年山东省高考数学试卷答案与解析

1、细心整理2021 年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、挑选题（共12 小题，每道题 5 分，满分 60 分）1（ 5 分）（2021.山东）已知全集u=r，集合 m=x|x 1| 2， 就 cum= （）a x| 1x3b x| 1 x 3cx|x 1，或 x3dx|x1，或 x 3【考点】 补集及其运算【专题】 集合【分析】 由题意全集 u=r，集合 m=x|x 1| 2，然后依据交集的定义和运算法就进行运算【解答】 解：由于集合m=x|x 1| 2=x| 1x3，cu m=x|x 1，或 x3 应选 c全集 u=r，【点评】 此题考查集合的补集运算，以及简洁的含肯定值的不等式

2、的求解，属简洁题2（ 5 分）（2021.山东）已知，其中 i 为虚数单位，就a+b=（）a 1 b1c2d3【考点】 复数代数形式的混合运算【专题】 数系的扩充和复数【分析】 先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果【解答】 解：由得 a+2i=bi 1，所以由复数相等的意义知a=1，b=2，所以 a+b=1另解：由得 ai+2=b+i（ a， br），就 a=1，b=2，a+b=1应选 b【点评】 此题考查复数相等的意义、复数的基本运算，是基础题3（ 5 分）（2021.山东）在空间，以下命题正确选项（） a 平 行 直 线 的 平 行 投 影 重 合b平行于同始终线的两个平面平行

3、 c垂直于同一平面的两个平面平行 d垂直于同一平面的两条直线平行【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系【专题】 空间位置关系与距离【分析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理，可以很简洁得出答案【解答】 解：平行直线的平行投影重合，仍可能平行， a 错误平行于同始终线的两个平面平行，两个平面可能相交， b 错误 垂直于同一平面的两个平面平行，可能相交， c 错误应选 d【点评】 此题考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题4（ 5 分）（ 2021.山东）设 f（x）为定义在 r 上的奇函数，当 x0时，f（x）=2x+2x+b（ b 为常数）

4、，就 f（ 1） =（）a 3 b 1 c1d3【考点】 奇函数【专题】 函数的性质及应用细心整理【分析】 第一由奇函数性质f （0）=0 求出 f （x）的解析式，然后利用定义f（ x）=f（ x）求 f（ 1）的值【解答】 解：由于 f（ x）为定义在 r 上的奇函数，所以 f （0） =20+2×0+b=0，解得 b= 1，所以当 x0时， f （x）=2x+2x1， 又由于 f （x）为定义在 r 上的奇函数，所以 f （ 1）=f （1）=（ 21+2×11）=3，应选 a 【点评】 此题考查奇函数的定义f（ x）=f（ x）与基本性质 f （0）=0（函数有意义

5、时）5（ 5 分）（2021.山东）已知随机变量听从正态分布 n（0，2），如 p（2）=0.023，就 p（2）2=（）a 0.477b0.625c0.954d0.977【考点】 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【专题】 概率与统计【分析】 画出正态分布n（0， 1）的密度函数的图象，由图象的对称性可得结果【解答】 解：由随机变量听从正态分布 n（0，2）可知正态密度曲线关于y 轴对称，而 p（ 2） =0.023，就 p（ 2）=0.023，故 p（ 2）2=1p（ 2） p（ 2） =0.954，应选： c【点评】 此题主要考查正态分布的概率求法，结合正态曲线，加深对正态密度函数的懂

6、得6（ 5 分）（2021.山东）样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2， 3如该样本的平均值为1，就样本方差为（）a bcd2【考点】 极差、方差与标准差【专题】 概率与统计【分析】 由样本平均值的运算公式列出关于a 的方程，解出 a，再利用样本方差的运算公式求解即可【解答】 解：由题意知（a+0+1+2+3） =1，解得 a=1，样本方差为 s2=（ 11）2+（ 0 1）2+（11）2+（21）2+（ 3 1） 2 =2，应选： d【点评】此题考查用样本的平均数、方差来估量总体的平均数、方差，属基础题，熟记样本的平均数、方差公式是解答好此题的关键7（ 5 分）（2021.山东）由曲

