传送函数和传送函数 。tteetc2)()(tg( ) s解：解：tteetctg22)()( ) 1 (ssRsssC1)( 2111)( )2()2)(1()()()( ssssRsCs3.3 二阶系统的阶跃时域呼应二阶系统的阶跃时域呼应1、二阶系统的构成及传送函数型式、二阶系统的构成及传送函数型式 二阶系统也叫振荡环节，其传送函数分母二阶系统也叫振荡环节，其传送函数分母s s的阶次为的阶次为2 2。2222)(nnnsssn 其中： 为阻尼比 为无阻尼自然振荡角频率它的闭环传送函数为：它的闭环传送函数为： C(s) 典型二阶系统的构造图典型二阶系统的构造图R(s)2(2nnss C(t

14、) c1 r(t) c2 200K R1 R2 - + - + - + - + R R 100K 第第2章分析讨论过的章分析讨论过的RLC串联电路，机械振动系统都串联电路，机械振动系统都属于二阶系统，以下图是由运放器构成的二阶系统。属于二阶系统，以下图是由运放器构成的二阶系统。框图框图 Ts1 Ts1 1 2 设设T1 =T2 =T C(t) c1 r(t) c2 200K R1 R2 - + - + - + - + R R 100K )12(12TssT R(s) C(s) 这里这里 n=1/T， = 等效为等效为 Ts1 Ts1 1 2 R (s) C (s) 2、二阶系统的单位阶跃呼应分

15、析、二阶系统的单位阶跃呼应分析设，设， 1)(trssR1)(2222)(nnnsss图中图中: cos= ; : 阻阻尼角尼角 阻尼线阻尼线10dnnjjs22, 1121nd阻尼振荡角频率阻尼振荡角频率二阶系统的闭环极点为二阶系统的闭环极点为(1). 欠阻尼情况欠阻尼情况j n n d S1S2n衰减系数衰减系数那么系统输出量的拉氏变换为那么系统输出量的拉氏变换为 )()2()()()(2222dndnnnnnjsjssssssRssC22sinstL22cossstL22222)(21)(dnndnnsssss2222)()(1dnndnnssss22222)(1)(1dnddnnsss

16、sLetf(t) =F(s-) 由此可见，系统的暂态分量为振幅随时间按指数函数衰减的周期函数，其振荡频率为d，越大振幅衰减越快。tetetCdtdtnnsin1cos1)(2)sin1(cos12tteddtn)cos1sin(11122tteddtn)sincoscos(sin1112tteddtn)sin(111)(2tetCdtn=0.11.80.20.40.60.81.01.21.41.6h (t)0246810=0122.0=0.3=0.5=0.7=1.0=2.0 二 阶 系 统 单 位 阶 跃 响 应 2). 无阻尼无阻尼 0222)(nnss系统的闭环极点为系统的闭环极点为njs

17、2, 1S平面jjn0)()()()(222nnsssRssCttCncos1)( C (t) t O 1 单位阶跃呼应单位阶跃呼应n 为无阻尼自然振荡频率为无阻尼自然振荡频率系统为一等幅振荡系统为一等幅振荡3) .临界阻尼情况临界阻尼情况 22222)(2)(nnnnnssss 系统有两个相重的实数闭环极点。系统对单系统有两个相重的实数闭环极点。系统对单位阶跃输入的呼应为位阶跃输入的呼应为: :1221nsss系统特点：无超调，也无振荡。系统特点：无超调，也无振荡。nnnnnssssssRssC1)(1)()()()(222)1(1)(tetCntnC (t)1t0jn01 4) . 过阻尼

18、情况 1这时系统有两个不相等的实数极点这时系统有两个不相等的实数极点 122, 1nns对单位阶跃呼应的对单位阶跃呼应的拉氏变换为：拉氏变换为：令122nnP121nnP那么闭环传送函数可写为那么闭环传送函数可写为)()(2121PsPsPPs)(1)(2121PsPsPPssCj0S平面-P2-P1c (t)1Ot取拉氏反变换得：取拉氏反变换得：)(11)(211221tPtPePePPPtC1)(limttC系统不存在稳态误差；系统不存在稳态误差； 呼应是非振荡的；呼应是非振荡的； 过阻尼二阶系统性能目的只需快速性目的过阻尼二阶系统性能目的只需快速性目的ts;ts 当当P2 4P1时，两个

