高数41 不定积分的概念与性质

1、高等数学多媒体课件华南农业大学理学院数学系牛顿（牛顿（Newton）莱布尼兹（莱布尼兹（Leibniz）微分法微分法:)?()( xF积分法积分法:)()?(xf互逆运算互逆运算第四章第四章 不定积分不定积分主主 要要 内内 容容第一节第一节 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 第二节第二节 换元积分法换元积分法第三节第三节 分部积分法分部积分法第四节第四节 几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分第五节第五节 积分表的使用积分表的使用第一节第一节 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 第四章第四章 一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表二、基本积分表

2、三、不定积分的性质三、不定积分的性质四、小结与思考题四、小结与思考题一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念定义定义 1 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x)满足)()(xfxF,d)()(dxxfxF或在区间 I 上的一个原函数原函数 .则称 F (x) 为f (x) 例如, sint的原函数有 ,cost, 3cos t问问 题题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理定理1（原函数存在定理）（原函数存在定理）,)(上连续在区间若函数Ixf上在则Ixf)( 存在原函数存在原函数 .(下章证明下章证明)初等

3、函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数初等函数在定义区间上有原函数,)()(的一个原函数是若xfxF的所有则)(xf原函数都在函数族CxF)( C 为任意常数 ) 内 .证证: 1)的原函数是)()(xfCxF)(CxF)(xF)(xf，的任一原函数是设)()()2xfx)()(xfx 又知)()(xfxF )()(xFx)()(xFx0)()(xfxf故0)()(CxFx)(0为某个常数C即0)()(CxFx属于函数族( ).F xC即定理定理 2 )(xf在区间 I 上的原函数全体称为Ixf在)(上的不定积分,d)(xxf其中 积分号积分号;)(xf 被积

4、函数被积函数;xxfd)( 被积表达式被积表达式.x 积分变量积分变量;若, )()(xfxF则CxFxxf)(d)( C 为任意常数 )C 称为积分常数积分常数不可丢不可丢 !例如例如,xexdCex记作定义定义 2 )(xf的原函数的图形称为)(xfxxfd)(的图形的所有积分曲线组成)(xf的平行曲线族.yxo0 x的积分曲线积分曲线 . 不定积分的几何意义不定积分的几何意义:xdd) 1 (xxfd)()(xf二、二、 基本积分表基本积分表从不定积分定义可知从不定积分定义可知:dxxfd)(xxfd)(或Cxd)2()(xF)(xF或Cd)(xF)(xF利用逆向思维利用逆向思维xkd)

5、 1 ( k 为常数)Cxk xx d)2(Cx111xxd)3(Cx ln时0 x) 1( )ln()ln(xxx121d)4(xxCx arctanxxdcos)6(Cx sinxx2cosd)8(xxdsec2Cx tan或Cx cotarc21d)5(xxCx arcsin或Cx cosarcxxdsin)7(Cx cosxx2sind)9(xxdcsc2Cx cotxxxdtansec)10(Cx secxxxdcotcsc)11(Cxcscxexd)12(Cexxaxd)13(Caaxln2shxxeexCx chxxdch)15(Cx shxxdsh)14(2chxxeex.d3

6、xxx解解: 原式 =xxd34134Cx313例例2 （补充题）（补充题） 求.dcossin22xxx解解: 原式=xxdsin21Cx cos21134xC例例1（课本（课本 例例5）求三、不定积分的性质三、不定积分的性质xxfkd)(. 1xxgxfd)()(. 2推论推论: 若, )()(1xfkxfinii则1( )d( )dniiif xxkf xxxxfkd)(xxgxxfd)(d)()0( k.d)5(2xexx解解: 原式 =xexxd)25)2()2ln()2(eex2ln25xCexx2ln512ln2C例例3 （补充题）（补充题）求.dtan2xx解解: 原式 =xx

7、d) 1(sec2xxxddsec2Cxx tan例例5 （课本（课本 例例8） 求221d .(1)xxxxx解解: 原式 =22(1)d(1)xxxxx例例4 （补充题）（补充题） 求21d1xx1dxxln xarctan xC解：解：( )df x x 1 d ,1,xxx(2 )d ,1x xx 2122,12,1,xxCxxCx221211limlim2xxxxCxC121,2CC22,1,122( )d,1.xxxfCxxxCx内容小结内容小结1. 不定积分的概念不定积分的概念 原函数与不定积分的定义原函数与不定积分的定义 不定积分的性质不定积分的性质 基本积分表基本积分表2.

8、直接积分法直接积分法:利用利用恒等变形恒等变形, 及及 基本积分公式基本积分公式进行积分进行积分 .常用恒等变形方法常用恒等变形方法分项积分分项积分加项减项加项减项利用三角公式利用三角公式 , 代数公式代数公式 ,积分性质积分性质作业作业习题习题4-1 1（1，3，6，8，9，10）思考与练习思考与练习1. 若则的原函数是,)(xfex d)(ln2xxfx提示提示:xe)()(xexfxeln)(ln xfx1212xC)(xf是xe的原函数 , 则xxxfd)(ln提示提示: 已知xexf)(0)(Cexfx01)(lnCxxfxCxxxf021)(lnCxCxln102. 若)(xf;s

9、in1)(xA;sin1)(xB的导函数为,sin x则)(xf的一个原函数是 ( ) .;cos1)(xC.cos1)(xD提示提示: 已知xxfsin)(求即B)()(xfxsin)( ?或由题意,cos)(1Cxxf其原函数为xxfd)(21sinCxCx3. 若422222dd(1);(2);(3)d .(1)sincos1xxxxxxxxx提示提示:)1 (1)1 (1) 1 (2222xxxxxxxx2222cossincossin1)2(xx22cscsecxx22cossin22111xx)(2x2x4. 求下列积分求下列积分:42(1) 1(3)1xx222(1)(1)11xxx22111xx 解：解：.d113xeexxxeex