数值分析习题(含答案)分解

1、数值分析习题参考解答江世宏编1第一章绪论姓名_ 学号_ 班级_习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。1 若误差限为0.5 10,那么近似数 0.003400 有几位有效数字？（有效数字的计算）*2*1512 3解：x =0.340010，xx兰一汉10=汽1022故具有 3 位有效数字。2 二=3.14159具有 4 位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）解：二=0.31415910，欲使其近似值 二*具有 4 位有效数字，必需*11413*13*兀一兀 x 10兀 _一x 10兰兀 n +_ x 10即3.14109兰兀 3.14209 2 2 2即取

2、（3.14109,3.14209）之间的任意数，都具有4 位有效数字。3 已知a =1.2031，b =0.978是经过四舍五入后得到的近似值，问a b，a b有几位有效数字？（有效数字的计算）*12bb b=1.1766 2*131211 2(a+b)(a +b)Eaa + b b 10-x1022 2故a b至少具有 2 位有效数字。* *0.978j31.2031/11_2(ab) (a b )兰ba a +abb -汉10 +-汇10= 0.0065兰一汉10122 2故a b至少具有 2 位有效数字。4 设XA0,x的相对误差为6,求In x的误差和相对误差？（误差的计算）X X解：

3、已知-=d，则误差为*7x5 测得某圆柱体高度h的值为h*二20cm，底面半径r的值为r*二5cm，已知|h - h* |一0.2cm,| r - r* |一0.1cm，求圆柱体体积V =_h的绝对误差限与相对误差限。(误差限的计算)* * *| *2”*解:*ln x In x1*x-x6lnx*ln x*x*ln x* X x In x Tn x =-* = 6x则相对误差为数值分析习题参考解答江世宏编2解:v(h,r) v(h , r )兰2兀r h r r+兀r |h h绝对误差限为v(h, r) -V(20,5)兰2血5 20汉0.1十兀52兀0.2 = 25兀数值分析习题参考解答江

4、世宏编3相对误差限为v(h,r) -v(20,5)25v(20,5)2 = 4%-5220206 设x的相对误差为a%,求y =xn的相对误差。（函数误差的计算）x*-xx*解:y*-y*ynx* n-x*nxx*-x*x二(na)%7 计算球的体积，为了使体积的相对误差限为1%， 问度量半径r时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算）43解：球体积为v（r）r，v（r3*3二r*2欲使v(r) _v(r )4机r r _rv(r )4*3：r3r*-r* r=1%，必须r*-r*r4%。1In = exnexdx，求证：0In=1 - nln(n = 0,1, 2 )（1）（2）利用（1）

5、中的公式正向递推计算时误差逐步增大;算方法的比较选择）1解：ln=e4反向递推计算时误差逐步减小。（计n . x-1rn xx de二e x e0110 - n xnexdx = 101r nx -A- ne x e dx = 1 - nl01I0=e；exdx = e4(e_1) =1_e0如果初始误差为；0 =I0一I。，若是向前递推，有0，若*2n= 1n -1n=(1-nIn4)-(1-nIn/) =-n；nJ珂-1)n(n- On/= (-1)nn!可见，初始误差；0的绝对值被逐步地扩大了。如果是向后递推n nIn，其误差为1 1 1 1*1一1D1可见，初始误差；n的绝对值被逐步减

6、少了。Jnn!数值分析习题参考解答江世宏编4第二章插值法姓名_学号_ 班级_习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。1 已知f( _1) =2, f=1, f (2) =1，求f(x)的拉氏插值多项式。(拉格朗日插值)解法一(待定系数法)：设L(x ax2bx c，由插值条件，有a-b c = 2a +b +c = 14a +2b + c =1解得：a =1/6, b - -1/2, c =4/3。1214故L(x) x x623解法二(基函数法)：由插值条件，有11 1s(x)(x-2r(x 1)(x-2)3(x心1)2 已知y =

7、 x,Xo=4,捲=9，用线性插值求-7的近似值。(拉格朗日线性插值)y0=4 = 2，y1-9 = 3，其线性插值函数为3 若Xj(j =0,1,.n)为互异节点，且有(Xx0)(x xj(XXjJ(XXj卅)(XXn)lj(x)=(Xj-X)(Xj-Xj(Xj-Xj4)(Xj-Xj+)(Xj-Xn)n试证明送xklj(x)三Xk(k=o,1.n)。(拉格朗日插值基函数的性质)j =0n解：考虑辅助函数F(x) =E xklj(x) xk，其中，0兰k兰n,x(皿严)。j=0L(x)二(x-1)(x-2)(-1 -1)(-1-2)2. (x 1)(x-2)(1 1)(1-2)(x 1)(x

8、_1)(2 1)(2 _1)解：由插值节点与被插函数，可知,心鳥2.7的近似值为L(7)X43二9-4551 6x5513&52.6。数值分析习题参考解答江世宏编5F(x)是次数不超过n的多项式，在节点x =为(0 n)处，有nF(xJ x：lj(x) Xik= Xikli(Xi)一Xik= X：一斤=0j =0这表明，F(x)有 n+1 个互异实根。n故F (x)三0，从而 7xk|j(x)三Xk对于任意的0乞k空n均成立。j =04 已知sin 0.32 =0.314567, sin 0.34 =0.333487, sin 0.36二0.352274，用抛物线插值计算sin 0.3