19、指数项中第三项比第二时，两个指数项中第三项比第二项衰减得快，这是由于一个极点远离虚轴，它项衰减得快，这是由于一个极点远离虚轴，它的影响就很小，可以忽略不计，这时二阶系统的影响就很小，可以忽略不计，这时二阶系统近似于一个惯性环节。近似于一个惯性环节。)(11)(211221tPtPePePPPtC%)2%5()4(31或Pts j0S平面平面-P2-P1c (t)1Otts)()(2121PsPsPPs111)()(111sPPsPs124 1)(1PPetCtP其调理时间其调理时间5) . 负阻尼情况负阻尼情况 0 这时系统的两个极点在这时系统的两个极点在s右半平面，系统不稳定，右半平面，系统

20、不稳定，暂态呼应将随时间增长而发散。暂态呼应将随时间增长而发散。 j 0 C (t) 1 O t S 平面 两个正实数极点两个正实数极点 j 0 1 O t 因此，可以看出因此，可以看出当系统闭环极点当系统闭环极点在在s s右半平面时，右半平面时，系统不稳定。系统不稳定。1.01 . . 为两个共轭为两个共轭复数极点复数极点a. 阻尼比阻尼比 是二阶系统最重要的特征参数，只需是二阶系统最重要的特征参数，只需知道知道 的大小，而不用求解方程，就可知道系统的大小，而不用求解方程，就可知道系统呼应的大致情况；呼应的大致情况；小结小结:b.阻尼比过大阻尼比过大 ，系统呼应愚钝，调理时，系统呼应愚钝，调

21、理时间增长，快速性较差；而阻尼比太小，使振荡间增长，快速性较差；而阻尼比太小，使振荡加剧，衰减变缓，调理时间长，快速性也差。加剧，衰减变缓，调理时间长，快速性也差。因此阻尼比普通取值为：因此阻尼比普通取值为： ，此时，此时快速性和平稳性均较好；快速性和平稳性均较好；(1)0.40.8c. 也是系统重要的特征参数。在一样的也是系统重要的特征参数。在一样的 下，下， 越大，系统振荡角频率越大，系统振荡角频率 越大，致使越大，致使系统的平稳性变差，但调理时间减小。系统的平稳性变差，但调理时间减小。nndd. 称为最隹阻尼比，此时，超调称为最隹阻尼比，此时，超调量较小，调理时间量较小，调理时间(5%误

22、差带误差带)最短。最短。0.7073 3、欠阻尼二阶系统暂态呼应性能目的计算、欠阻尼二阶系统暂态呼应性能目的计算)sin1(cos1)(2ttetCddtn1) 1) 上升时间上升时间 tr tr令令 得：得：1)(tC0sin1cos2rdrdtt21cossinrdrdtt)1(12arctgtdrC (t)10.05trtptst0j n n d S1S2rdttgd2) 峰值时间峰值时间tp 对对c(t)c(t)求导并令其为求导并令其为0, 0, 得到第一次峰值时间为得到第一次峰值时间为dpt系统稳态值系统稳态值 c( c()=1)=11)()()()(%pptCCCtC%100%21

23、e 将 代入输出呼应表达式中 pt3)最大超调量最大超调量 %时当 707. 0 %超调量完全由超调量完全由决议，决议，0; %100% pQ, 10% pQ当当 时，时，称为最正确阻尼比，此时超调量不超越称为最正确阻尼比，此时超调量不超越5%5%。4) 调理时间调理时间 st)sin(11)sin(111 1)()()(22tetetctrtedtdtnn典型二阶系统框图为单位负反响典型二阶系统框图为单位负反响%100%21e令其令其c(t)幅值第幅值第一次到达稳态一次到达稳态值的值的95%计算计算,即即c(t)进入进入5%误差带误差带 nnst3)105. 0ln(1205.0112snt

