年全国初中数学联赛初赛试卷含答案

1、2021年全国中学数学联赛 初三组 初赛试卷（考试时间： 2021年 3 月 4 日下午 3 ：00 5 ：00 ）班级： :姓名：成果：题号一二三四五合计得分评卷人复核人考生留意：1、本试卷共五道大题，全卷满分140 分；2、用圆珠笔、签字笔或钢笔作答；3、解题书写不要超出装订线；4、不能使用运算器；一、挑选题（此题满分42 分，每道题7 分）1、已知实数a、b 满意 | a3 | b2 |1aa3 ，就 ab 等于（）a、1b、2c、 3d、52、如图，点 d 、e 分别在abc 的边 ab、ac 上，be、cd 相交于点f ，设四边形eadf 、 bdf 、bcf 、cef 的面积分别为

2、s1 、s2 、 s3 、s4 ，就s1s3 与 s2 s4 的大小关系为（）a、 s1 s3s2 s4b、 s1 s3s2 s4c、 s1 s3s2 s4d、不能确定ao1dcbefo2o3bca第 2 题图第 2 题图3 、对于任意实数a， b， c， d，有序实数对（a， b）与（ c， d）之间的运算“”定义为：a， bc， dacbd， adbc . 假如对于任意实数m， n 都有m， nx， yn， m，那么x，y为（）a、（0， 1）b、（ 1， 0）c、（ - 1，0）d、（ 0，- 1）4、如图，已知三个等圆o1 、o2 、o3 有公共点o，点 a、b、c 是这些圆的其他交点

3、，就点 o 肯定是abc 的（）a、外心b、内心c、垂心d、重心25、已知关于x 的方程x24 | x2 |k0 有四个根，就k 的范畴为（）a、1k0b、4k0c、 0k1d、 0k46、设在一个宽度为w 的小巷内搭梯子，梯子的脚位于p 点，小巷两边的墙体垂直于水平的地 面；将梯子的顶端放于一堵墙的q 点时， q 离开地面的高度为k，梯子的倾斜角为45 ，将该梯子的顶端放于另一堵墙的r 点时， r 离开地面的高度为h，梯子的倾斜角为75 ，就小巷的宽度w 等于（）a、h二、填空题（本大题满分b、k28 分，每道题7 分）c、hkd、7、化简2323 的值为hk28、 假如关于x 的实系数一元

4、二次方程x 22 k3 xk 230 有两个实数根、，那么2211的最小值是9、设四位数 abcd 满意 10d 31000a100c10db ，就这样的四位数有个10、如图， mn 是 o 的直径， mn2 ，点 a 在 o 上，amn30 ，b 为 an 的中点， p是直径 mn 上一动点，就papb 的最小值为三、（本大题满分20 分）22211、设实数 a，b， c 满意：abc0 且 14 abca2b222a2b 3c，求23c的值；abacbcamnop四、（本大题满分25 分）12、已知抛物线yx 22 m1 xm3 与 x 轴相交于两点a、b（点 a 在 x 轴的正半轴上，点

5、 b 在 x 轴的负半轴上） ，与 y 轴交于点 c.（ 1）求 m 的取值范畴；（ 2）如 | oa |:| ob |3 :1 ，在该抛物线对称轴右边图像上求一点p 的坐标， 使得pcobco .五、（本大题满分25 分）13、如图，等腰三角形abc 中， abac ，d ，e 分别在 ab， ac 边上，且 adae . p 在 ab的延长线上， qr 分别在线段ce、db 上，且 bpcq与 cd ， be 分别交于点m ， n. 求证：dr ，连结直线pq 与 bc 交 于点l， qr（ 1） pl（ 2） mqlq ；nradernmqblp2021年全国中学数学联赛初赛试卷（考试时

