届高三第五次摸底考试数学试题含答案

1、吉林省 20xx届高三第五次摸底考试数学（理）试题考试时间： 120 分钟试卷满分： 150 分命题人：审题人：数学组本试卷分第一卷 （挑选题） 和第二卷 （非挑选题） 两部分， 考试终止后， 将答题卡交回；留意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清晰，将条形码精确粘贴在考生信息条形码粘贴区；2挑选题必需使用2b 铅笔填涂；非挑选题必需使用0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清晰；3请依据题号次序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效；4作图可先使用铅笔画出，确定后必需用黑色字迹的签字笔描黑；5保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、

2、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀；第 卷（挑选题 60 分）一、挑选题（本大题包括12 个小题，每道题5 分，共 60 分，每道题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）（1）如集合a x2n | 54 xx0 ，b x | x3 ， 就 ab 等于（ a ） 1，3（ b） 1，2（c） 0 ，3（ d） 0，1，2（2）复数 zai （ i 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，就实数a2i的取值范畴是1（ a ） 2 ， 2（ b） 1，22（ c） ，21（ d） ，+2（3）在梯形abcd 中， ab3dc ，就 bc 等于（ a ）

3、1 ab2 ad（ b）2 ab4 ad3333（ c） 2 abad（d ）2 abad33（4）等差数列 an 的前 n 项和为sn ，且 s56 ，a21 ，就公差 d 等于（ a ） 153（ b）56（ c）5（ d） 2（5） “勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的具体证明. 如下列图的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2 的大正方形，如直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，6飞镖落在小正方形内的概率是（ a ） 1332（ b）2（

4、c） 434（ d）34（6）考拉兹猜想又名3n1猜想，是指对于每一个正整数，假如它是奇数，就对它乘3 再加 1；假如它是偶数，就对它除以2.如此循环，最终都能得到1.阅读如下列图的程序框图，运行相应程序，输出的结果i（ a ） 4 （ b） 5（ c） 6（ d） 7开头a10 ，i1a1.10？a 是奇数8？a3a1aa输出 i2正视图侧视图ii1终止27俯视图第（ 6）题第（ 7）题（7）某三棱锥的三视图如下列图，且三个三角形均为直角三角形，就三棱锥的体积为（ a ） 32（b） 327（ c） 167（d ） 647x2 0（8）已知 x，y 满意约束条件xy 6，就目标函数z4 y4

5、的最大值为2xy 6x2（ a ） 6（ b） 5（ c） 2（ d）1（9）以下四个命题中是假命题的是（ a ） “昆虫都是6 条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6 条腿 ”此推理属于演绎推理.（ b） “在平面中，对于三条不同的直线a ， b ， c ，如 a b ， b c 就 a c ，将此结论放到空间中也成立” 此推理属于合情推理.（ c） “a 0 ”是“函数f xaxln x 存在极值 ”的必要不充分条件.开头（ d）如 x0 ，2 ，就sin x2sin x的最小值为22 .a10 ，i1a1.是是否否是是否否a 是 奇 数a3a1aa输 出 i2ii1终止（10）如图， 南北方

6、向的大路l ， a 地在大路正东2km 处， b 地在 a 东偏北 30方向 23km处，河流沿岸曲线pq 上任意一点到大路l 和到 a 地距离相等 现要在曲线pq 上一处 m建一座码头，向a ，b 两地运货物，经测算，从m 到 a 、 m 到 b 修建费用都为a 万元/ km ，那么，修建这条大路的总费用最低是（）万元（ a ） 23 a（ b） 231a（ c） 5a（ d） 6a（11）大数据时代显现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个小孩的现象普遍 存在， 某城市关系要好的a ，b ，c ，d 四个家庭各有两个小孩共8 人，预备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每