24、e得得: 假设按c(t)幅值到达稳态值的98%计算。 nst4 C (t)10.05trtptst0 ) 4( ssK R(s) C(s) 因此因此 , , snt, prntt , )( 或加快系统初始呼应速度加快系统初始呼应速度% 但例：系统框图如下图，其中例：系统框图如下图，其中K=100 ，求系统，求系统的的 ， 、 和和 (按按95%计算计算)； 假设要求系统具有假设要求系统具有 ，应怎样改动，应怎样改动K值？值？ %rtptst707. 0减小动态过程时间减小动态过程时间动态平稳性变差动态平稳性变差解：二阶系统的形式为解：二阶系统的形式为 )2(2nnss Kn242n2 . 0那

25、那么么 10n计算得：计算得： sradnd/8 . 912rad37. 15 .78cos1%8 .52%100%21e)(181. 0stdr)(321. 08 . 9stdp)(5 . 13stnssprttt )2(2nnss 1 S R E + C 假设要求系统的假设要求系统的 时，那时，那么么707. 04707. 02n4222n22n82nK4 4改善二阶系统动态特性的方法改善二阶系统动态特性的方法1附加零点的二阶系统附加零点的二阶系统-比例微分控制的比例微分控制的 二阶系统二阶系统图中所示系统的图中所示系统的开环传送函数为开环传送函数为 上式阐明引入微分控制后，使系统等效阻尼

26、比加大，从而使阶跃呼应超调量减少，改善了系统的平稳性。 )2()1 ()(2nnssssG2222)2()1 ()(nnnnssss2nd闭环传送函数为闭环传送函数为等效阻尼比为等效阻尼比为 )2(2nnss 1 S R E + C h (t) 0 1 t1 t2 t3 t4 t5 t e (t) 1 )(te t t 0 0 比例一微分控制的波形图比例一微分控制的波形图 系统输出量同时受误系统输出量同时受误差信号及其速率的双重差信号及其速率的双重作用。微分控制能在误作用。微分控制能在误差信号的值变得太大之差信号的值变得太大之前就产生一个适当的校前就产生一个适当的校正作用，因此微分控制正作用，

27、因此微分控制是一种具有是一种具有“预见性预见性的超前控制，可以抑制的超前控制，可以抑制超调量，减小调理时间，超调量，减小调理时间，改善系统动态性能，但改善系统动态性能，但不直接影响稳态误差。不直接影响稳态误差。2. 采用速度微分负反响改善动态特性采用速度微分负反响改善动态特性 )2(2nnSS R(s) C(s) KtS 速速度度微微分分负负反反馈馈系系统统结结构构图图 2222)2()(nntnnsKss2nttK由图可写出系统的闭环传送函数。由图可写出系统的闭环传送函数。等效阻尼比为等效阻尼比为 故速度反响亦使系统的阻尼比增大，振荡倾故速度反响亦使系统的阻尼比增大，振荡倾向和超调量减小，系

28、统平稳性得到改善。向和超调量减小，系统平稳性得到改善。例：例： 引入速度反响的控制系统的动态构造图引入速度反响的控制系统的动态构造图如下图。要求系统的阻尼比如下图。要求系统的阻尼比=0.7=0.7，试确定反，试确定反响系数响系数KtKt，并比较该系统引入速度反响前后的，并比较该系统引入速度反响前后的阶跃呼应超调量阶跃呼应超调量% %和调理时间和调理时间ts(5%)ts(5%)。 ) 1(10ss R C Kts 10)101 (10)(2sKsst解解 ： 系统的闭环传送函数为系统的闭环传送函数为10)101 (10)(2sKsst%6 . 4%100%21/e)(36. 1/3%)5(stn

29、S10ntnK1012其其今要求今要求 =0.7 可求得可求得Kt=0.343系统的系统的 %和和ts分别为分别为:引入速度反响前系统的闭环传送函数为引入速度反响前系统的闭环传送函数为 1010)(2sss 求得：求得： %=60.5%， tS=8.00(s)10 n仍为仍为由由2n=1 =0.158 可见引入速度反响后系统的相对稳定性可见引入速度反响后系统的相对稳定性和快速性都得到了改善。和快速性都得到了改善。设设 R(s)=1/s，用部分分式法，可将，用部分分式法，可将C(s) 分解为分解为22211()11( )2qrjkkkkkkjkjkkkab scC sss Pss 3-4 高阶系

