年高考数学专题复习之转化与化归思想

1、转化与化归思想【思想方法诠释】数学问题的解答离不开转化与化归，它既是一种数学思想，又是一种数学才能，是高考重点考查的最重要的思想方法在高中数学的学习中，它无个不在，比如：处理立体几何问题时，将空间问题转化到一个平面上解决； 在解析几何中， 通过建立坐标系将几何问题化归为代数问题；复数问题化归为实数问题等1转化与化归的原就（ 1）目标简洁化原就：将复杂的问题向简洁的问题转化（ 2）和谐统一性原就：即化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐，在量、形关系上趋于统一的方向进行，使问题的条件和结论更匀称和恰当（ 3）详细化原就：即化归言论自由应由抽象到详细（ 4）低层次原就：即将高维空间问题化归成低

2、维空间问题（ 5）正难就反原就：即当问题正面争论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解2转化与化归常用到的方法（ 1）直接转化法：把问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题（ 2）换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题（ 3）数形结合法：争论原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过相互变换获得转化途径（ 4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题（ 5）坐标法：以坐标系为工具，用运算方法解决几何问题，是转化方法的一个重要途径（ 6）类比法：运用类比推理，

3、推测问题的结论，易于确定转化途径（ 7）特别化方法：把原问题的形式向特别化形式转化，并证明特别化后的结论适合原问题（ 8）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的（ 9）加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即命题的结论加强为原命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，比如在证明不等式时：原命题往往难以得证，这经常把结论加强，使之成为原命题的充分条件，从而易证（ 10）补集法：假如下面解决原问题有困难，可把原问题结果看作集合a ，而包含该问题的整体问题的结果类比为全集u ，通过解决全集u 及补集使原问题得以解决2021 高考数学专

4、题复习（成都七中内部资料）第 1 页 共 25 页【核心要点突破】核心考点1：函数、方程、不等式之间的转化例 1： 已知函数fx=x 2+2x+alnx 函数 fx 在区间 0， 1 上为单调增函数，求实数a 的取值范畴思路精析： 单调增函数不等式恒成立分别参数求函数最值实数a 的范畴解析： fx 在区间 0， 1 上为单调增函数f x 0 在0， 1 上恒成立2亦即： a -2x+2x在0， 1上恒成立，又在0， 1 上为单调递减，当 a 0 时， fx 在区间 0， 1 上为单调增函数注： 函数与方程、不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮忙，解决函数的问题 需要方程，

5、不等式的帮忙，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系化为最值（值域）问题，从而求出参变量的范畴变式训练1：（1）已知函数, 满意33251,33255 ，求 a的值；（ 2）关于 x 的方程sin 2 xcos xa0 在 0，内有解，求a 的取值范畴；3解析：（ 1）构造函数f xx33x25xx132x13,就 有 f 1, f 5. 又 g t t2t 在 r上是单调递增的奇函数，且g 1f 32. g1f 32,故 g 1g1g 1112 ；（2）分析：此题就直接解三角方程再确定a 的范畴，简直难以下手，并且繁琐无比，但如转化为求 acos 2

6、xcos x1cos x1 225 在 x 0，4 的取值范畴，问题就简洁易解，通过简洁的运算，很快得到了a 的取值范畴是5，1 ；42例 2：（浙江卷）设函数f （x） 3ax +2bx+c，如 a+b+c=0， f （ 0）f （ 1） >0，求证：2021 高考数学专题复习（成都七中内部资料）第 2 页 共 25 页（）方程 f（ x） 0 有实数根； （）<-1 ；（）设x1，x2是方程f（x）的两个实根，就<.2021 高考数学专题复习（成都七中内部资料）第 3 页 共 25 页思路分析：对于（），应第一看系数3a 是否为 0.2如 a=0，就 b=-c ， f （

7、） f （） c（ a+2b+c） = c 0，与已知冲突，所以a0.从而有对于（），结论 等价于（+1 ）2021 高考数学专题复习（成都七中内部资料）第 4 页 共 25 页2（） . 故由条件中消去c，有（ a+b）（ 2a+b） <0，除以 a 即可 .对于（） ，应将转化为关于的表达式，即2021 高考数学专题复习（成都七中内部资料）第 5 页 共 25 页，再利用（）的结论求解.【点评】此题有效地将二次函数，二次方程，二次不等式融于一题，三问层层递进. （）、（）两问的证明均需我们盯住解题目标在条件与结论之间进行有效地转化与化归以寻求沟通点.变式训练1： （江苏卷）设a为实数