7、车限坐4 名（乘同一辆车的4 名小孩不考虑位置），其中a 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，就乘坐甲车的4 名小孩恰有2 名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（ a ） 18 种（b） 24 种（ c） 36 种（d ） 48 种（12）设函数f x的定义域为d ，假如xd ，yd ， 使得f xf y 成立，就称函数 f x 为“函数”.给出以下四个函数： ysin x ； y2x ；y1； yx1ln x ,就其中“函数”共有（ a ） 1个（b） 2 个（ c） 3 个（d ） 4 个第 卷（非挑选题，共90 分）本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题 21 题为必考题，每个试题考生都必需作

8、答，第22 题、23 题为选考题，考生依据要求作答.二、填空题（本大题包括4 个小题，每道题5 分，共 20 分，把正确答案填在答题卡中的横线上） （13）函数 ysin xcos x 的单调递增区间为22（14） 3a2b6 的绽开式中的第3 项的二项式系数为（用数字作答）（15）已知命题p : 对任意的x1，2 ，xa 0 ，命题q : 存在 xr ，x2ax2a0 ，如命题“ p 且 q ”是真命题，就实数a 的取值范畴是 （16）已知数列 an 为等比数列，且aa24x2，就 aaa202120210dx202120212021的最小值为三、解答题（本大题包括6 个小题， 共 70 分

9、，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（17）（本小题满分12 分）在 abc 中， a ，b ，c 分别是角a ，b ，c 的对边，且cosbb.（）求角b 的大小；cosc2ac（）如 b13 ，ac4 ，求 abc 的面积 .（18）（本小题满分12 分）在四边形abcd 中， 对角线 ac ，bd 垂直相交于点o ，且 oaobod4 ，oc3 .将 bcd沿 bd 折到 bed的位置，使得二面角ebda 的大小为90（如图）已知 q 为 eo 的中点，点p 在线段 ab 上，且 ap2 e（）证明：直线pq / 平面 ade ；dqo（）求直线bd 与平面 ade 所成角的正弦值

10、apb（19）（本小题满分12 分）班主任为了对本班同学的考试成果进行分析，打算从全班25 位女同学， 15 位男同学中随机抽取一个容量为8 的样本进行分析.（）假如按性别比例分层抽样，求样本中男生、女生人数分别是多少；（ ）随机抽取8位同学， 数学成绩由低 到高依次为：60，65 ，70 ，75 ，80 ，85，90 ，95 ；物理成果由低到高依次为：72 ，77 ，80 ，84 ，88 ，90 ，93 ，95 ，如规定 90 分（含 90 分）以上为优秀， 记为这 8 位同学中数学和物理分数均为优秀的人数，求的分布列和数学期望.（20）（本小题满分12 分）x2y22已知 f1 ，f2 是

11、椭圆+a2b21ab0 的左、右焦点， o 为坐标原点， 点 p1， 在2椭圆上，线段pf2 与 y 轴的交点 m 满意pmf2m0 （）求椭圆的标准方程；（）圆 o 是以f1 f2 为直径的圆，始终线l : ykxm 与圆 o 相切，并与椭圆交于不同的两点 a 、 b ，当 oa ob，且满意 2 3时，求oab 的面积 s 的取值范畴34（21）（本小题满分12 分）设 f x 4 xalnx ，曲线yf x在点 1， f 1 处的切线与直线xy10 垂直 .3x1（）求 a 的值；（）如对于任意的x1，n ， f x m xi1 恒成立，求m 的取值范畴；（）求证：ln4 n1 16nn

12、* .i 1 4 i14i3请考生在第 22、23 题中任选一题作答，假如多做，就按所做的第一题计分（22 ）（本小题满分10 分） 选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，抛物线c 的方程为x24 y4 （）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求c 的极坐标方程；（）直线 l 的参数方程是x t cosy t sin（ t 为参数）， l 与 c 交于 a ，b 两点， |ab |8 ，求 l 的斜率（23）（ 本小题满分10 分）选修 4 5：不等式选讲已知函数f x| 2 x1| 2 x3| ，xr .（）解不等式f x 5 ；（）如g x1f xm 的定义