30、统的暂态呼应高阶系统的暂态呼应一、高阶系统的瞬态呼应一、高阶系统的瞬态呼应高阶系统闭环传送函数的普通方式为：高阶系统闭环传送函数的普通方式为：10111011.( )( )( ).mmmmnnnnb sbsbsbC ssnmR sa sa sasa 211( )1cos1jkkqrP ttjkkkjkc ta eb et 21sin1kkrtkkkkc et (0)t 即高阶系统的呼应是由一些简单函数项组成即高阶系统的呼应是由一些简单函数项组成(一阶系统和二阶系统的呼应函数一阶系统和二阶系统的呼应函数)。呼应类。呼应类型型(指数项、正弦、余弦阻尼项指数项、正弦、余弦阻尼项)由闭环极点由闭环极点

31、决议决议;呼应曲线的外形由闭环零点决议。呼应曲线的外形由闭环零点决议。二、高阶系统的简化二、高阶系统的简化1、闭环传送函数的零、极点非常接近闭环偶、闭环传送函数的零、极点非常接近闭环偶极子且它们不非常接近虚轴，可以相互抵消：极子且它们不非常接近虚轴，可以相互抵消：1212()().()( )( )()().()mnK sZsZsZC sR ssPsPsP称为零、极点对消称为零、极点对消, 从而降低了系统的阶次。从而降低了系统的阶次。2、 很小，该暂态分量的影响就小，很小，该暂态分量的影响就小，此项可以忽略。此项可以忽略。,jkkabc211( )1cos1jkkqrP ttjkkkjkc ta

32、 eb et 21sin1kkrtkkkkc et 3、具有一对主导极点，系统可以简化为二阶、具有一对主导极点，系统可以简化为二阶系统。系统。高阶系统中距虚轴最近的极点，其实部比其它极高阶系统中距虚轴最近的极点，其实部比其它极点实部的点实部的1/5还小，且其附近不存在零点，那么可还小，且其附近不存在零点，那么可以为系统的呼应主要由该极点决议，这些对系统以为系统的呼应主要由该极点决议，这些对系统呼应起主导作用的闭环极点，称为主导极点。呼应起主导作用的闭环极点，称为主导极点。普通说来，主导极点经常是一对共轭复数极点。普通说来，主导极点经常是一对共轭复数极点。 j 主导极点主导极点 3.5 控制系统

33、的稳定性与代数判据控制系统的稳定性与代数判据 任何系统，在扰动作用下会偏离原平衡任何系统，在扰动作用下会偏离原平衡形状，产生初始偏向。所谓稳定性是指系统形状，产生初始偏向。所谓稳定性是指系统扰动消逝后，经过一定时间后，由初始偏向扰动消逝后，经过一定时间后，由初始偏向形状能恢复原平衡形状，那么系统是稳定的；形状能恢复原平衡形状，那么系统是稳定的；假设扰动消逝后，系统不能恢复到原平衡形假设扰动消逝后，系统不能恢复到原平衡形状，而偏向越来越大，那么系统是不稳定的。状，而偏向越来越大，那么系统是不稳定的。显然，不稳定的系统是不能任务的。所以分显然，不稳定的系统是不能任务的。所以分析、讨论系统的稳定性，

34、并提出稳定的措施析、讨论系统的稳定性，并提出稳定的措施是自控实际的根本义务之一。是自控实际的根本义务之一。 1、稳定性的根本概念、稳定性的根本概念从例子可以看出，一个控制系统能否稳定，不由扰从例子可以看出，一个控制系统能否稳定，不由扰动或输入决议，而是由控制系统本身性能决议的，动或输入决议，而是由控制系统本身性能决议的，是系统本身的一种固有特性。是系统本身的一种固有特性。 外力扰动 A1 A2 A0 不不稳稳定定 稳稳定定 外力扰动 A0 举例：举例：2 2、线性定常系统稳定的条件、线性定常系统稳定的条件 设单输入单输出系统的微分方程描画为设单输入单输出系统的微分方程描画为)()()()()(