7、线 y=x2，y=x3 围成的封闭图形面积为（）a bcd【考点】 定积分在求面积中的应用【专题】 函数的性质及应用【分析】 要求曲线 y=x2， y=x3 围成的封闭图形面积，依据定积分的几何意义，只要求0 1（x2 x3 ）dx 即可【解答】 解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1， 1），（0，0）故积分区间是 0，10所求封闭图形的面积为 1（ x2x3） dx，细心整理应选 a 【点评】 此题考查定积分的基础学问，由定积分求曲线围成封闭图形的面积8（ 5 分）（2021.山东）某台小型晚会由6 个节目组成，演出次序有如下要求：节目甲必需排在前两位、节目乙不能排在第一位， 节目丙必需排在

8、最终一位，该台晚会节目演出次序的编排方案共有（）a 36 种b42 种c48 种d54 种【考点】 排列、组合的实际应用【专题】 排列组合【分析】由题意知甲的位置影响乙的排列，甲在第一位和甲不在第一位， 对于排列有影响要分两类：一类为甲排在第一位共有a4 种，另一类甲排在其次位共有a1a 33 种，依据分类计数原理得到结果43【解答】 解：由题意知甲的位置影响乙的排列4要分两类：一类为甲排在第一位共有a 4 =24 种，a33另一类甲排在其次位共有a13=18 种，故编排方案共有24+18=42 种，应选 b【点评】此题主要考查排列组合基础学问，考查分类与分步计数原理，分类加法计数原理：第一确

9、定分类标准， 其次满意： 完成这件事的任何一种方法必属某一类，并且分别属于不同的两类的方法都是不同的方法，即 “不重不漏 ”9（5 分）（ 2021.山东）设a n 是首项大于零的等比数列， 就“1aa2”是“数列a n 是递增数列 ”的（）a 充分而不必要条件b必要而不充分条件 c充分必要条件d既不充分也不必要条件【考点】 等比数列【专题】 等差数列与等比数列【分析】 首项大于零是前提条件，就由“q1，a10”来判定是等比数列 a n 是递增数列【解答】 解：如已知 a1 a2，就设数列 an 的公比为 q， 由于 a1a2，所以有 a1a1q，解得 q1，又 a10，所以数列 a n 是递

10、增数列；反之，如数列a n 是递增数列，就公比 q1 且 a10，所以 a1a1 q，即 a1a2，所以 a1a2 是数列a n 是递增数列的充分必要条件 应选 c【点评】 此题考查等比数列及充分必要条件的基础学问，属保分题10（5 分）（ 2021.山东）设变量 x ，y 满意约束条件，就目标函数 z=3x4y 的最大值和最小值分别为（）a 3， 11b 3， 11c11， 3 d11，3【考点】 简洁线性规划【专题】 不等式的解法及应用【分析】 作出可行域 z 为目标函数纵截距负四倍画直线 3x4y=0，平移直线观看最值【解答】 解：作出满意约束条件的可行域，如右图所示，可知当直线 z=3

11、x4y 平移到点（ 5，3）时，目标函数 z=3x 4y 取得最大值 3；当直线 z=3x4y 平移到点（ 3，5）时，目标函数 z=3x 4y 取得最小值 11，应选 a【点评】 此题考查不等式中的线性规划学问，画出平面区域与正确懂得目标函数z=3x4y 的几何意义是解答好此题的关键细心整理11（5 分）（ 2021.山东）函数 y=2xx2 的图象大致是（）a bcd【考点】 函数的图象与图象变化【专题】 函数的性质及应用【分析】 充分利用函数图象中特别点加以解决如函数的零点2， 4；函数的特别函数值f（ 2）符号加以解决即可【解答】 解：由于当 x=2 或 4 时， 2xx2=0，所以排

