高二人教版数学选修11练习：3章试卷 Word版含答案

1、起一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分)1一个物体的运动方程为 s1tt2其中 s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在 3秒末的瞬时速度是(c)a7 米/秒b6 米/秒c5 米/秒d8 米/秒解析：根据瞬间速度的意义，可得 3 s 末的瞬时速度是 vs|t3（12t）|t35.2在(a，b)内 f(x)0 是 f(x)在(a，b)内单调递增的(c)a充要条件b必要不充分条件c充分不必要条件d既不充分也不必要条件解析：该题一般都认为是选 a，依照教科书上的结论： “一般地，设函数 yf(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内 y0，那么 yf(x)为这个区间内的增

2、函数；如果在这个区间内 y0bm1dm0，若 yexmx 有极值则必须使 y图象有正有负，故m0)上横坐标为 1 的点的切线方程为(b)a3xy10b3xy50cxy10dxy10解析：yx22x（x1）x4x22xx4，该切线的斜率 ky|x13.故所求的切线方程为y23(x1)，即 3xy50，故选 b.7f(x)是 f(x)的导函数，f(x)的图象如下图所示，则 f(x)的图象只可能是(d)解析：如题图可知，f(x)在前半段递增，后半段递减，这表明 f(x)先递增幅度大，后递增幅度小.8若曲线 yx4的一条切线 l 与直线 x4y80 垂直，则 l 的方程为(a)a4xy30bx4y50

3、c4xy30dx4y30解析：与直线 x4y80 垂直的直线 l 为 4xym0，即 yx4在某一点的导数为 4，而 y4x3，所以 yx4在(1，1)处导数为 4，此点的切线为 4xy30.9点 p 在曲线 yx3x23上移动，在点 p 处的切线的倾斜角为，则的取值范围是(b)a.0，2b.0，2 34，c.34，d.0，2 2，34解析：曲线切线的斜率等于曲线该点处的导数值ktan 3x211，解得0，2 34，.10设 f(x)，g(x)分别是定义在 r 上的奇函数和偶函数，当 x0 时，f(x)g(x)f(x)g(x)0，且 g(3)0，则不等式 f(x)g(x)0 的解集是(d)a(

4、3，0)(3，)b(3，0)(0，3)c(，3)(3，)d(，3)(0，3)解析：当 x0 时，f(x)g(x)f(x)g(x)0，即f(x)g(x)0，当 x0 时，f(x)g(x)为增函数，又 g(x)是偶函数且 g(3)0，g(3)0，f(3)g(3)0 故当 x3 时，f(x)g(x)0；由于 f(x)g(x)是奇函数，当 x0 时， f(x)g(x)为增函数，且 f(3)g(3)0，故当 0 x3 时，f(x)g(x)0.二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)11已知直线 xy10 与抛物线 yax2相切，则 a_解析：直线 xy10 与抛物线 yax2相切，

5、将 yx1 代入抛物线方程得 ax2x10，14a0，则 a14.答案：14点评：本题亦可利用导数的几何意义求解，但解题过程较长12已知函数 f(x)ax33x2x1 在区间(，)上是减函数，则实数 a 的取值范围是_解析：依题意，f(x)3ax26x10 在 r 上恒成立，则a0，6243a0，a3.答案：(，313化简：f(x)f3 sin xcos x_解析：f(x)f3 cos xsin x，f3 f3 cos3sin3，解得 f3 3，于是 f(x) 3sin xcos x2sinx6 .答案：2sinx614如果函数 yf(x)的导函数的图象如下图所示，给出下列判断：(1)函数 y

6、f(x)在区间(3，5)内单调递增；(2)函数 yf(x)在区间12，3内单调递减；(3)函数 yf(x)在区间(3，2)内单调递增；(4)当 x12时，函数 yf(x)有极大值；(5)当 x2 时，函数 yf(x)有极小值则上述判断中正确的序号是_解析：依据导数与单调性的关系可知(3)成立答案：(3)三、解答题(本大题共 6 小题，共 80 分)15 (2013韶关二模)(12 分)设函数 f(x)ax3(ab)x2bxc， 其中 a0， b、 cr， 若 f130，求 f(x)的单调区间解析： (1)由 f13 0，得 ab.故 f(x)ax32ax2axc.由 f(x)a(3x24x1)