35、)()()(0111101111trbtrdtdbtrdtdbtrdtdbtCadttdCatCdtdatCdtdammmmmmnnnnnn在零初始条件下，取拉氏变换，得系统传送函数：在零初始条件下，取拉氏变换，得系统传送函数：01110111)()()(asasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm0011asasannnn系统特征方程为：系统特征方程为： 0011asasannnn设特征方程有设特征方程有q个实根，个实根，r对共轭复数根对共轭复数根 当当rt=0, 且有短暂扰动输入时，其扰动输出呼应且有短暂扰动输入时，其扰动输出呼应的普通式为惯性环节呼应加振荡环节呼应的普通式为惯

36、性环节呼应加振荡环节呼应 。 ), 2 , 1(qii), 2 , 1(rkjkk)sincos()(11tBtAeectckkkkrktqitikikAkBiC式中系数式中系数 、 和和 均为常数。均为常数。)sincos()(11tBtAeectckkkkrktqitiki 由上式可以看出，线性系统稳定的充分与必要条件是:它的特征方程式的一切实数根均为负数以及共轭复数根具有负的实数部份，这时指数项均随时间而衰减到零，即系统的闭环极点(闭环特征根)均在s平面左半部份。 决议系统稳定性的根据是系统特征方程式根的实决议系统稳定性的根据是系统特征方程式根的实数部分能否为负，但要解四阶或更高次的特征

37、方程式数部分能否为负，但要解四阶或更高次的特征方程式是相当困难的。在实践中有多种方法，不求特征方程是相当困难的。在实践中有多种方法，不求特征方程式的根就能判别系统稳定性，它们都是为了阐明系统式的根就能判别系统稳定性，它们都是为了阐明系统特征方程式的根在根平面上的分布情况。特征方程式的根在根平面上的分布情况。3 3、判别系统稳定性的根本方法、判别系统稳定性的根本方法 1)劳斯赫尔维茨判据Routh-Hurrvitz是一种代数方法判别系统的闭环稳定性。 常用的方法有：常用的方法有：2)根轨迹法：即图解法，它是根据系统开环根轨迹法：即图解法，它是根据系统开环传送函数的零、极点以某一参数为变量作出系传

38、送函数的零、极点以某一参数为变量作出系统闭环特征根的轨迹。统闭环特征根的轨迹。 3)奈魁斯特奈魁斯特(NyquisA)判据与波德判据与波德(Bode)图法，图法，这是一种在复变函数实际根底上建立起来的方这是一种在复变函数实际根底上建立起来的方法，它可根据开环频率特性确定闭环系统的稳法，它可根据开环频率特性确定闭环系统的稳定性。定性。 4. 劳斯劳斯赫尔维茨稳定判据赫尔维茨稳定判据 1) 列出系统特征方程式 00111asasasannnn 设设 , ,且各项系数均为实数，在判且各项系数均为实数，在判别系统的稳定性时，事先检查一下系统特征别系统的稳定性时，事先检查一下系统特征方程式的系数能否都是

39、正数，假设有任何系方程式的系数能否都是正数，假设有任何系数是负数或等于零有缺项那么系统是不数是负数或等于零有缺项那么系统是不稳定的。稳定的。 0na2) 按特征方程式列写劳斯行列表按特征方程式列写劳斯行列表 0432134321275311642sccccsbbbbsaaaasaaaasnnnnnnnnnnnn00111asasasannnn劳斯行列表劳斯行列表表中表中 0432134321275311642sccccsbbbbsaaaasaaaasnnnnnnnnnnnn 312111nnnnnaaaaab514121nnnnnaaaaab716131nnnnnaaaaab2131111bb

40、aabcnn3151121bbaabcnn4171131bbaabcnn 在计算上述各元素过程中为了数学上运算简化，在计算上述各元素过程中为了数学上运算简化，可以将某一行一切元素均乘以或除以一个正整数可以将某一行一切元素均乘以或除以一个正整数, ,不不影响稳定性判别。影响稳定性判别。 思索行列表第一列各元素的符号，假设劳斯行思索行列表第一列各元素的符号，假设劳斯行列表左端第一列各元素均为正数，那么特征方程式列表左端第一列各元素均为正数，那么特征方程式一切的根均在一切的根均在s s左半平面，即系统稳定左半平面，即系统稳定; ;假设第一列假设第一列有负数，那么系统不稳定有负数，那么系统不稳定, ,