12、除 b、c； 当 x=2 时， 2xx2=，故排除 d，所以选 a 【点评】 此题考查函数的图象，考查同学们对函数基础学问的把握程度以及数形结合的思维才能12（5 分）（ 2021.山东）定义平面对量之间的一种运算“ ”如下：对任意的，令，下面说法错误选项（）a 如与 共线，就=0b=c对任意的 r，有 =）d（ ）2 +（）2=|2|2【考点】 平面对量数量积的运算【专题】 平面对量及应用【分析】 依据题意对选项逐一分析如与 共线，就有，故 a 正确；由于，而，所以有，应选项 b 错误，对于 c， =qmpn，而 ）=（qmpn） =qmpn，故 c 正确，对于 d，（ ）2 +（）2=（q

13、mpn） 2+（mp+nq）2=（ m2+n2）（p2+q2）=|2|2， d 正确；得到答案【解答】 解：对于 a ，如与 共线，就有，故 a 正确；对于 b，由于，而，所以有，应选项 b 错误， 对于 c， =qmpn，而 ）=（qmpn） =qmpn，故 c 正确，对于 d，（ ）2 +（）2=（qmpn） 2+（mp+nq）2=（ m2+n2）（p2+q2）=|2|2， d 正确；应选 b【点评】此题在平面对量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面对量的基础学问以及分析问题、解决问题的才能二、填空题（共4 小题，每道题 4 分，满分 16 分）13（4 分）（ 2021.山东）执行如

14、下列图的程序框图，如输入x=10，就输出 y 的值为细心整理【考点】 程序框图【专题】 算法和程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再依据流程图所示的次序，可知：该程序的作用是利用循环运算并输出变量y 的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果【解答】 解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：xy 是否连续循环循 环 前 10 第一圈 104 是其次圈 41 是第三圈 1 是第四圈 否故输出 y 的值为故答案为：【点评】依据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是： 分析流程图（或伪代码） ，从流程图（或伪代码

15、）中即要分析出运算的类型，又要分析出参与运算的数据（假如参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析治理）.建立数学模型，依据第一步分析的结果，挑选恰当的数学模型解模14（4 分）（ 2021.山东）如对任意 x 0，a恒成立，就 a 的取值范畴是a【考点】 基本不等式在最值问题中的应用【专题】 不等式的解法及应用【分析】 依据 x+2代入中求得的最大值为进而 a 的范畴可得【解答】 解： x0，x+2（当且仅当 x=1 时取等号），=，即的最大值为，故答案为： a【点评】 此题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用属基础题15（ 4 分）（2021.山东）abc 中，角 a ，b，c 所

16、对的边分别为a，b，c，如 a=，b=2，sinb+cosb=，就角 a 的大小为【考点】 同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正弦；正弦定理【专题】 解三角形【分析】 由条件由 sinb+cosb=得 1+2sinbcosb=2，即 sin2b=1，依据三角形的内角和定理得到0b 得到 b 的度数利用正弦定理求出a 即可【解答】 解：由 sinb+cosb=得 1+2sinbcosb=2，即 sin2b=1，由于 0b，所以 b=45°，b=2，所以在 abc 中，细心整理由正弦定理得：，解得 sina=，又 ab，所以 a b=45°，所以 a=30°故答案为

17、【点评】此题考查了三角恒等变换、 已知三角函数值求解以及正弦定理，考查了同学们解决三角形问 题 的 能 力 16（4 分）（ 2021.山东）已知圆 c 过点（ 1，0），且圆心在 x 轴的正半轴上，直线l ：y=x1 被圆c 所截得的弦长为，就过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为x+y3=0【考点】 直线与圆的位置关系【专题】 直线与圆【分析】 先求圆心坐标，然后可求过圆心与直线.垂直的直线的方程【解答】 解：由题意，设所求的直线方程为x+y+m=0 ，并设圆心坐标为（ a，0），就由题意知：，解得 a=3 或 1，又由于圆心在 x 轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为（ 3， 0），圆心

