年高考数学总复习-定积分和微积分基本定理

1、第三节定积分和微积分基本定理考纲解读1.明白定积分的实际背景、基本思想及概念.2.明白微积分基本定理的含义.命题趋势探究定积分的考查以运算为主，其应用主要是求一个曲边梯形的面积，题型主要为挑选题和填空题.学问点精讲 一、基本概念1.定积分的极念一般地，设函效fx在区间 a，b 上连续 .用分点 a =x0 <x1 <x2 < l<xi- 1 < xi< l<xn =b 将区间 a,b 等分成 n 个小区间， 每个小区间长度为d x（ d x =b -an），在每个小区间xi - 1, xi 上任取一点ii1,2, n，作和式： snnf i xi 1n

2、baf i 1ni ，当 d x无限接近于 0 （亦即 n）时，上述和式bsn 无限趋近于常数 s ，那么称该常数s 为函数f x 在区间 a ,b 上的定积分 记为： sfa x dx ， fx为被积函数，x 为积分变量， a, b 为积分区间，b 为积分上限，a 为积分下限需要留意以下几点：bb（ 1）定积分f xdx 是一个常数，即asn 无限趋近的常数s （ n时），称为f x dx ，而不是asn （ 2）用定义求定积分的一般方法. 分割： n 等分区间 a,b ； 近似代替：取点ixi 1 , xi； 求和：nbaf i 1ni ； 取极限：bf xdxnbalimfiani 1n

3、bt2b（ 3）曲边图形面积：2定积分的几何意义sfx dx ；变速运动路程asvt dt ；变力做功t1sf x dxa从几何上看，假如在区间a,b 上函数f x 连续且恒有f x0 ，那么定积分bfx dx表示由直线axa, xb ab, y0 和曲线by = fx 所围成的曲边梯形如图 3-13 中的阴影部分所示的面积，这就是定积分fx dx 的几何意义ab一般情形下，定积分f xdx 的值的几何意义是介于x 轴、函数af x的图像以及直线x = a , x =b 之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号二、基本性质b性质 11dxba .abb性质 2

4、kf xdxkf x dx其中k是不为0的常数 （定积分的线性性质）.a ab bb性质 3 f1 xf2 xdxf 1 xdxf 2 xdx （定积分的线性性质）.a aab cb性质 4f x dxf xdxf xdx 其中acb（定积分对积分区间的可加性）aacbbbb推广 1 f1xf2 xf m x dxf1 x dxf2 x dxfm xa aaab c1c2b推广 2f xdxf xdxf xdxf x dxaac1ck三、基本定理设函数bf x是在区间 a,b 上连续，且fx是bf x 是在 a,bb上的任意一个原函数，即'f xf x ，就a fxdxf bf a ，

5、或记为a f xdxfxaf bf a ，称为牛顿 莱布尼兹公式，也称为微积分基本定理该公式把运算定积分归结为求原函数的问题，只要求出被积函数fx 的一个原函数fx然后运算原函数 fx在区间a, b 上的增量f b f a 即可，这肯定理提示了定积分与不定积分之间的内在联系题型归纳及思路提示题型 51 定积分的运算思路提示对于定积分的运算问题，如该定积分具有明显的几何意义，如圆的面积等（例3.26 及其变式），就利用圆面积运算，否就考虑用牛顿-莱布尼茨公式运算12例 3.25（ 2021 江西 11）运算x-1sin x dx =12解析x-1sin x dx=1 x331cosx11cos1

6、1cos12 333a.b.c.d.4 1变式 1dx2 xa. -2ln 2b.2ln 2c. -ln2d.ln 2变式 21ex02x dxa.1b e1.c. ed.2e+11fx dxfx0x1变式 3 设函数fxaxca，如0000，就x0 的值为k,f xk变式 4 设函数 yfx 的定义域为r, 如对于给定的正数k ，定义函数f kxfx ,，就当函数fxkfx1 ,k x1 时，定积分21 f k 4xdx 的值为（）a. 2ln22b.2ln21c. 2ln2d.2ln21例 3.26 依据定积分的几何意义运算以下定积分（ 1）42xdx ；（ 2）011x2 dx1分析 依

7、据定积分的几何意义，利用图形的面积求解.解析依据定积分的几何意义，所求的定积分是直线所围成图形（如图3-14 所示）的面积的代数和，很明显这是4两个面积相等的等腰直角三角形，如图3-14 所示，其面积代数和是0，故220x dx02（ 2）依据定积分的几何意义，所求的定积分是曲线x12y1y0 和 x 轴围成图形（如图3-15 所示）的面积，明显是半个单位圆，其面积是，故121x dx=2评注定积分bxdx 的几何意义是函数和直线axa, xb 以及 x 轴所围成的图形面积的代数和，面积是正值,但积分值却有正值和负值之分，当函数时, fx0 面积是正值，当函数fx0 时，积分值是负值变式 1

8、依据定积分的几何几何意义运算以下定积分4（ 1）x002 dx；（ 2）24x2 dx ；（ 3）10sin xdx ；（4）034 sin xdx 4题型 52 求曲边梯形的面积思路提示b函数 yfx, ygx 与直线xa, xbab围成曲边梯形的面积为s| fxagx | dx ，具体思路是：先作出所涉及的函数图象，确定出它们所围成图形的上、下曲线所对应函数，被积函数左、右边界分别是积分下、上限例 3.27 由曲线yx2 ,yx3 围成的封闭图形的面积为（）11a.b.12417c.d.312解析由 x2x3 得 x0或x1, 就由yx2 和yx3 围成的封闭图形的面积为1x2x3 dx1

9、 x31 x41111，应选 a 03403412变式 1（ 2021 湖北理 3）已知二次函数yfx的图象如图3-16 所求，就它与x 轴所围成图形的面积为（）24a.b.533c.d.22yox2图 3-16变式 2 由曲线 yx2 和直线 x小值为（）0, x1, yt , t0,1所围成的图形（如图3-17 中阴影部分所示）面积的最21a.b.3311c.d.24变式 3 求抛物线y24 x 与 y22 x4 围成的平面图形的面积12变式 4 求由两条曲线y4 x , yx 和直线 y44 所围成的面积最有效训练题16（限时 45 分钟）21.已知函数fxx2x163，就161fx d

10、x（）1a. -2b.3c.-4d.3122.定积分1x102x dx（）11a,b.1c.d.42423.设 fxx2 ,x0,1，就2fx dx（）2x,x1,2034a.b.455c. d.不存在64. a2xdx, b2ex dx, c2sin xdx ，就a,b, c 的大小关系是（）000a, acbb. abcc. cbad.cab5.曲线 ysin x,ycos x 与直线 x0, x所围成的平面区域的面积为（）2a, b. c.21d.2216.由直线 x, x, y330 与曲线 ycos所围成的平面图形的面积为（）13a,b.c.22d. 37.抛物线y22 x 与直线 y45x 围成的平面图形的面积为58.已知 fx 是偶函数，且2fxdx06 ，就fx dx59.2|1x | dx010.已知函数 yfx的图象是折线段abc ，其中图象与 x 轴所围成的图形的面积为11.依据定积分的