13、域为r ，求实数 m 的取值范畴考试时间： 120 分钟试卷满分： 150 分命题人：审题人：数学组本试卷分第一卷 （挑选题） 和第二卷 （非挑选题） 两部分， 考试终止后， 将答题卡交回；留意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清晰，将条形码精确粘贴在考生信息条形码粘贴区；2挑选题必需使用2b 铅笔填涂；非挑选题必需使用0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清晰；3请依据题号次序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效；4作图可先使用铅笔画出，确定后必需用黑色字迹的签字笔描黑；5保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改

14、液、修正带、刮纸刀；第 卷（挑选题 60 分）一、挑选题（本大题包括12 个小题，每道题5 分，共 60 分，每道题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）（24）如集合 a xn2| 54xx0 ，b x | x3 ， 就 ab 等于（ a ） 1，3（ b ） 1，2（c） 0 ，3（ d） 0，1，2【答案】（ d ）（25）复数 zai（ i 为虚数单位） 的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，就实数 a2i的取值范畴是1（ a ） 2 ， 2（ b） 1，22（ c） ，21（ d ） ，+2【答案】（ a ）（26）在梯形 abcd 中， ab3d

15、c ，就 bc 等于（ a ）1 ab2 ad（ b）2 ab4 ad3333（ c） 2 abad（d ）2 abad33【答案】（ d ）（27）等差数列 an 的前 n 项和为sn ，且 s56 ，a21 ，就公差 d 等于（ a ） 15（ b） 35（ c） 65（ d） 2【答案】（ a ）（28）“勾 股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图” ，用数形结合的方法给出了勾股定理的具体证明. 如下列图的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2 的大正方形，如直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地

16、投掷一枚飞镖，6飞镖落在小正方形内的概率是（ a ） 13（ b）322【答案】（ a ）（ c） 434（ d）34（29）考拉兹猜想又名3n1 猜想，是指对于每一个正整数，假如它是奇数，就对它乘3 再加 1；假如它是偶数，就对它除以2.如此循环， 最终都能得到1.阅读如下列图的程序框图，运行相应程序，输出的结果i（ a ） 4 （ b） 5（ c） 6（ d） 7【答案】（ d ）开头a10，i1是a1.否是a3a1否a 是奇数 ？aa2输出 i108正视图侧视图ii1终止27俯视图第（ 6）题第（ 7）题（30）某三棱锥的三视图如下列图，且三个三角形均为直角三角形，就三棱锥的体积为（ a

17、 ） 32（b） 327（ c） 167（d ） 647【答案】（ c）x2 0（31）已知 x ，y 满意约束条件xy 62 xy 6，就目标函数z4 y4x2的最大值为（ a ） 6（ b ） 5 （ c） 2（ d）1【答案】（ b ）（32）以下四个命题中是假命题的是（ a ） “昆虫都是6 条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6 条腿 ”此推理属于演绎推理.（ b） “在平面中，对于三条不同的直线a ， b ， c ，如 a b ， b c 就 a c ，将此结论放到空间中也成立” 此推理属于合情推理.（ c） “a 0 ”是“函数f xaxln x 存在极值 ”的必要不充分条件.（ d

18、）如 x0 ，2 ，就sin x2sin x的最小值为22 .【答案】（ d ）（33）如图， 南北方向的大路l ， a 地在大路正东2km 处， b 地在 a 东偏北 30方向 23km处，河流沿岸曲线pq 上任意一点到大路l 和到 a 地距离相等 现要在曲线pq 上一处 m建一座码头，向a ，b 两地运货物，经测算，从m 到 a 、 m 到 b 修建费用都为a 万元p/ km ，那么，修建这条大路的总费用最低是（l）万元pb（ a ） 23 a（ b） 231a（ c） 5a（ d） 6a【答案】（ c）lmbmaaq q（34）大数据时代显现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个