41、且第一列数符号的改动且第一列数符号的改动次数次数, ,表示出了位于右半表示出了位于右半s s平面根的个数。平面根的个数。 0611126234ssss试确定系统的稳定性试确定系统的稳定性 。例例1: 系统特征方程式为系统特征方程式为解：它的一切系数为正实数解：它的一切系数为正实数, 列劳斯行列表如下：列劳斯行列表如下：s4 1 12 6s3 6 11 s2 s1s0 661612611166660614556616/611166661455616455右端第一列各数均为正实右端第一列各数均为正实数，故系统是稳定的。数，故系统是稳定的。0611126234ssss因此二阶系统稳定的充因此二阶系统

42、稳定的充分必要条件是各项系数分必要条件是各项系数均大于零均大于零 。现实上现实上, , 经过因式分解可将特征方程式写成经过因式分解可将特征方程式写成 0) 1)(3)(2(2ssss2/321j其根为其根为2，3， 其根均在其根均在s左半平面。左半平面。0611126234ssss对于二阶系统的稳定性，对于二阶系统的稳定性，其闭环特征方程为其闭环特征方程为 00122asasa二阶系统劳斯表为二阶系统劳斯表为 00012012aaaasss 故三阶系统稳定的充分必要条件是特征方程的各故三阶系统稳定的充分必要条件是特征方程的各项系数均大于零项系数均大于零, 且中间两项系数的乘积减去边上两且中间两

43、项系数的乘积减去边上两项系数的乘积要大于零。此判据也叫三阶赫尔维茨稳项系数的乘积要大于零。此判据也叫三阶赫尔维茨稳定判据。定判据。00103021230123aaaaaaaaassss三阶系统三阶系统 的劳斯表为的劳斯表为 0012233asasasa 例2. 系统框图如下图，试确定系统稳定的k 值范围。 )5)(1(ssk R(s) C(s) s1 系统的特征方程式为系统的特征方程式为 ksssksRsCs)5)(1()()()(0)5)(1(ksss解：解： 其闭环传送函数是其闭环传送函数是05623ksss即即05623ksss0k030k300k要使系统稳定，其第一列均要使系统稳定，其

44、第一列均为正数，即为正数，即300k劳斯判据的两种特殊情况劳斯判据的两种特殊情况例例3. 系统特征方程为系统特征方程为s 3+3s 2+s+3=0。 试判别系统的稳定性。试判别系统的稳定性。 由于第一列的元素全部为正，(是用来替代正的无穷小数)，所以系统在s右半平面没有特征根。而系统又是不稳定的，因此,系统有一对纯虚根j)。 1). 劳斯表中某一行左边第一个数为零，而该行中其他劳斯表中某一行左边第一个数为零，而该行中其他各元素不全为零或没有。这时曾经可以一定系统不稳各元素不全为零或没有。这时曾经可以一定系统不稳定。假设要确知根的性质，可以用一个很小的正数定。假设要确知根的性质，可以用一个很小的

45、正数替代这个为零的元素，并继续完成劳斯表。替代这个为零的元素，并继续完成劳斯表。 解解 : 劳斯表为劳斯表为3s2s1s0s11333(s +3)(s 2+1)=02. 劳斯行列表中第劳斯行列表中第k行一切数均为零，阐明在根平行一切数均为零，阐明在根平面内存在着对称于原点的实根，共轭虚根或对称于实面内存在着对称于原点的实根，共轭虚根或对称于实轴的两对共轭复根，在这种情况下可做如下处置：轴的两对共轭复根，在这种情况下可做如下处置： a利用k-1行的系数构成辅助多项式； b求辅助多项式对s的导数，将其系数构成新行， 以替代全部为零的一行； c继续计算劳斯行列表； d对原点对称的根可由辅助方程求得。