8、，设函数f（x）a+的 最大值为 g（ a） .2021 高考数学专题复习（成都七中内部资料）第 6 页 共 25 页（）设t=，求 t 的取值范畴，并把f （ x）表示为 t 的函数 m（t ）；（）求g（ a）；（）求满意g（a） g（）的全部实数a.思路分析：2021 高考数学专题复习（成都七中内部资料）第 7 页 共 25 页（） .， 要使 t 有意义，必需1+x0且 1- x0，即 - 1x1.t的 取 值 范 围 是 ， . 由 得2021 高考数学专题复习（成都七中内部资料）第 8 页 共 25 页cos - sin +cos=2cos，2021 高考数学专题复习（成都七中内部

9、资料）第 9 页 共 25 页由于所以， 即 t ，2， f （ x） acos2+t.又t2021 高考数学专题复习 （成都七中内部资料）第 10 页 共 25 页223. 令就 t=m+n， m +n =2，由数形结合可得t ， . 从而求出m（ t ）的解析式 . （）、（）略 .【点评】此题表面看是与无理函数有关的一个综合性的分步设问的问题，主要考查函数、方程等基2021 高考数学专题复习 （成都七中内部资料）第 11 页 共 25 页本学问，试题的设置事实上也给出了处理结构较复杂函数f （x ）的基本思路，只要经过换元很简洁转化为常规的二次函数问题，其中的分类争论对同学思维的周密性考

10、查得力，具有很大的区分度.此题（）中三种思路分别利用代数换元、三角换元以及数形结合将问题进行了转化与化归从而求得了 t 的取值范畴以及m（ t ）的解析式 .核心考点2：正面与反面的转化例 3：有 9 张卡片分别写着数字1，2，3，4， 5，6，7，8，9，甲、乙二人依次从中抽取一张卡片（不放回），试求：（ 1）甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的概率（ 2）甲、乙二人至少抽到一张奇数数字卡片的概率思路精析：（ 1）甲、乙二人依次各抽一张的可能结果甲抽到含奇数，乙抽到含偶数数字卡片的结果求概率（ 2）找对立大事求对立大事概率求出原大事概率解答：（ 1）甲、乙二人依次从九张卡片中各

11、抽取一张的可能结果有，甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的结果有种，设甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的概率为p1，就（ 2）设甲、乙二人至少抽到一张奇数数字的概率为p2，甲、乙二人至少抽到一张奇数数字卡片的对 立大事为两人均抽到写有偶数数字卡片设为，就注： 一般地，一个题目如显现多种成立的情形，就不成立的情形一般较少，宜从反而考虑，多使用于 “至多”“至少”这种情形例 4：（全国卷第15 题）：在由数字0 ， 1， 2， 3 ， 4， 5 所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5 整除的数共有个；a分析： 不能被5 整除的数要分类争论，情形较多， 这时我们不妨换

12、一个角度，从反面入手考虑；留意到不能被5 整除实质上是末位数字不是0，也不是5 ；用间接法；全部四位数有1a 3 300 个，55末位为0 时有3a 5 60 个，a4末位为5 时有1a 2 48 个，4满意题意的数共有300 60 48 192 个；2021 高考数学专题复习 （成都七中内部资料）第 12 页 共 25 页点评：一些数学问题，假如从条件动身，正面考虑较难较繁，不妨调整摸索方向，从问题的结论入手，或从问题的条件与结论的反面入手进行摸索，迂回地得到解题思路，这叫做“正难就反”；“正难就反”是一种重要的解题策略，敏捷用之，能使很多难题、趣题和生活中的问题获得巧解；核心考点3：命题的

13、等价转化例 5：已知 fx 为定义在实数r 上的奇函数，且fx 在0, + 上是增函数当时，是否存在这样的实数m，使对全部的均成立？如存在，求出全部适合条件的实数m；如不存在，请说明理由思路精析： 由奇偶性及单调性fx 单调性 关于的不等式一元二次不等式恒成立函数最值 m 的范畴解析： 由 fx 是 r 上的奇函数可得f0=0 又在 0,+ 上是增函数，故fx 在 r 上为增函数由题设条件可得又由 fx 为奇函数，可得 fx 在 r 上为增函数，即 令于 是 问 题 转 化 为 对 一 切0 t 1, 不 等 式2t -mt+2m-2 0 恒 成立又存在实数m满意题设的条件，例 6： （1）已