19、小孩的现象普遍存在， 某城市关系要好的 a ，b ，c ，d 四个家庭各有两个小孩共 8 人，预备使用滴滴打车软件， 分乘甲、 乙两辆汽车出去游玩，每车限坐 4 名（乘同一辆车的 4 名小孩不考虑位置），其中 a 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，就乘坐甲车的 4 名小孩恰有 2 名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（ a ） 18 种 （b） 24 种 （ c） 36 种 （d ） 48 种【答案】（ b ）（35）设函数f x的定义域为d ，假如xd ，yd ， 使得f xf y 成立，就称函数 f x 为“函数”.给出以下四个函数： ysin x ； y2x ；y1； yx1ln x ,就其中“

20、函数”共有（ a ） 1个（b） 2 个（ c） 3 个（d ） 4 个【答案】（ c）第 卷（非挑选题，共90 分）本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题 21 题为必考题，每个试题考生都必需作答，第22 题、23 题为选考题，考生依据要求作答.二、填空题（本大题包括4 个小题，每道题5 分，共 20 分，把正确答案填在答题卡中的横线上） （36）函数 ysin xcos x 的单调递增区间为【答案】 2 k3，2k kz （37） 3a4462b 的绽开式中的第3 项的二项式系数为（用数字作答）22【答案】 15（38）已知命题p : 对任意的x1，2 ，xa 0 ，命题q : 存在

21、xr ，x2ax2a0 ，如命题“ p 且 q ”是真命题，就实数a 的取值范畴是【答案】“a 2 或 a1 ”22（39）已知数列 an 为等比数列，且4x，就a2021a20210dxa2021a2021a2021的最小值为2【答案】2三、解答题（本大题包括6 个小题， 共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（40）（本小题满分12 分）在 abc 中， a ，b ，c 分别是角a ，b ，c 的对边，且cosbb.（）求角b 的大小；cosc2ac（）如 b13 ，ac4 ，求 abc 的面积 .【解析】（）由cos bbcosbsin bcosc2accosc2sin

22、asin c2sina cos bcos b sin csin b cos c2sina cos bcos b sin csin b cos c2sina cos bsin bc 2sina cos bsin acosb12又 0b， 所以 b2.6 分3（）由余弦定理有222bac2ac cos b2ac 2ac2accos 23，解得 ac3 ，所以 s abc1 ac sin b3 32412 分（41）（本小题满分12 分）在四边形abcd 中， 对角线 ac ，bd 垂直相交于点o ，且 oaobod4 ，oc3 将 bcd沿 bd 折到 bed的位置 ，使得二面角ebda 的大小为

23、 90（如图）已知 q 为 eo 的中点，点p 在线段 ab 上，且 ap2 eq（）证明：直线pq / 平面 ade ；doa（）求直线bd 与平面 ade 所成角的正弦值pb【解析】（）解法一：如图，取od 的中点 r ，连接 pr，qr ，就 de/ / rq ，由题知 ab42 ， 又 ap2 ，故ab a:p4:1db d:r，因此 ad/ / pr ，由于 pr ，rq平面 ade ，且 ad ，de平面 ade ，故pr /平面 ade ， rq / 平面 ade ，又 prrqr ，故平面pqr /平面 ade ，从而pq / 平面 ade 6 分解法二：以 o 为坐标原点，o

24、a，ob ，oe分别为 x ，y ，z 轴建系，由题知 |ab |42 ，故 ab4 ap ，又 ab 4 ，4 ，0 ，故 ap 1，1，0 ，从而 p3 ，1，0 ，又q0 ，0，3 ，故 pq 23 ，1，3 ，2设平面 ade 的法向量为n x ，y ，z ，易得 da4 ，4 ，0 ， de0 ，4 ，3 ，n da由n de04 x4 y得04 y3z0，取 x03 得 n3 ，3 ，4 ，因n pq0 ，故直线pq /平面 ade ；6 分（）解法一： 由（）可知 n3 ，3 ，4 为平面 ade 的法向量， 又 bd0 ，8 ，0 ，故 sin| cosn ，bd|n bd24