7、0，得 x113，x21.列表：由表可得，函数 f(x)的单调递增区间是，13 及(1，)，单调递减区间是13，1.16(12 分)某租赁公司拥有汽车 100 辆当每辆的月租金为 2 000 元时，可全部租出当每辆车的月租金每增加 50 元时， 未租出的车将会增加 1 辆， 租出的车每辆每月需要维护费 150元，未租出的车每辆每月需要维护费 50 元(1)当每辆车的月租金定为 2 800 元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解析：(1) 当每辆车的月租金定为 2 800 元时，未租出的车辆为2 8002 0005016，所以，这时租

8、出的车为 84 辆(2)设未租出车的有 x 辆， 租赁公司的月收益为 y 元， 则每辆车的月租金为(2 00050 x)元，由题意得，y(2 00050 x)(100 x)150(100 x)50 x，即 y50 x23 100 x185 000，则y100 x3 100，由 y0，得 x31.因为函数只有一个极值点，所以 x31 为所求所以当每辆车车月租金定为 3 550 元时，租赁公司月收益最大，为 233 050 元17(14 分)已知函数 f(x)x3ax2bxc 在 x2 处有极值，其图象在 x1 处的切线平行于直线 y3x2，试求函数的极大值与极小值的差解析：f(x)3x22axb

9、.因为 f(x)在 x2 处有极值，所以 f(2)0，即 124ab0.因为 f(1)3，所以 2ab33.由，得 a3，b0.所以 f(x)x33x2c.令 f(x)3x26x0，得 x10，x22.当 x(，0)(2，)时，f(x)0；当 x(0，2)时，f(x)0，所以 f(0)是极大值，f(2)是极小值，所以 f(0)f(2)4.18(14 分)设函数 f(x)2x33(a1)x26ax8，其中 ar.(1)若 f(x)在 x3 处取得极值，求常数 a 的值(2)若 f(x)在(，0)上为增函数，求 a 的取值范围解析：(1)f(x)6x26(a1)x6a6(xa)(x1)因为 f(x

10、)在 x3 处取得极值，所以 f(3)6(3a)(31)0，解得 a3.经检验知，当 a3 时，x3 为 f(x)的极值点(2)令 f(x)6(xa)(x1)0，解得 x1a，x21.当 a1 时，若 x(，a)(1，)，则 f(x)0，所以 f(x)在(，a)和(1，)上为增函数，故当 0a1 时，f(x)在(，0)上为增函数；当 a1 时，若 x(，1)(a，)，则 f(x)0，所以 f(x)在(，1)和(a，)上为增函数，所以 f(x)在(，0)上为增函数综上所述，当 a0，)时，f(x)在(，0)上为增函数19(14 分) 已知函数 f(x)6ln x(x0)和 g(x)ax28xb(

11、a，b 为常数)的图象在 x3 处有公共切线(1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)f(x)g(x)的极大值和极小值；(3)若关于 x 的方程 f(x)g(x)有且只有 3 个不同的实数解，求 b 的取值范围解析：(1)因 f(x)6x，g(x)2ax8，依题意，得f(3)g(3)，解得 a1.(2)f(x)f(x)g(x)6ln xx28xb.则 f(x)6x2x80，得 x1 或 x3.当 0 x1 时，f(x)0，f(x)单调递增；当 1x3 时，f(x)0，f(x)单调递减；当 x3 时，f(x)0，f(x)单调递增f(x)的极大值为 f(1)b7；f(x)的极小值为 f(3)b15

12、6ln 3.(3)根据题意，f(x)f(x)g(x)6ln xx28xb 的图象应与 x 轴有三个公共点即方程f(x)g(x)有且只有 3 个不同的实数解的充要条件为f（1）0，f（3）0.解得 7b156ln 3.b 的取值范围为(7，156ln 3)20(14 分)设函数 f(x)13x32ax23a2xb(常数 a，b 满足 0a23时，f(x)0；当 cos x23时，f(x)0；当 cos x”、“”、 “”)解析：曲线 yh(x)在点 p(a，h(a)处的切线的斜率为 h(a)，而已知切线方程为 2xy10，即斜率为2，故 h(a)2，h(a)0.答案：16 已知函数 f(x)3x