14、知 a， b， mr，且 ab ，求证：ama ；bmb（ 2）已知 a0， b0 ，且 ab1 ，求证： a解析：（ 1） 方法一：1 b1 ab25 ；4分析： a ， am 的形式可以联想到两点连线的斜率，所以可构造斜率来解题；bbm证明：如图1，设 a（b， a）， b（-m， -m），其中 m0；由于 0ab ，就直线oa的斜率： k oatan1a1 ，直线 ab的斜率： k abba mtan21b m由于b 在第三象限的角平分线上，所以ab 必与x轴正半轴相交，且有0 12，所以 tan24tanama1 ，即bmb方法二：分析： ab， am 的形式与相像三角形中的对应线段成

15、比例类似，所以可联想到构造相像三角形来解题；bm2021 高考数学专题复习 （成都七中内部资料）第 13 页 共 25 页图 2证明：如图2，在 rtabc 和 rtadf ， aba ， acb ， bdm ，作 ce/bd 交 df 于 e；因为abc adf ，所以 abambcfambcea m （斜边大于直角边）b m（ 2）令 f xx1 ， x0,1 ；x由于 f' x11x2，当 x0,1 时， f' x0 ，所以f x 在（ 0， 1）上是减函数；又 0ab ab 211 ，所以f ab1f ，即 ab11174；244ab44111ba所以 a bababa

16、bab17ba17ba24ab4ab17225244变式训练1： 已知 a， br ，且 a2b21，求证：a 22abb2 ；证明： 设 arcos， brsin，其中r1，0， 2就 a 22abb2r 2 cos22r 2 sincosr 2 sin2r 2 cos2r 2 sin 2a 22abb 22r 22sin 224变式训练2： 如 0， sincos 4a， sincosb ，就（）a abb abc ab1d ab2解析： 如直接比较a 与 b 的大小比较困难，如将a 与 b 大小比较转化为a 2 与b 2 的大小比较就简洁多了；由于 a 21sin 2， b21sin 2

17、，又由于 0222所以 sin 2sin 2，所以 a 2b2 ，又由于 a， b0 ，所以 ab；应选（ a）；核心考点4：立体几何问题例 7：如图， 在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，2021 高考数学专题复习 （成都七中内部资料）第 14 页 共 25 页棱 .（）证明平面；（）设cd， 证明平面.2021 高考数学专题复习 （成都七中内部资料）第 15 页 共 25 页解 ：（ ） 证 明 ：取 中 点 ， 连 结 ， 在 矩 形 中 ， ，又， 就2021 高考数学专题复习 （成都七中内部资料）第 16 页 共 25 页 . 连结，于是四边形为平行四边形. .又平面

18、，且平面，平面.2021 高考数学专题复习 （成都七中内部资料）第 17 页 共 25 页（）证明：连结，由（）和已知条件，在等边中，且 . 因此平行四边形为菱形，从而2021 高考数学专题复习 （成都七中内部资料）第 18 页 共 25 页，平面，从而，而，所以平面.变式训练1：（全国卷第15 题）：abc 的外接圆的圆心为o ，两条边上的高的交点为h， oh m（ oa ob oc ），就实数m分析：假如用一般的三角形解决此题较难，不妨设abc 是以 a 为直角的直角三角形，就o 为斜边bc 上的中点， h 与 a 重合， oa ob oc oa oh ，于是得出m 1；点评：这种通过特别

19、值确定一般性结果的思路仍有很多，如归纳、猜想、证明的方法，过定点问题，定值问题也可以用这样的思路；例8 ： 已 知 球 的 半 径 为 ， ， ， 三 点 都 在 球 面 上 ， 且 每 两 点 间 的 球 面 距 离 均 为，就球心到平面的距离为（） .分析与求解：由已知条件，分析所给出的几何体的特点，可作如下转化：球心到平面的距离.圳正三棱锥的高.圳正方体的对角线，可立刻得出球心到平面的距离棱长为的正方体对角2021 高考数学专题复习 （成都七中内部资料）第 19 页 共 25 页线的. 故 b正确 .变式训练1： 设 x 、y且 3x2 +2y2=6x ，求 x2+y2 的范畴 .22分

