3.1.3函数的奇偶性第1课时学案2020年新人教B版

1、3.1.3函数的奇偶性第1课时函数的奇偶性【教材分析】课程标准：1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和奇偶函数图像的特征.2.会根据函数奇偶性的概念判断和证明函数的奇偶性.教学重点：函数奇偶性的概念，判断函数奇偶性的方法.教学难点：函数奇偶性的判断.【情境导学】毕达哥拉斯曾说：“一切平面图形中，最美的是圆形.”那是因为圆在各个方向上都是 对称的，是一种极致的美.可以这样说，大自然便是用对称来组织与生成的.如我们人体则 更是这种高度对称的代表.请大家再举几个对称的例子(更好地激发学习热情).由于函数是用来揭示自然界的奥秘的，因此有些函数便天然地具有这种对称性.我们还知道，对称有轴 对称和中心对

2、称两种，如果这个对称轴变成了坐标系中的y轴，对称中心变成了原点，那么此时的函数具有哪些性质呢？这些性质是否一样能给我们带来美的享受呢？【知识导学】知识点一函数奇偶性的概念(1)偶函数：一般地，设函数y= f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有二/ e D,且f( x) = f(x),则称y= f(x)为偶函数.(2)奇函数：一般地，设函数y= f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有二x C D,且 f( x) = f(x),则称 y= f(x)为奇函数.知识点二奇偶函数的图像特征(1)偶函数的图像关于yM对称；反之,图像关于yW寸称的函数一定是偶函数.(2)奇函数的图像

3、关于原点对称:反之，图像关于原点对称的函数一定是奇函数.【新知拓展】理解函数的奇偶性要注意的四点(1)函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对其定 义域内的每一个x,都有f( x)= f(x)(或f(x) = f(x),才能说f(x)是奇(或偶)函数.(2)函数y= f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件：定义域关于原点对称，换言之， 若所给函数的定义域不关于原点对称， 则这个函数一定不具有奇偶性.例如，函数y=x2在区 间(一8, +oo )上是偶函数，但在区间1,2上却无奇偶性可言.(3)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0) = 0.(4)若f(x)

4、= f(x),且f( x)=f(x),则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有 且只有一类，即f(x) = 0, xCD, D是关于原点对称的非空实数集.【课堂自测】1 .判一判(正确的打，错误的打"X” )(1)奇、偶函数的定义域都关于原点对称.()(2)函数f(x) = x2的图像关于原点对称.()(3)对于定义在R上的函数f(x),若f(1)=f(1),则函数f(x)一定是奇函数.()(4)函数 f(x) = x3, xC 1,1)是奇函数.()答案 (1)，(2)X (3)X (4)X2 .做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则

5、f(0) =.(2)函数”)=乂在定义域R上是酉数(填“奇”或“偶”).(3)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，若f(2) = 4,则f( 2) =.答案(1)0 (2)奇(3)4【典型例题】题型一 函数奇偶性的判断3 1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x) = x4 + 2x2;3 1(2)f(x) = x3+. x(3)f(x) = x2-1 +x2;(4)f(x) = 2冈;(5)f(x) =；(6)f(x) = x3 + x2解(1)因为f(x)的定义域为R,关于原点对称，且f(x) = ( x)4+2( x)2 = x4 + 2x2 = f(x),所以f(x)为偶函数.1(2)因

6、为f(x)的定义域为(一oo, 0)U(0, +8),关于原点对称，且 f(-x)=(-x)3 +=X3 + 1 = f(x),所以f(x)为奇函数. X(3)因为f(x)的定义域为 1,1,是两个具体数，但它关于原点对称，又 f(1) = f(1) = 0,f( 1)= f(1)=0,所以f(x) =、p二1 +，1X2既是奇函数，又是偶函数.(4)因为f(x)的定义域是R,关于原点对称，且f( x) = 2|x|=2xi = f(x),所以f(x)是偶函数.(5)因为f(x)=qx的定义域是xx>o,它不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数.(6)因为f(x) = x3 + x2

7、的定义域是R,关于原点对称，f(-x) = -x3+x2,所以 f(x)w f(x), f( x)wf(x),所以f(x)是非奇非偶函数.【典例分析】判断函数奇偶性的方法(1)定义法根据函数奇偶性的定义进行判断.步骤如下：判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称.若不对称，则函数 f(x)为非奇非偶函数，若对称，则进行下一步.验证.f( x) = f(x)或 f( x) = f(x).下结论.若f(-x) = -f(x),则f(x)为奇函数；若f( x) = f(x),则f(x)为偶函数；若f( x)w f(x),且f( x)wf(x),则f(x)为非奇非偶函数.(2)图像法若f(x)图像关于