13、ax2在区间(2， )上单调递减， 则实数 a 的取值范围是_解析：由题可知，函数 f(x)3xax2在区间(2，)上单调递减，所以其导函数 f(x)3（x2）（3xa）（x2）26a（x2）2在(2，)上小于零，解得 a6.答案：(6，)三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10 分)求函数 f(x)x33x26x2，x1，1的最值解析：f(x)3x26x63(x22x2)3(x1)230，f(x)在1，1内恒大于 0，f(x)在1，1上为增函数故 x1 时，f(x)min12；x1 时，f(x)max2.即 f(x)的最小值为12

14、，最大值为 2.18(12 分)已知曲线 f(x)x3x2x3 在 x1 处的切线恰好与抛物线 y22px(p0)相切，求抛物线方程和抛物线上的切点坐标解析：f(1)2，曲线 yf(x)上的切点为 a(1，2)f(x)3x22x1，f(1)2.切线方程为 y22(x1)，即 y2x4.设抛物线上的切点为 b(x0，y0)，显然抛物线上的切点在抛物线的上支抛物线上支的方程为 y 2px，则 y2p2 x，y|xx02p2 x02，得 p8x0.又点 b 在切线上， 2px02x04.由求得 p16，x02，y08.故所求抛物线方程为 y232x，所求的切点为(2，8)19(12 分)设函数 f(

15、x)x3ax2bxc 在 x1 处取得极值2，试用 c 表示 a 和 b，并求f(x)的单调区间解析：依题意有 f(1)2，f(1)0，而 f(x)3x22axb，故1abc2，32ab0，解得ac，b2c3.从而 f(x)3x22cx(2c3)(3x2c3)(x1)令 f(x)0，得 x1 或 x2c33.由于 f(x)在 x1 处取得极值，故2c331，即 c3.(1)若2c333，则当 x，2c33时，f(x)0；当 x2c33，1时，f(x)0；当 x(1，)时，f(x)0.从而 f(x)的单调增区间为，2c33和1，)；单调减区间为2c33，1.(2)若2c331，即 c3，同上可得

16、，f(x)的单调增区间为(，1，2c33，；单调减区间为1，2c33.20(12 分)已知函数 f(x)23xx23ax92 (ar)(1)若函数 f(x)图象上点 p(1，m)处的切线方程为 3xyb0，求 m 的值；(2)若函数 f(x)在(1，2)内是增函数，求 a 的取值范围解析：(1)f(x)23x32ax23x，f(x)2x24ax3.则过 p(1，m)的切线斜率为kf(1)14a.又切线方程为 3xyb0，14a3.即 a1.f(x)23x32x23x.p(1，m)在 f(x)的图象上，m13.(2)函数 f(x)在(1，2)内是增函数，f(x)2x24ax30 对于一切 x(1

17、，2)恒成立，即 4ax2x23，ax234x，由于x234x在(1，2)上单调递增，x234x14，58 ，即 a14.a 的取值范围是，14 .21(12 分)已知函数 f(x)13x3a22x22ax3，g(a)16a35a7.(1)a1 时，求函数 f(x)的单调递增区间；(2)若函数 f(x)在区间2，0上不单调，且 x2，0时，不等式 f(x)g(a)恒成立，求实数 a 的取值范围解析：(1)当 a1 时，f(x)13x312x22x3，定义域为 r，f(x)x2x2(x2)(x1)令 f(x)0，得 x1，或 x2.所以函数 f(x)的单调递增区间是(，1)，(2，)(2)f(x

18、)x2(a2)x2a(xa)(x2)令 f(x)0，得 x2，或 xa.函数 f(x)在区间2，0上不单调，a(2，0)，即 0a2.又在(2，a)上，f(x)0，在(a，0)上，f(x)0，当 x 变化时，f(x)与 f(x)的变化情况如下表：f(x)在2，0上有唯一的极大值点 xa.f(x)在2，0上的最大值为 f(a)当 x2，0时，不等式 f(x)g(a)恒成立，等价于 f(a)g(a)13a3a22a22a23g(a)16a3a2316a35a7.a25a40，解得 1a4.综上所述，a 的取值范围是(1，2)22(12 分)已知函数 f(x)12x2aln x(ar)(1)求 f(

19、x)的单调区间；(2)当 x1 时，12x2ln x23x3是否恒成立，并说明理由解析：(1)f(x)的定义域为(0，)，由题意得 f(x)xax(x0)，当 a0 时，f(x)的单调递增区间为(0，)当 a0 时，f(x)xaxx2ax（x a） （x a）x.当 0 x a时，f(x)0，当 x a，f(x)0.当 a0 时，函数 f(x)的单调递增区间为( a，)，单调递减区间为(0， a)(2)设 g(x)23x312x2ln x(x1)则 g(x)2x2x1x.当 x1 时，g(x)（x1） （2x2x1）x0，g(x)在(1，)上是增函数g(x)g(1)160.即23x312x2l