18、（ 3，0）在所求的直线上，所以有3+0+m=0，即 m=3，故所求的直线方程为x+y 3=0故答案为： x+y3=0【点评】此题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了同学们解决直线与圆问题的才能三、解答题（共6 小题，满分 74 分）17（12 分）（2021.山东）已知函数f（ x） =sin2xsin +c2xocsos sin（+）（0），其图象过点（， ）（ ）求 的值；（ ）将函数 y=f （x）的图象上各点的横坐标缩短到原先的，纵坐标不变，得到函数y=g（x） 的图象，求函数g（ x）在0，上的最大值和最小值【考点】 y=asin （x+）中参数的物理意义；三角

19、函数的最值【专题】 三角函数的图像与性质【分析】（i）由已知中函数f（ x） =sin2xsin+cos2xcos sin（+）（0 ），其图象过点（， ）我们将（，）代入函数的解析式，结合的取值范畴，我们易示出的值（ii ）由（ 1）的结论，我们可以求出y=f（ x），结合函数图象的伸缩变换，我们可以得到函数y=g（x）的解析式，进而依据正弦型函数最值的求法，不难求出函数的最大值与最小值【解答】 解：（ i） 函数 f（x）=sin2xsin +co2xscos sin（+）（0），又由于其图象过点（，）细心整理解得： =（ii ）由（ 1）得 = ，f （x）=sin2xsin+c2oxs

20、cos sin（+）=x0，4x+当 4x+=时， g（x）取最大值； 当 4x+=时， g（ x）取最小值【点评】此题考查三角函数的诱导公式即二倍角等基本公式的敏捷应用、图象变换及三角函数的最值问题、分析问题与解决问题的才能已知函数图象求函数y=asin（ x+）（ a 0，0）的解析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定a ，由周期确定 ，由适合解析式的点的坐标来确定，但由图象求得的y=asin （ x+）（ a 0， 0）的解析式一般不唯独，只有限定 的取值范畴，才能得出唯独解，否就的值不确定，解析式也就不唯独18（12 分）（2021.山东）已知等差数列 a n

21、满意： a3=7，a5+a7=26an 的前 n 项和为 sn（ ）求 an 及 sn；（ ）令（nn* ），求数列 b n 的前 n 项和 tn【考点】 等差数列的通项公式；等差数列的前n 项和；数列的求和【专题】 等差数列与等比数列【分析】（1）依据等差数列所给的项和项间的关系，列出关于基本量的方程，解出等差数列的首项和公差，写出数列的通项公式和前n 项和公式（2）依据前面做出的数列构造新数列，把新数列用裂项进行整理变为两部分的差，合并同类项，得到最简结果，此题考查的是数列求和的典型方法裂项法，留意解题过程中项数不要出错【解答】 解：（ ）设等差数列 a n 的公差为 d，a3=7，a5+

22、a7 =26，有，解得 a1=3， d=2，an=3+2（n1）=2n+1；sn=n2+2n；（ ）由（ ）知 an=2n+1，bn=，细心整理tn=，即数列 b n 的前 n 项和 tn=【点评】此题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、 裂项法求数列的和， 娴熟数列的基础 知 识 是 解 答 好 本 类 题 目 的 关 键 是 每 年 要 考 的 一 道 高 考 题 目 19（12 分）（ 2021.山东）如图，在五棱锥 pabcde 中，pa平面 abcde ，ab cd，ac ed， ae bc， abc=45°，ab=2，bc=2ae=4 ，三角形 pab 是等腰三

23、角形（ ）求证：平面 pcd 平面 pac；（ ）求直线 pb 与平面 pcd 所成角的大小；（ ）求四棱锥 p acde 的体积【考点】 平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面所成的角【专题】 空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何【分析】（）要证平面 pcd平面 pac，只需证明平面pcd 内的直线 cd，垂直平面 pac 内的两条相交直线 pa、ac 即可；（ ）过点 a 作 ah pc 于 h，说明 pbo 为所求角，然后解三角形求直线pb 与平面 pcd 所成角的大小，也可以利用空间直角坐标系，求出向量，平面 pcd 的