25、33412 分| n | | bd |34834解法二：由题eaed5 ，取 ad 中点 f ，因 oaod ，故 ofad ， efad ，因此 ad平面 oef，从而平面 ade平面 oef，过点 o 作 ohef 于 h ， 连 dh ，就 oh平面 ade，从而odh，易知 oeof ， oe3 ， of22 ，故 oh3 22634，因此sinoh334 12 分9817od34解法三：由题eaed5 ， ad42 ，设点 o 到平面 ade 的距离为 d ，就由等体积法可得114232258d114 4 3 ，32故 d63417，因此sind3od3434 .12 分（42）（本

26、小题满分12 分）班主任为了对本班同学的考试成果进行分析，打算从全班25 位女同学， 15 位男同学中随机抽取一个容量为8 的样本进行分析.（）假如按性别比例分层抽样，求样本中男生、女生人数分别是多少；（ ）随机抽取8位同学， 数学成绩由低 到高依次为：60，65 ，70 ，75 ，80 ，85，90 ，95 ；物理成果由低到高依次为：72 ，77 ，80 ，84 ，88 ，90 ，93 ，95 ，如规定 90 分（含 90 分）以上为优秀， 记为这 8 位同学中数学和物理分数均为优秀的人数，求的分布列和数学期望.【解析】（ i ）抽取女生数25 ×8 = 5 人，男生数15834

27、分4040（ ii ）的全部可能取值为0 ，1，25 分a a26a8p056820 ， p1561116c c c a2356a8830 ， p23668aa a26856856分的分布列为012p20306565656e02013026312 分5656564（43）（本小题满分12 分）已知 f1 ，f2 是椭圆xy22+221ab0 的左、右焦点， o 为坐标原点， 点 p1，2 在椭圆上，线段abpf2 与 y 轴的交点 m 满意2pmf2m0 （）求椭圆的标准方程；（）圆 o 是以f1 f2 为直径的圆，始终线l : ykxm 与圆 o 相切，并与椭圆交于不同2的两点 a 、 b

28、，当 oa ob，且满意3时，求oab 的面积 s 的取值范畴34【解析】 （）由于pmf2 m0 ，所以 m 是线段pf2 的中点，所以 om是 pf1 f2 的111中位线，又omf1 f2 ，所以 pf1f1 f2, 所以 c1 又由于a 22b 2，22222abc2解得 a2，b1，c1，所以椭圆的标准方程为x2y21.4 分2（）由于直线l : ykxm 与圆 o 相切，所以| m |1 ，即 m2k 2151k2分x22y1222联立2ykxm得 12k x4kmx2m20 .设 ax1 ，y1 ，b x2 ，y2 由于直线与椭圆交于不同的两点a 、 b ，所以0 ，x1x24k

29、m12k2，x1x22m2212k 2，6 分y1y2kx1m kx2mm22k2，212k1k 22321k23oa obx1x2分y1y212k 2，又由于，所以348312k 2412解得 k 1.2s1 | ab | 1121k| xx |422kk ，10 分1242224kk 13 u 2 ，s2u2设 uk 4所以3k 2 ，就44u1621 单调递增，4us s s2 ，即 s12 分443（44）（本小题满分12 分）设 f x 4 xalnx ，曲线yf x在点 1， f 1 处的切线与直线xy10 垂直 .3x1（）求 a 的值；（）如对于任意的x1，n ， f x m xi1 恒成立，求m 的取值范畴；（）求证：ln4 n1 16nn* .i 1 4 i14i3【解析】（）f x 4xa x4lnx3 x134 xaln2x ， f11 ，3 x1解得 a03 分（）对于任意的x1，1 ， f x m x1) ，即4lnxm3x12 0 恒成立， x设 g x4ln xm3 x2) 0 恒成立，x413mx24xmg 'xm3xx2，g '144m5 分x2如 m 0 ，g 'x 0 ，g x 单调递增，0g 1 g x ， 这与g x 0 冲突；6分如 m0 ，1 ，当 x21，243m3m ，g '