函数极坐标课件

1、函数极坐标一元函数：一元函数：极限，导数，微分，不定积分，定积分极限，导数，微分，不定积分，定积分多元函数：多元函数：极限，偏导数，全微分，二重积分极限，偏导数，全微分，二重积分应用：几何应用，经济应用，微分方程应用：几何应用，经济应用，微分方程第第1 1章函数章函数 (复习复习)函数极坐标一、几个实例一、几个实例【解解】 V 2102Vxx函数极坐标确定一个函数的两大要素：确定一个函数的两大要素： 2(1)( ),( )1(2)( )lg,( )2lg,( )2lg |xf xg xxf xxg xxh xx 对应法则对应法则 定义域定义域 fxy 函数极坐标216lgsinyxx 【解解】

2、 2441602210, 1, 2,sin0 xxnxnnx 40 xorx 4,(0,) 40Dxxorx 函数极坐标 22( )yRxtg xcos( )sinxRtFyR (, 3 0,3 12( ) 03( )3FtF 222xyR,02R 1v2vyx222xyR 函数极坐标161412107, 6(5, 4(4, 3(3, 0（元元）车车费费（公公里里）距距离离xey 函数的表示法函数的表示法( )( )xf tyg t 23331xxxyxy 函数极坐标 1 2 3 4 5 -2 -4 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -3xyo阶梯函数阶梯函数 ,1) (0, 1,

3、 2,) xn nnyxn函数极坐标y11x0有理数点有理数点点点1xyo10sgn0010 xyxxx ,sgn|xRxxx 1( )0yD x 函数极坐标二、几个特性二、几个特性( )()xXf xfx ( )()xXf xfx ( )xf xe 0 xxe 函数极坐标121212,()()( )xxX xxf xf x 2( )f xx 函数极坐标M-Myxoy=f(x)X有界有界y无界无界M-MxoX0 x3有界性有界性: :0,( )MxXf xM 000,()MxXf xM ( )sinf xx 函数极坐标,( )aRxXf xa ,( )bRxXf xb 2yx 211yx 注意

4、注意无界无界. 函数极坐标（通常说周期函数的周期是指其通常说周期函数的周期是指其最小正最小正周期周期）.2l 2l23l 23l( )()xXf xf xT 但并非所有函数都有最小正周期但并非所有函数都有最小正周期最小正周期最小正周期函数极坐标三、函数的复合与分解三、函数的复合与分解fxy gxy gfxuy 推广推广 设设( ),( ),( ),( )yf w wu uv vg x ( )yfg x 函数极坐标22arcsin ,yu ux 22arcsinyx2arcsin ,2yu ux 2arcsin(2)yx2arctan log (cos )yx ,yu arctan ,uv 2l

5、og,vw coswx 注意：注意：函数极坐标1112122xx 即即11120 xx 即即102x函数极坐标2200( ),( )200 xxxxf xg xxxxx 2( )( )02( )( )0g xg xg xg x 22020 xxxx 函数极坐标 111xxfxxx 1xux 1uxu 11( )21211uuuf uuuuu 1( )212xf xxx 1( )sinaf xbfxx |ab 函数极坐标四、反函数四、反函数1( )xfy 1( )xfy 1( )yfx ( )xy 1f ( )xy 1( )xfy 1( )xfy 函数极坐标0 x0yxyDWo1( )xfy x

6、yo),( abQ),( baP1( )yfx 11( )yfg x 已知已知 和和互为反函数，则函数互为反函数，则函数的反函数是的反函数是_11( )yfg x 函数极坐标例例 ,2 .xxfxf 与与互互 反反函函求求的的反反函函解：解： yfx 由由 xy 得得 2xfy 2xy 得得 2xy 即即 22xfx 所所以以的的反反函函是是函数极坐标例例 1 , .g xfxg x与与互互反反函函求求的的反反函函 ygx 由由解解： xfy 得得 xgy1 1g xy 得得1xfy 所所以以 11 fg xx 所所以以的的反反函函 是是函数极坐标基本的反三角函数基本的反三角函数函数极坐标 函

7、数极坐标函数极坐标函数极坐标1、幂函数幂函数)( 是常数是常数 xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 五、初等函数五、初等函数函数极坐标2、指数函数、指数函数)1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xey 函数极坐标3、对数函数、对数函数)1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( 函数极坐标4、三角函数、三角函数正弦函数正弦函数xysin xysin 函数极坐标xycos xycos 余弦函数余弦函数函数极坐标正切函数正切函数xytan xytan 函数极坐标xycot 余切函数余切函数xyc

8、ot 函数极坐标正割函数正割函数xysec xysec 函数极坐标xycsc 余割函数余割函数xycsc 函数极坐标5、反三角函数、反三角函数xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函数数函数极坐标xyarccos xyarccos 反余弦函数反余弦函数函数极坐标xyarctan xyarctan 反反正正切切函函数数函数极坐标xycot 反反余余切切函函数数arcxycot arc由基本初等函数经过有限次四则运算或复合运算由基本初等函数经过有限次四则运算或复合运算构成的函数称为构成的函数称为初等函数初等函数 . .函数极坐标 222secln,sin cos,04sin,ln(1)

9、0 xxyxyexxxeyyxxxxx 2010 xxyxx 函数极坐标xye 2xxee 2xxee xxxxeeee xxxxeeee xysh xych xyth 函数极坐标说明说明 2222chsh1, ch 2chsh, sh 22shchxxxxxxxx chchchshsh , shshchchshxyxyxyxyxyxy 221xy221xy 2ln(1)xx2ln(1)xx11ln21xx 函数极坐标六、邻域六、邻域0 x0 x0()N x0 x0 x 0000(, )(,)N xxxx xx 0 x 0 x0 x 0 x 0 x 00(, )0N xxxx 函数极坐标* 极

10、坐标系的建立极坐标系的建立：在平面内取一个定点在平面内取一个定点OO，叫做极点，叫做极点。引一条射线引一条射线OXOX，叫做极轴，叫做极轴。再选定一个长度单位和角度正方向（通常再选定一个长度单位和角度正方向（通常取逆时针方向）。取逆时针方向）。这样就建立了一个极坐标系。这样就建立了一个极坐标系。XO建立了极坐标系的平面称为极坐标平面。建立了极坐标系的平面称为极坐标平面。七、极坐标七、极坐标函数极坐标*极坐标系内一点的极坐标的规定极坐标系内一点的极坐标的规定XOM 对于平面上异于极点的任意一点对于平面上异于极点的任意一点M，用，用 表示线段表示线段OMOM的长度，用的长度，用 表示以表示以OXOX为始为始边、边、OMOM为终边为终边 的角度。的角度。 叫做叫做MM的极径，的极径， 叫做点叫做点MM的极角，有序实数对（的极角，有序实数对（ ， ）就）就叫做叫做MM的极坐标。记作的极坐标。记作M M （ ， ）。）。特别规定：特别规定： 当当MM在极点时，它在极点时，它的极坐标的极坐标 =0=0， 可以取可以取任意值。任意值。函数极坐标对于对于 0 0， 0，2）时点的极坐标与平）时点的极坐标与平面上的点一一对应（极点除外）面上的点一一对应（极点除外）。函数极坐标极坐标转换为直角坐标公式极坐标转换为直角坐标公式：cossinxy 直角坐标