8、原点对称，则f(x)是奇函数.若f(x)图像关于y轴对称，则f(x)是偶函数.若f(x)图像既关于原点对称，又关于 y轴对称，则f(x)既是奇函数，又是偶函数.若f(x)的图像既不关于原点对称，又不关于 y轴对称，则f(x)既不是奇函数也不是偶函 数.(3)性质法偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.【跟踪训练】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x) = x3+3x, xC 4,4);.1(2)f(x) = ; x(3)f(x) = |x 2|一|x+ 2|;(4)f(

9、x)=#1 x+ 1.解(1)因为函数的定义域关于坐标原点不对称，即存在一 4 -4,4),而4? -4,4),所 以，函数f(x) = x3+3x, xC4,4)既不是奇函数也不是偶函数.(2)因为函数的定义域为(8, 0)U(0, +oo),定义域关于坐标原点对称，且对任意的，-11一.一 1 一，一x(xw0)有f(x)=f(x),所以，函数f(x) = 是奇函数.xxx(3)函数的定义域为实数集R,定义域关于坐标原点对称，且对任意的 xR,都有f( x) =|x 2|-|-x+2|=|x+ 2|-|x-2|=- (x-2|-|x+ 2|)= f(x),所以，函数 f(x) = |x2|

10、一|x + 2是奇函数.(4)函数的定义域为1, +oo),由于函数f(x)的定义域不关于坐标原点对称，故函数 f(x) 既不是奇函数也不是偶函数.题型二奇偶函数的图像特征及应用例2 (1)如图，给出奇函数v= f(x)的局部图像，试作出y轴右侧的图像并求出f(3)的化(2)如图，给出偶函数y=f(x)的局部图像，试作出它在y轴右侧的图像，并比较f(1)与 f(3)的大小.解(1)奇函数y = f(x)在y轴左侧图像上任一点P(-x, f(x)关于原点的对称点是(2)偶函数y=f(x)在y轴左侧图像上任一点P( x, f(x)关于y轴的对称点是P' (x, f(x),如图为补充后的图像

11、，易知f(1)>f(3).用奇偶函数图像的对称性作图给出奇函数(或偶函数)在直角坐标平面内的某个半平面上的图像，要作出它在另一个半平面内的图像是依据奇、偶函数图像的对称性.其过程是作出原图像上几个关键点(图像的最高点、最低点等)关于原点或y轴的对称点，然后按原图像的特征用平滑曲线连接这些点，就 作出了它在另外一个半平面内的图像.【跟踪训练】奇函数V= f(x)的局部图像如图，试作出该函数在y轴左侧部分的图像,解 将奇函数y=f(x)在y轴左侧的图像补充后如图所示.由图像可知，函数y=f(x)的单调递增区间为( 8, 3)、(1,0)(0,1)和(3, +8).1,下列函数为奇函数的是()

12、A. y= - x|-1C V= x3答案 C【随堂测验】B. y = 2 xD. y= -x2+8解析 A, D中，函数均为偶函数，B中函数为非奇非偶函数，而2,若函数f(x)为定义在R上的奇函数，下列结论不正确的是(C中函数为奇函数.)A. f(x) + f(x) = 0B. f(x) f(x) = 2f(x)C. f(-x)f(x)<0D.=1答案 D解析1”)为R上的奇函数，f(x) = f(x),并根据图像写出y=f(x)(xCR)的单调递增区间. .f( x)+f(x)=0, f( x) f(x) = 2f(x), f( x) f(x) = f(x)200,A, B, C 正

13、确.一 一 一.f x x一. . f x 一、而D不一止成立，如f(x) = x,则 =1(x*0),即当x=0时，无息义.f x xf x3.已知函数f(x)是奇函数，函数g(x)是偶函数，且f(1)+g(1) = 2, f(1) + g( 1) = 4,则 g(1)等于()A. 4B. 3C. 2D. 1答案 B解析 由题意知 f(1)+g(1) = f(1)+g(1) = 2, f(1) + g(1) = f(1) + g(1)=4.两式相力口，解得 g(1) = 3.4 .偶函数f(x)在区间0, +00)上的图像如图，则函数f(x)的增区间为答案 1,0, 1, +00)解析 偶函数的图像关于y轴对称，补全图像后可知函数f(x)的增区间为1,0, 1,+ 0°)5 .判断下列函数的奇偶性: (1)f(x) = x2(x2+2);(2)f(x)