20、析： 设 k=x +y ，再代入消去y ，转化为关于x 的方程有实数解时求参数k 的范畴的问题. 其中要留意隐含条件，即x 的范畴 .2222222解法：由 6x-3x=2y0 得 0x2. 设k=x+y ，就 y =k-x ，代入已知等式得：x -6x+2k=0 ，即2021 高考数学专题复习 （成都七中内部资料）第 20 页 共 25 页2k=-x所以 x 2+y2 的范畴是：x 2+y24.+3x ，其对称轴为x=3. 由 0x2 得 k，.分析 2： 三角换元法，对已知式和待求式都可以进行三角换元（转化为三角问题）解法 2：由2021 高考数学专题复习 （成都七中内部资料）第 21 页

21、 共 25 页所以 x 2+y2 的范畴是：x 2+y24.【点评】此题运用多种方法进行解答，实现了多种角度的转化，联系了多个学问点，有助于提高发散思维才能 . 此题仍可以利用均值换元法进行解答. 各种方法的运用，分别将代数问题转化为了其它问题，属于问题转换题型.核心考点5：详细、抽象问题例 9浙江卷第 12 题）：如 f（ x）和 g（ x）都是定义在实数集r 上的函数，且方程x f g（ x）0 有实数解，就g f （x）不行能是（）（ a ）x2 x 1（ b） x2 x 1（ c）x2112（ d） x 5555分析： 此题直接解不简洁，不妨令f （ x ） x，就 f g（ x ）

22、g（ x），g f（ x ） g（ x ）， x f g（ x） 0 有实数解即x g（ x） 0 有实数解；这样很明显得出结论，b 使 x g（x） 0 没有实数解，选 b这种从抽象到详细再到抽象，使同学从心理上感到特别轻松，象这样常见抽象函数式仍有一次函数型f （ x y） f（ x ） f （ y） m，对数函数型f（ xy ） f （x ） f（ y），幂函数型f（ xy ） f（ x ） f（ y ）；2021 高考数学专题复习 （成都七中内部资料）第 22 页 共 25 页点评：把抽象问题详细化是在数学解题中常有的化归途径，它是对抽象问题的懂得和再熟悉，在抽象语言与详细事物间建立联

23、系，从而实现抽象向详细的化归；实际应用问题例 10把一块钢板冲成上面是半圆形，下面是矩形的零件，其周长是p，怎样设计才能使冲成的零件面积最大？并求出它的最大面积；分析： 这个实际问题可以转化成一个函数的最值问题来解决；解析： 如图，设矩形的一边长为x, 就半圆的周长为x2矩形的另一边长为ab1 px2x = 2 p242) xa· od设零件的面积为s，就1s=.x 2x . 2p2 x=4 x2p xbxc24482 a 0当 xb2 p2a4p；时， s 有最大值，这时ab=4p 2当矩形的两邻边ab 与 bc 之比为 12 时， smax=；82点评：实际问题转化为数学问题，用

24、数学结果说明最终的实际问题；变式训练1： 某运输公司有12 名驾驶员和19 名工人，有8 辆载重量为10 吨的甲型卡车和7 辆载重量为6 吨的乙型卡车某天需运往a 地至少72 吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次派用的每辆甲型卡车需配2 名工人，运输一次可得利润450 元；派用的每辆乙型卡车需配1 名工人，运输一次可得利润350 元，该公司合理方案当天派用两类卡车的车辆数，可得 最大利润为（ a ） 4650 元（ b ） 4700 元（ c） 4900 元（ d） 5000 元解析：（ 1）c：设派用甲型卡车x（辆），乙型卡车y（辆），获得的利润为u（元），u450x350 y ，xy2 xy12,19,由 题 意 ， x、 y满 足 关 系 式10x6 y0x8,0y7,72, 作 出 相 应 的 平 面 区 域 ， u450 x350 y509x7 y 在 由xy2xy12,19确定的交点7,5 处取得最大值4900 元，选c22评析：将最大值转化为y 轴上的截距，将m 等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选c，此题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简洁的转化思想和数形结合的思想，属中档题；变式训练2： 设集合a x, y | m2 x2 2ym , x, yr ,bx, y | 2mxy2m