6、间：2021 年 3 月 13 日下午 3： 00 5： 00）一、挑选题（此题满分42 分，每道题7 分）1、c2、c3、d4、c5、 b6、a二、填空题（本大题满分28 分，每道题7 分）7、6 8、189、310、2 三、（本大题满分20 分）11、解：由 14 a2 b2 c2 a2b 3c2，得 13a2 10b2 5c2 4ab 6ac 12bc0， ···················

7、83;···（5 分）配方得 3a c2 2a b2 3b 2c2 0，······················（10 分）所以 3a c 0，2a b 0， 3b 2c 0，即 c 3a， b2a ············&

8、#183;·······················（15 分）222代入 a2b3c得abacbc222222a2b3ca8a27a36 ···················

9、;···（分）222abacbc2a3a6a11解法二：由14 a2 b2 c2 a 2b 3c2，得 13a2 10b2 5c2 4ab 6ac 12bc0， ·······················（5 分）25 c2 3a6b c3a56b 213a2 10b2 4ab53a6b0，55c3a6b 25655a2145b256

10、 ab0，5所以 5c3a6b 214 2a b2 0， ························（10 分）55由此得， c3a6b0， 2a b 0，5解得 b 2a， c 3a ··············

11、····················（15 分）222代入 a2b3c得abacbc222222a2b3ca8a27a36 ······················（分）2

12、22abacbc2a3a6a11四、（本大题满分25 分）12、解：（ 1）由已知得，x2 2m1x m 3有两个不相同的实数解，所以2 m14m 34m12m16 2m 33 0，可知 m 是任意实数·································（

13、5 分）又由于点a 在 x 轴的负半轴上，点b 在 x 轴的正半轴上所以方程，x2 2m 1x m 3的两根一正一负，所以m 3 0，解得 m 3所以所求m 的取值范畴是m3 ························（10 分）（ 2）解法一：设点aa， 0，bb， 0， a 0， b 0，就 a3b，且 ab 2m 1，abm 3，解得 m 0函数

14、解析式为yx2 2x3···························（15 分）所以 a3 ，0， b 1，0， c0， 3；由 pco bco 可知 bc 与 pc 关于直线oc 对称；作 b 关于 oc 的对称点b，就 b1 ，0，y c设直线 pc 是一次函数y kx b 的图象，就3k 00k 1b,，解得bk3

15、,；b3pboa x即 pc 是一次函数y3x 3 的图象；把 y3x 3 代入 yx2 2x3，得3x 3x2 2x3， ·································（20 分）解得 x， x，当 x时， y，此时点 p 与点 c 重合，不合题意

16、，舍去；当 x时， y12，此时点p 的坐标为 5,12故抛物线对称轴右边图象上有一点p5,12，使得 pco bco········································&

17、#183;····（25 分） 解法二：设点a a, 0， bb, 0， a0， b 0，就 a3b，且 ab 2m 1，abm 3，解得 m 0函数解析式为yx2 2x3···························（15 分）所以 a3 , 0， b 1, 0，c0, 3；设

18、p 点的坐标为 c,c2 2c3 （c 1）当 1 c2 时， pco 90° bco 当 c 2 时， tan pcoc，23 c2c3又 tan bco1 ，由 pco bco 得 tanpcotanbco 3c即23 c2c31 ， ·····························&

19、#183;（分）3解得 c 5当 x时， y12，此时点p 的坐标为 5,12故抛物线对称轴右边图象上有一点p5， 12，使得 pco bco······································&

20、#183;······（25 分） 五、（本大题满分25 分）13、证明：（ 1）过 p 作 ph 平行于 ac 交直线 bc 于点 h ，连结 ph ， bh；就 phb acb abc pbh ，adernk mqhblcp所以 hpbp cq ；······················（5 分）又 hlp c

21、lq ， phl qcl ，所以 hlp clq 所以 pllq ·····································（10 分）法二：过q 作 qx bc 交 ab 于点 x，ademrnxqblcp所以

22、aqx acb abc axq，所以 ax aq；故 bx cq bp ； ···································（5 分） 又由于 qx lb ，所以 pllq ·····································（1