20、n x0，12x2ln x23x3，故当 x1 时，12x2ln x23x3恒成立一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1. 0 x1 是 0 x21 的(a)a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件解析：若 0 x1，则 0 x21；若 0 x21，则 0 x1 或1x0，所以 0 x1 是 0 x21 的充分不必要条件2双曲线x22y241 的渐近线方程为(a)ay 2xbx 2ycy22xdx22y解析：渐近线方程为yx22，即 y 2x.3曲线 f(x)x3x2 在 p0处的切线平行于直线

21、y4x1，则点 p0的坐标为(c)a(1，0)b(2，8)c(1，0)或(1，4)d(2，8)或(1，4)解析：设点 p0的坐标为(x0，y0)，依题意可得，f（x0）y0，f（x0）4，即x30 x02y0，3x2014，解得，x01，y00，或者 x01，y04.即 p0的坐标为(1，0)或(1，4)4在一椭圆中以焦点 f1、f2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两顶点，则此椭圆的离心率 e 等于(b)a.12b.22c.32d.25解析：由已知有 bc，eca22.5函数 f(x)13x3ax1 在(，1)上为增函数，(1，1)上为减函数，则 f(1)的值为(a)a.13b1c.73d1解析

22、：依题意，f(1)0，又 f(x)x2a，a1，即 f(x)13x3x1，则 f(1)13.6命题“xr，x22x40”的否定为(b)axr，x22x40bx0r，x202x040cxr，x22x40dx0r，x202x040解析：因为全称命题的否定是特称命题7如右图所示，过抛物线 y22px(p0)的焦点 f 的直线交抛物线于点 a、b，交其准线 l于点 c，若|bc|2|bf|，且|af|3，则此抛物线的方程为(b)ay232xby23xcy292xdy29x解析：如下图所示，过点 a，b 分别作 aml，bnl，垂足分别为 m，n.设准线与 x 轴的交点为 e，则|am|af|3，|bn

23、|bf|12|bc|，于是，bcn30，所以，|ac|6，即点 f 为 ac 的中点，所以 cf3，因而 p|ef|32，得到抛物线的方程是y23x.8已知函数 f(x)的导数为 f(x)4x34x，且图象过点(0，5)，当函数 f(x)取得极大值5 时，x 的值应为(d)a1b1c1d0解析：依题意可设 f(x)x42x2c，易知 c5.令 f(x)4x34x0，得 x0，1，可以证明，当 f(x)取得极大值5 时，x0.9椭圆 m：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 f1、f2，p 为椭圆 m 上任一点，且|pf1|pf2|的最大值的取值范围是2c2，3c2，其中 c a2b2

24、，则椭圆 m 的离心率 e 的取值范围是(a)a.33，22b.22，1c.33，1d.32，22解析：因为|pf1|pf2|pf1|pf2|22a2，依题意，得 2c2a23c2，解得，33e22.10设 f(x)，g(x)是定义在 r 上的恒大于零的可导函数，且满足 f(x)g(x)f(x)g(x)0，则当 axb 时有(b)af(x)g(x)f(b)g(b)bf(x)g(a)f(a)g(x)cf(x)g(b)f(b)g(x)df(x)g(x)f(a)g(a)解析：由 f(x)g(x)f(x)g(x)0 得，f（x）g（x）f（x）g（x）g（x）20，即f（x）g（x） 0，则函数f（x

25、）g（x）在区间(a，b)上递增，所以f（a）g（a）f（x）g（x）f（b）g（b），即 f(x)g(a)f(a)g(x)11设 p 是椭圆x29y241 上一点，f1，f2是椭圆的两个焦点，则 cosf1pf2的最小值是(a)a19b1c.19d.12解析：由椭圆方程 a3，b2，c 5，cosf1pf2|pf1|2|pf2|2|f1f2|22|pf1|pf2|（|pf1|pf2|）2|f1f2|22|pf1|pf2|2|pf1|pf2|（2a）2（2c）22|pf1|pf2|2|pf1|pf2|162|pf1|pf2|1.|pf1|pf2|pf1|pf2|229，cosf1pf21629