24、一个法向量，运算，即可（ ）直接求出底面面积和高，再求四棱锥pacde 的体积【解答】 解：（ ）证明：由于 abc=4°5 ， ab=2，bc=4，所以在 abc 中，由余弦定理得：，解得，所以 ab 2+ac 2=8+8=16=bc2，即 ab ac ，又 pa 平面 abcde ，所以 paab ，又 paac=a ，所以 ab 平面 pac，又 ab cd，所以 cd平面 pac， 又由于 cd.平面 pcd，所以平面 pcd平面 pac；（ ）由（ ）知平面 pcd平面 pac，所以在平面 pac 内，过点 a 作 ah pc 于 h，就 ah 平面 pcd，又 ab cd

25、， ab .平面 pcd 内，所以 ab 平行于平面 pcd，所以点 a 到平面 pcd 的距离等于点 b 到平面 pcd 的距离，过点 b 作 bo平面 pcd 于点 o， 就 bpo 为所求角，且 ah=bo ，又简洁求得 ah=2 ，所以，即 bpo=3°0 ，所以直线 pb 与平面 pcd 所成角的大小为 30°；另解：（ ）由于 pab 为等腰三角形，所以又 ab cd，所以点 b 到平面 pcd 的距离等于点a 到平面 pcd 的距离由 cd平面 pac，在 rt pac 中，所以 pc=4故 pc 边上的高为 2，即点 a 到平面的距离，即点点b 到平面 pc

26、d 的距离为 2设直线 pb 与平面 pcd 所成的角为 ，就，细心整理又，所以（ ）由（ ）知 ab ，ac ，ap 两两相互垂直，分别以 ab ， ac， ap 为 x，y，z 轴建立如下列图的空间直角坐标系， 由 pab 为等腰直角三角形，所以，而，就由于 ac ed，cdac ，所以四边形 acde 是直角梯形由于 ae=2， abc=4°5，ae bc，所以 bae=13°5， cae=4°5 ，故，所以因此，设是平面 pcd 的一个法向量，就，解得 x=0， y=z取y=1，得，而设 表示向量与平面 pcd 的法向量所成的角，就因此直线 pb 与平面

27、pcd 所成角的大小为；（ ）由（ ）知 cd平面 pac，所以 cd ac ，又 ac ed，所以四边形 acde 是直角梯形， 又简洁求得， ac=，所以四边形 acde 的面积为，所以四棱锥 pacde 的体积为=【点评】此题主要考查空间中的基本关系，考查线面垂直、 面面垂直的判定以及线面角和几何体体 积 的 计 算 ， 考 查 识 图 能 力 、 空 间 想 象 能 力 和 逻 辑 推 理 能 力 20（12 分）（2021.山东）某学校举办学问竞赛，第一轮选拔共设有a ，b，c，d 四个问题，规章如下： 每位参与者计分器的初始分均为10 分，答对问题 a ，b，c，d 分别加 1 分

28、， 2 分， 3 分，6 分，答错任意题减2 分；每答一题，计分器显示累计分数，当累积分数小于8 分时，答题终止，剔除出局；当累积分数大于或等于 14 分时，答题终止，进入下一轮；答完四题累计分数不足14 分时，答题终止剔除出局；每位参与者按a ，b，c，d 次序作答，直至答题终止假设甲同学对问题a ，b，c， d 回答正确的概率依次为，且各题回答正确与否相互之间没有影响（ ）求甲同学能进入下一轮的概率；（ ）用 表示甲同学本轮答题的个数，求的分布列和数学期望e【考点】离散型随机变量及其分布列；相互独立大事的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差【专题】 概率与统计【分析】（1）依据题意，列

