北师大版必修五通项公式的求法-叠加、叠乘、迭代递推、代数转化学案

1、2020-2021学年北师大版必修五通项公式的求法-已知数列的递推关系式求数列的通项公式的方法大约分为两类：一类是根掳前几项的 特点归纳猜想岀“的表达式，然后用数学归纳法证明：另一类是将已知递推关系，用代数 法、迭代法、换元法，或是转化为基本数列(等差或等比)的方法求通项.第一类方法要求 学生有一立的观察能力以及足够的结构经验，才能顺利完成，对学生要求高.第二类方法有 一泄的规律性，只需遵循其特有规律方可顺利求解.在教学中，我针对一些数列特有的规律 总结了一些求递推数列的通项公式的解题方法.、叠加相消.类型一：形如a”+|=s+f(n),其中fd)为关于”的多项式或指数形式(a”)或 可裂项成

2、差的分式形式.一一可移项后叠加相消.例1：已知数列a”,引=0,”WN+，a”+|=a“+ (2”一1),求通项公式a” .解：*.* ad+| -an4- ( 2n 1)/.a/t+1-an+ (2n1)a, a, =1、a, =3、.a”一&“_|二2”一3an- aj + Q?引)+(&3&2)+ (a“一a“_i)二0+l + 3+5 + (2n3)二丄1 + (2/J3)( n1)二(nl)z/1EN.2练习1：(1).已知数列“，G二1,朋N+，a,田二a”+3,求通项公式2.已知数列a”满足3 =3, - = 77(72 + 1), neN+,求a” .a

3、n - %二、叠乘相约.类型二：形如啦=/(/?).其中f (n)二曲+(pHO, mHO,b - c二km, kG an(mn + cY或(RHO)或 4 二km ( & H 0, Q0, ( n+1) a卄一刀a”二 +田 二0,求a”心=以竺Xd = lx=.x4x-xlxl=丄%2%122H练习2：已知数列an满足二-an(nENX), Sw是a的前力项和，衍丸求2已知数列“满足“+产3岂(底),且a,=l,求三.逐层迭代递推.类型三：形如a卄产f()，其中f(aH)是关于a”的函数.一一需逐层迭代、细心寻 找其中规律.例3：已知数列an,引二1,用N+，田二2+3 =求通项公

4、式“解:6=2叫-|+3円=2(2 a”+3 )+3丹二2:(2 -3+3小)+2 3心+3円. .=2(2引+3)+2小3：+2 3+2小3”+23小+2 3“+3心练习3:(1).若数列“中，引二3,且6田=(nGN+),求通项s已知数列a的前力项和满足S厂2“+(-1), nGN+,求通项四、运用代数方法变形，转化为基本数列求解.类型四：形如anan+l= pa + qan,(以H 0).且an0的数列,可通过倒数变形为基本数列问题.当P二一q时，则有：-=丄转化为等差数列: 绻p当pH q时，则有： 丄 =-，_ +丄.同类型五转化为等比数列. 仏IP5 P例4：若数列“中，引二1,

5、S+广上卷 用N-求通项s解：T (刀+1) an+1 n田&”二0/. (n+1) an+1“+1_皿“(5+1 +%)= 0.rri3+2曰3亠+才3心+3=2小+2心 3 +2irZ2 + 2解：Q =2小心+2又q = 1 0, /. an 0 ,-1 11-1 1 1 1t%2机心25.数列曰是首项为1,公差为*的等差数列. 丄二1 + 2 S一1) 6 广心十an27 nn +12x3练习4：已知f (n)二数列 “满足引二1, a-f (a.),求3 + x2类型五：形如a”+=pa”+ q , pqHO , p、q为常数.当P =1时，为等差数列：当p =1时，可在两边