26、119，故选 a.12已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 f1，f2，p 是直线 l：xa2c(c2a2b2)上一点，且 pf1pf2，|pf1|pf2|4ab，则双曲线的离心率是(b)a. 2b. 3c2d3解析：设直线 l 与 x 轴交于点 a，在 rtpf1f2中，有|pf1|pf2|f1f2|pa|，则|pa|2abc，又|pa|2|f1a|f2a|，则4a2b2c2ca2c ca2c c4a4c2，即 4a2b2b2(c2a2)，即 3a2c2，从而 eca 3.选 b.二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分将正确答案填在题中的横线上)

27、13椭圆 4x2y264 的焦点坐标为_，离心率为_解析：将椭圆方程 4x2y264 化为标准方程y264x2161，得 a8，b4，c a2b24 3，焦点坐标为(0，4 3)，(0，4 3)，离心率 eca32.答案：(0，4 3)，(0，4 3)3214函数 f(x)2x33x212x5 在0，3上最大值为_，最小值为_解析：由 f(x)6x26x120 得，x2 或 x1(舍去)因为 f(0)5，f(2)15，f(3)4，所以，f(x)maxf(0)5，f(x)minf(2)15.答案：51515双曲线的中心在坐标原点，离心率等于 2，一个焦点的坐标为(2，0)，则此双曲线的方程是_解

28、析：由于 c2，ca2，所以，a1，b 3，则 x2y231.答案：x2y23116设 mz，nz，有四个命题：(1)n，n2n；(2)n，n2n；(3)n，m，m2n；(4)n，m，mnm.其中真命题的序号是_(把你认为符合的命题序号都填上)解析：通过举反例可以否定(2)、(3)；对于(1)，分 n0，n0，即可证明；对于(4)，存在n1.所以，填(1)、(4)答案：(1)(4)三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10 分)已知命题 p：方程x22y2m1 表示焦点在 y 轴上的椭圆；命题 q：f(x)43x32mx2(4m3)x

29、m 在(，)上单调递增若(綈 p)q 为真，求 m 得取值范围解析：p 真时，m2.q 真时，f(x)4x24mx4m30 在 r 上恒成立16m216(4m3)0，1m3.(綈 p)q 为真，p 假，q 真m2，1m3，即 1m2.m 的取值范围为1，218(12 分)已知抛物线 yax2bxc 过点(1，1)，且在点(2，1)处与直线 yx3 相切，求 a，b，c 的值解析：本题涉及了 3 个未知量，由题意可列出三个方程即可求解yax2bxc 过点(1，1)，abc1.又在点(2，1)处与直线 yx3 相切，4a2bc1.y2axb，且 k1.ky|x24ab1，联立方程得a3，b11，c

30、9.19(12 分)已知函数 f(x)ln x，g(x)ax(a0)，设 f(x)f(x)g(x)(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)若以函数 yf(x)(x(0， 3)图象上任意一点 p(x0， y0)为切点的切线的斜率 k12恒成立，求实数 a 的最小值解析：(1)f(x)f(x)g(x)ln xax(a0)，则 f(x)1xax2xax2(x0)，a0，由 f(x)0，得 x(a，)，f(x)在(a，)上单调递增；由 f(x)0，得 x(0，a)，f(x)在(0，a)上单调递减f(x)的单调递减区间为(0，a)，单调递增区间为(a，)(2)由(1)知 f(x)xax2(0 x3)，则

31、 kf(x0)x0ax2012(0 x03)恒成立，即 a12x20 x0max，当 x01 时，12x20 x0取得最大值12，a12，amax12.20(12 分)设函数 f(x)x33x2 分别在 x1、x2处取得极小值、极大值xoy 平面上点a、b 的坐标分别为(x1，f(x1)、(x2，f(x2)，该平面上动点 p 满足papb4，点 q 是点 p 关于直线 y2(x4)的对称点(1)求点 a、b 的坐标；(2)求动点 q 的轨迹方程解析：(1)令 f(x)(x33x2)3x230，解得 x1 或 x1，当 x1 时，f(x)0；当1x1 时，f(x)0；当 x1 时，f(x)0.所以，函数在 x1 处取得极小值，在 x1 取得极大值，故 x11，x21，f(1)0，f(1)4，所以， 点 a、b 的坐标为 a(1，0)，b(1，4)