46、留意：辅助方程的次数通常为偶数且按二次降幂陈留意：辅助方程的次数通常为偶数且按二次降幂陈列，它阐明数值一样但符号相反的根数。列，它阐明数值一样但符号相反的根数。例例4. 4. 闭环系统特征方程为闭环系统特征方程为 s6 1 -2 -7 -4s5 1 -3 -4 s4s3s2 s1s0解解: : 04473223456ssssss试用劳斯表判别系统的稳定性，并分析根的分试用劳斯表判别系统的稳定性，并分析根的分布情况。布情况。F(s)=s4-3s2-4=0F(s)=4s3-6s=04 -6 01 -3 -40 0 0-1.5 -4-16.7 0-4第第1列数值有一次符号变化，列数值有一次符号变化，

47、故系统不稳定，且有一个故系统不稳定，且有一个根位于右半根位于右半s平面。平面。对称于原点对称于原点的特征根的特征根 2， j(s2+1)(s2-4)=0积分环节的多少决议系统静态、动态特性。积分环节的多少决议系统静态、动态特性。3.6 控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差系统按积分环节数分类系统按积分环节数分类:vniivmjjocksTssTKsHsGsGsG11) 1() 1()()()()( 系统总开环增益(传送函数写成时间常数方式)； K设系统的开环传送函数为设系统的开环传送函数为式中：式中：v 系统总开环传送函数中串联积分环节数；系统总开环传送函数中串联积分环节数； v值表示系统开环

48、传送函数中串联积分环节的个数，也就是开环传送函数在s平面坐标原点处有v重极点。 当当v=0时，系统称为时，系统称为0型系统型系统当当v=1时，系统称为时，系统称为1型系统型系统当当v=2时，系统称为时，系统称为2型系统型系统 随着开环随着开环v v值的增大值的增大, ,系统闭环的稳态精系统闭环的稳态精度提高，但稳定性却有变差的趋势。度提高，但稳定性却有变差的趋势。vniivmjjksTssTKsG11) 1() 1()()()(lim)(limtbtrteettss 系统的稳态误差是指在稳态条件下系统的稳态误差是指在稳态条件下( (即对于稳定即对于稳定系统系统) )，参与给定输入信号后，参与给

49、定输入信号后, ,经过足够长的时间，其经过足够长的时间，其暂态过程终了后，稳态呼应的期望值与实践值之间的暂态过程终了后，稳态呼应的期望值与实践值之间的误差。稳态误差是系统控制精度的一种度量。误差。稳态误差是系统控制精度的一种度量。 控制系统的稳态误差有两类，即给定稳态误差和扰控制系统的稳态误差有两类，即给定稳态误差和扰动稳态误差。动稳态误差。 Gc(s) R(s) C(s) H(s) Go(s) + E(s) 控控制制环环节节 N(s) 系系统统固固有有环环节节 B(s) 反反馈馈控控制制系系统统 从输入端定义从输入端定义:当当H(s)=1时时)()(limtctretss这时设扰动这时设扰动

50、 N(s)=0 )()()()()()()()()()()(sEsGsGsHsRsCsHsRsBsRsEoc)()(11)()()()(11)(0sRsGsRsHsGsGsEkcR)(sGk其中其中 为系统的开环传送函数。为系统的开环传送函数。1、给定稳态误差、给定稳态误差 Gc(s) R(s) C(s) H(s) Go(s) + E(s) 控控制制环环节节 N(s) 系系统统固固有有环环节节 B(s) 反反馈馈控控制制系系统统 根据终值定理有根据终值定理有: : )()(1lim)(lim)(lim00sRsGsssEteeksstssr 对于不稳定的系统，计算稳态误差是没有意义的。对于不稳

51、定的系统，计算稳态误差是没有意义的。因此计算稳态误差前，首先应判稳。因此计算稳态误差前，首先应判稳。 )()(11)(sRsGsEkR1)阶跃输入阶跃输入: sbsR)(PkksssrKboGbsRsGse1)(1)()(1lim0 为位置误差系数。)(lim0sGKksp 定义btr)(vniivmjjksTssTKsG11)1()1()( (2) 对于1型系统及高于1型的系统 KsGKksp)(lim0KbKbepssr11pK0ssre(1) 对于对于0型系统型系统2)斜坡输入：斜坡输入： bttr)(2)(sbsRvksksssrKbssGbsRsGse)(lim)()(1lim00)