6、同时加上同一个数北，即 6 汁+x二pan+Q+ xzg + x、A=&卄+%P(S+),令g + x X一- X二一时,有a时+x = p(an+ x ) PP”-1从而转化为等比数列“+q求解.“-1例5：已知数列“中,引二1,1二-a;r-l+L用1、2、3、，求通项a”.解：丁a = 4 3.+ 1 = a,1 ,2 =-(6-2)又Ta 2二-1工0 :.数列a”一2首项为-1,公比为的等比数列./. a 2 - -1X()，1即a二2 2力GN十/!2”宁练习5：(1).已知 6 二1,二2 a,i+ 3 G二2、3、4),求数列a“的通项.1c(2).已知数列满足引二一，

7、s+产一求2山+1类型六：形如a”+严pa”+ f S), pHO且p为常数，f(为关于n的函数.当p =1时，则a卄|=s+ f (n)即类型一.当p H1时，fS)为关于刀的多项式或指数形式()或指数和多项式的混合形式.（1）若f （n）为关于刀的多项式（f （n）二kn + b或如 +加+c, k、b、c为常数）, 可用待泄系数法转化为等比数列.例6：己知数列atl满足引二1, a;f+I= 2an+n , nEN+求a”解：令aw+| + xa(n+l)；+ b(n+l)+ c = 2(an+ an + bn + o)1a =-2xP = 1h = 令- =1得： h = 22-xc

8、= 3 ax + bxc =-2-x.*+ (/T+1)2+2(n+1) + 3二2(E”+ n +2n + 3) T a+1+2X 1+3 = 7令號二an2+2n + 3则號利二2bnb、二7数列 “为首项为7,公比为2徳等比数列 bf= 7X即a/f+ n2+2jj + 3 = 7X 2曲 :.二7X 2/,H- ( n2+2n + 3 ) nEN+若fS）为关于刀的指数形式（/）1当P不等于底数a时，可转化为等比数列；2当P等于底数a时，可转化为等差数列.例7：（同例3）若引二1,s 二2-】+（n二2、3. 4），求数列的通项S 解：丁a”二2 a”_i+ 3T/.令a”+ -Y =

9、 -1/ an 3= 2(a,L3T)又T a】一3二- 2数列 3”是首项为-2,公比为2的等比数列.心 一3“二-2 2心即6二3”-2”胆N十即 6+ =2 an+ (2a - ax) n + (2b -2axbx) n +2c - ax - bx - ex比较系数得:2a ox = 12c - ax-bx- ex = 0例8：数列5中，5二5且S=3T+ 3-1（n = 2、3、4）试求通项a”解：a“二3a”_+ 3-1 = a”一* =3（如 一*） + 3, -+1是公差为1的等差数列.33心3W5_= _=- +（/2 - 1） = - +（朴一1） = n *13“332=a

10、”= （“ + *）x3+*用*+若fS）为关于/2的多项式和指数形式（/ ）的混合式，则先转换多项式形式在转换 指数形式.例如上而的例8练习6:（1）.已知数列“中 6 二1,6田二3 s+ n ,応N+；求牯的通项.设为常数，且 s 二3T一2（nGN+且力3 2 ）.证明：对任意”A 1, an= - 3fl+ （-l），-,2dl +（-l）z，2%0.类型七：形如 盼2二P&间+q an（阳H 0, p、Q为常数且p?+ 4q 0）可用 待定系数法转化为等比数列.例9：已知数列“中引二1,乜二2且色+2=5+|+2色“+；求“的通项.令“岳r -2二0 6二1或-2U x二1

11、时，a卄2 + a”+二2（6田 +a”）从lilj a? +引二1 + 2 = 3数列6出+是首项为3且公比为2的等比数列.当* 二2时，a卄2 2&卄二 （s+i - 2“）, 1何&2 2引二06汁】一2%二0.由、得：a”=2T, neN+练习7：已知：引二2, a?二，+2=n+i一 彳d”，（n二1、2、3、.）， 求数列 an解：令6+2+%+产（1+x）S+1+2S聲二3x2已知数列：1、1、2、3、5、8、13、，根据规律求出该数列的通项.五、数列的简单应用例10:设棋子在正四而体ABCD的表面从一个顶点移向另外三个顶点时等可能的现抛掷 骰子根据其点数决怎棋子