29、举甲能进入下一轮的五种情形，由于每题答题结果相互独立，依据相互独立大事和互斥大事的概率公式得到结果细心整理（2）由题意可知答对一个题或答错一个题都不能打算甲的去留，所以最少答两个题，随机变量可能的取值为 2，3，4，由于每题的答题结构都是相对独立的，依据相互独立大事同时发生的概率得到结果【解答】 解：设 a ，b，c，d 分别是第一、二、三、四个问题，用m i（i=1 ， 2， 3，4）表示甲同学第 i 个问题回答正确，用 ni（i=1，2，3，4）表示第 i 个问题回答错误，就m i 与 ni （i=1，2，3，4）是对立大事由题意得，就（ ）记“甲同学能进入下一轮 ”为大事 q，就 q=m

30、 1m 2m 3+n1m 2m 3m 4+m 1 n2 m3 m4+m 1m 2n3m 4+n1m 2n3m 4由于每题答题结果相互独立，p（q） =p（m 1m2 m 3+n1m 2m 3m 4+m 1n2m 3m 4+m 1m 2n3m 4+n1m 2n3m 4）=p（m 1 m 2m 3）+p（ n1m 2m 3m 4）+p（m 1n2m 3m 4） +p（m 1m 2n3m 4）+p（ n1m 2 n3m 4 ）=（ ）由题意可知随机变量可能的取值为 2，3，4，由于每题的答题结果都是相对独立的，p（ =）4=1p（ =）2 p（ =）3=1 =【点评】此题主要考查离散型随机变量的分布

31、列和数学期望，考查相互独立立大事、 对立大事的概率和求解方法，考查用概率学问解决实际问题的才能21（12 分）（2021.山东）如图，已知椭圆=1（ab0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点f1，f2 为顶点的三角形的周长为4（+1），一等轴双曲线的顶点是该椭圆的 焦点，设 p 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线pf1 和 pf2 与椭圆的交点分别为a 、b 和 c、d（ ）求椭圆和双曲线的标准方程；（ ）设直线 pf1、pf2 的斜率分别为 k1、k2，证明 k1.k2=1；（ ）（此小题仅理科做）是否存在常数，使得|ab|+|cd|=|ab|.|cd恒|如不存在，请说明理由【考点

32、】 圆锥曲线的综合；直线与圆锥曲线的综合问题【专题】 圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范畴问题成立？如存在，求的值；【分析】（）由题意知，椭圆离心率为=，及椭圆的定义得到又2a+2c=，解方程组即可求得椭圆的方程，等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点可求得该双曲线的方程；（ ）设点 p（x0，y0），依据斜率公式求得k1、k2，把点 p（x0，y0）在双曲线上，即可证明结果；（ ）设直线 ab 的方程为 y=k（x+2），就可求出直线 cd 的方程为 y=（x2），联立直线和椭圆方程，利用韦达定理，即可求得|ab| ， |cd|，代入 |ab|+|cd|=|ab|.|cd，|求得 的值

33、细心整理【解答】 解：（ ）由题意知，椭圆离心率为=，得，又 2a+2c=，所以可解得， c=2，所以 b2=a2c2=4，所以椭圆的标准方程为；所以椭圆的焦点坐标为（±2，0），由于双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为（ ）设点 p（x0，y0），就 k1=，k2=，k1.k2=， 又点 p（x0， y0）在双曲线上，0，即 y02=x 2 4，k1.k2=1（ ）假设存在常数，使得得 |ab|+|cd|=|ab|.|cd恒|就由（ ii ）知 k1.k2=1，成立，设直线 ab 的方程为 y=k（ x+2），就直线 cd 的方程为 y=（x2），由方程组消 y 得：（ 2k2+1）x2+8k2x+8k28=0，设 a （x1，y1），b（ x2，y2），就由韦达定理得，ab=，同理可得 cd=，细心整理|ab|+|cd|= |ab|.|cd，|=，存在常数 =，使得 |ab|+|cd|= |ab|.|cd恒|成立【点评】此题考查了椭圆的定义、 离心率、椭圆与双曲线的标准方程、 直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了同学综合运用学问解决问题的才能其中问题（ iii ）是一个开放性问题，考查了同学们观看、推理以及制造性地分析问题、解决问题的