52、(lim0ssGKksv为速度误差系数。为速度误差系数。令令0)(lim0ssGKksvvssrKbeKKvKbKbevssr)(lim0ssGKksv0ssre(1) 对于对于0型系统型系统vniivmjjksTssTKsG11)1()1()(2) 对于对于1型系统型系统(3) 对于对于2型系统型系统3)抛物线输入：抛物线输入： 221)(bttr3)(sbsRaksksssrKbsGsbsbsGse)(lim)(1lim2030为加速度误差系数。为加速度误差系数。)(lim20sGsKksa 令 (1) 对于0型系统和1型系统 0)(lim20sGsKksassre (2) 对于2型系统

53、KsGsKksa)(lim20KbKbeassrvniivmjjksTssTKsG11)1()1()(例例1：单位反响系统的开环传函为：单位反响系统的开环传函为 )4(10ss)4() 1(102sss2364)(tttrssre当输入当输入 时，求系统的稳态误差时，求系统的稳态误差 系统为系统为1 1型系统，不能跟随型系统，不能跟随 的的 分量。分量。)(tr23tssre 系统为2型系统 ) 141() 1(410)4() 1(10)(22sssssssG4 . 21046assrKbe 所产生的误差为0 ttr64)(对对226213)(tttr对对410 KKa其其解：首先判稳，两系统

54、均稳定。解：首先判稳，两系统均稳定。例例2：知系统框图：知系统框图求：有内环反响和无内环反响时位置，速度，求：有内环反响和无内环反响时位置，速度，加速度误差系数。加速度误差系数。 ss1 R(s) C(s) )1(10ss kf s 解：解：1) 无内环反响时无内环反响时 1010)(2ss)(lim0sGKksp)(lim0ssGKksv10)(lim20sGsKksa210)(ssGk系统不稳定系统不稳定2) 有内环后有内环后sksssssssKssssGffk10) 1(101) 1(101) 1(101)0(kpGK)(osGKkv11010)(lim20fksaksGsK参与内环后参

55、与内环后 有所有所下降，加速度误差增下降，加速度误差增大，但参与内环后对大，但参与内环后对系统的稳定性起到了系统的稳定性起到了重要作用。重要作用。 aK系统稳定系统稳定) 11101() 1(11010) 110() 1(1022sksskksssfff例：以下图所示为调速系统的方框图，图中例：以下图所示为调速系统的方框图，图中Kh=0.1V/(rad/s)。当输入电压为。当输入电压为10V时，试时，试求求1输出的希望值输出的希望值Cr(rad/s)；2稳态稳态值值C() (rad/s)；3稳态误差稳态误差ess(V)，并阐，并阐明该系统是有差系统还是无差系统。明该系统是有差系统还是无差系统。

56、 10011 . 010s Kh-U(s)E(s)C(s)放大控制器放大控制器电动机电动机转速计转速计解：解：期望输出时当 0)( ) 1 (te 10011 . 010s Kh-U(s)E(s)C(s)放大控制器放大控制器电动机电动机转速计转速计0)()( tCKtuh即)/(1001 . 010)()(sradKtutChrr1011 . 010001 . 011 . 01000111 . 01000)()()( )2(ssssUsCs 10011 . 010s Kh-U(s)E(s)C(s)放大控制器放大控制器电动机电动机转速计转速计系统稳定系统稳定sssUssC101011 . 010

57、00)()()()/(99101011 . 01000lim)(lim)(00sradssssCsCssVCKtueh1 . 0991 . 010)()()( )3(ssr 10011 . 010s Kh-U(s)E(s)C(s)放大控制器放大控制器电动机电动机转速计转速计10(t) 0 11 . 0100)(rssGk型系统或 1 . 0101101)(VKbePssr有差系统有差系统2、扰动稳态误差、扰动稳态误差令令 R Rs s= 0= 0 Gc R(s) C(s) H Go + N(s) )()()(1)()()()(0sHsGsGsHsGsNsEocNEN(s)()()()(1)()()( 0sNsHsGsGsHsGsEocN则Hs=1ccc