12、是否移动，若投岀的点数是奇数,则棋子不动：若投岀的点数是偶 数，棋子移动到另外一个顶点若棋子初始位置在顶点A,则:投了三次骰子，棋子恰巧在顶点B的槪率是多少？投了四次骰子，棋子都不在顶点B的槪率是多少？投了四次骰子，棋子才到达顶点B的概率是多少？分析：考虑最后一次投骰子分为两种情况1最后一次棋子动：最后一次棋子不动.解：事件投一次骰子棋子不动的概率为丄；事件投一次骰子棋子动且到达顶点B的2概率为丄x丄=236(1).投了三次骰子，棋子恰巧在顶点B分为两种情况最后一次棋子不动，即前一次棋子恰任顶点B：最后一次棋子动，且棋子移 动到B点.设投了， 次骰子.棋子恰好在顶点B的概率为则棋子不在顶点B的

13、概率为(1-p.).所 以，投了丹1次骰子，棋子恰好在顶点B的槪率：=PiX丄+(l-p )X丄2 = 1. 2.2 63、4.11v_ 11 _ 1_2_13*P/+,=6+3P，P，_2X3=6P29*P3 =54(2).投了四次骰子，棋子都不在顶点B,说明前几次棋子都不在B点，应分为两种情况最后一次棋子不动；最后一次棋子动，且不到B点.设投了i次骰子，棋子都不在顶点B的概率为/;；,则投了Y+1次骰子，棋子都不在顶点B的概率为：p；+i= P；X + /? X X (1 - )2 = 1 x 2、3、4、. 即：p9M= p2236又: p=丄 +丄X(1丄)=-P；= (-)4的通项.

14、D2 2366.投了四次骰子， 棋子才到达顶点B：说明前三次棋子都不在B点，最后一次棋子动且 到达顶点B.设其概率为F则:答：（略）例11：用砖砌墙，第一层（底层）用去了全部砖块的一半多一块：第二层用去了剩下 的一半多一块，依次类推，每层都用去了上层剩下的一半多一块如果第九层恰好砖块 用完，那么一共用了多少块砖？分析：本题国绕两个量即每层的砖块数 6 和剩下的砖块数,关键是找出a：和的 关系式，通过方程（组）求解.解：设第，层所用的砖块数为 6,剩下的砖块数为（2 = 1. 2、3. 4、）则列二0,且设久为全部的砖块数，依题意,3 I ba + 19 c! b + 1,2 - 2即bi2bi

15、_ 1.切+ 2二*（T+ 2） A如+2 = （*）9（如+2 ）如+2二2X29如二1022练习8：十级台阶，可以一步上一级，也可以一步上两级；问上完十级台阶有多少种不同 走法?（2）.三角形内有个点，由这力个点和三角形的三个顶点，这刀+3个点可以组成 多少个不重叠（任意两个三角形无重叠部分）的三角形？（3）.甲、乙、丙、丁四人传球，球从一人手中传向另外三个人是等可能的若开始时球在甲的手中.若传了 次球，球在甲手中的概率为“；球在乙手中的槪率为乞（门二1、2、3、4、）.问传了五次球，球恰巧传到甲手中的槪率“和乙手中的概率比分别是多少?2若传了刀次球，试比较球在甲手中的槪率 s 与球在乙手中的概率匕的大小.3传球次数无限多时，球在谁手中的概率大?黑;哈（|宀1251296联立得5_厂6二g bf_j + 1参考答案练习1：(1). a=L (3-1)(2). a练习2：(1). a”二力-1(2). “2n练习3：(1).二彳才1(提示可两边取对数).r 22+ (-l)T332”T练习4：a”二练习5：(1) a = 2/r+,-3(2)s二 一“ /Z + 2”n2宀+1练习6：可得和+丄(卅1) +丄二3( +ln +丄