9、367的值并估计截断误差。(拉格朗日二次插值)解：由插值条件，其抛物线插值函数为(xOW.36)0.314567(0.32 0.34)(0.32 0.36)(x -0.32)(x -0.36)(0.34 -0.32)(0.34 -0.36)(x -0.32)(x -0.34)(0.36-0.32)(0.36-0.34将x =0.3367代入，计算可得：L(0.3367)：0.3304。其余项为：r(x)| =sin (x0.32)(x0.34)(x - 0.36)其中，0.32vv0.36 3!r(x)|兰3(x-0.32)(x -0.34)(x -0.36)6故误差的上界为：1r(0.336

10、7)|兰一|(0.3367 0.32)(0.3367 0.34)(0.3367 0.36)|兰2.140。6Jin5 用余弦函数COSX在X0= 0，X1，x2三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值42兀多项式，并近似计算cos及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。(拉格朗6日二次插值)解：由插值条件，二次拉格朗日插值多项式为L(x：/4)(x/2)彳.(x-O)(x-二1 . (x-0)(x/4)()(0-二/4)(0-二/2)(二/4_0)(二/4_二/2) . 2(二/2- 0)(二/2-二/4)0.3334870.352274数值分析习题参考解答江世宏编6余项为:1其余项的上界

11、为：r(x)兰丄卜仪x/4)(x兀/2)6兀1兀兀兀 兀兀TL3r()兰一一(一 一)(一一)肚0.023966 6 646264比较可知，实际计算所得的绝对误差较余项公式所估计出的值要小一些。6 已知函数值f(0) =6, f(1) =10, f (3) =46, f (4) =82, f(6) =212，求函数的四阶均差f0, 1, 3,4,6和二阶均差f4,1,3。(均差的计算)解：采用列表法来计算各阶均差，有xy一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差0611043461814/34823661/362126529/311/151/151从表中可查得：f0, 1, 3, 4, 6：15xy一阶

12、均差二阶均差48211072/33461868( x 71/4)(x 71/2)8、2x(x -二/ 2)2JtL(評8(二/ 6-理/4)(二/671/2)8、2二/6(二16述/ 2 24. 2绝对误差为:相对误差为:2cos L6jicos6:0.8508(6)兀L(6)兀L(6)2 4. 29.3 - 4 -8、29 3一4一8 2：0.015318:0.0179r(x)二sinx(x -二/4)(x -二3!/2)，其中，0 v n/2数值分析习题参考解答江世宏编7故f4,1,3 =6。其实，根据均差的对称性，f4,1,3 =f1,3,4 =6，该值在第一个表中就可以查到。数值分析习

13、题参考解答江世宏编87设f (x) =(x x)(x Xi)(X Xn)求f Xo,XiXp之值，其中p兰n +1，而节点xi(i =0,1,n1)互异。(均差的计算)解：由均差可以表示成为函数值的线性组合，有f (Xi)_ Xi) (XiXid)(Xi X 1)(XiXp)(Xi- Xp)而f(xJ=0OWiWp，故f x0,x“xp=0。8 如下函数值表X0124f(x)19233建立不超过三次的牛顿插值多项式。(牛顿插值多项式的构造)解：先构造均差表Xf(x)一阶均差二阶均差三阶均差0119822314343-10-8-11/4故N(x) =1 8x 3x(x -1)x(x 1)(x -

14、2)。49 求一个次数小于等于三次多项式p(x)，满足如下插值条件：p(1) =2，p(2) =4，p(2) =3，p(3) = 12。(插值多项式的构造)解法一(待定系数法)：设p(x)二ax3 bx2cx d，则pfX0,XiXp=厂亦数值分析习题参考解答江世宏编9p (x3ax22bx c,由插值条件，有3+b+c+d=28a + 4b + 2c + d = 412a 4b c = 327a 9b 3c d =12解得：a =2, -9,c =15, -6。故p(x) = 2x3- 9x215x -6解法二(带重节点的均差法)：据插值条件，造差商表数值分析习题参考解答江世宏编10 xy一

15、阶差商二阶差商三阶差商122422431312852故p(x) =2 2(x-1) (x-1)(x-2)2(x-1)(x-2)2= 2x 一9x215x一610 构造一个三次多项式H (x)，使它满足条件H (0) = 1, H (1) = 0, H (2) = 1, H (1)=1(埃 尔米特插值)。322解：设H(x)=ax bx cx d，H (x) =3ax 2bx c利用插值条件，有d =1a +b +c +d = 08a 4b 2c d = 13a 2b c =1解得：a - -1,b = 4,c - -4 , d =1。32H (x) x4x -4x 1311 设f (x) =

16、x2,x0= 1/4,x = 1, x2=9/4。(1)试求f (x)在1/ 4, 9/4上的三次埃尔米 特插值多项式H (x)，使得H(为)=f (Xj), j = 0,1,2, H (xj = f (xj，H (x)以升幕形式 给出。(2)写出余项R(x)二f (x) - H (x)的表达式。(埃尔米特插值及其余项的计算)。11927313解:fG) J, f(1)=1，f(9H27,f (x) =3x2，f (1)上484822设H (x) =ax3bx2cx d，H (x)二3ax22bx c1丄1丄1丄1a+ b+ c+d =641648a +b +c +d =1*729丄81丄9丄

17、27-a十一b十c+ d=一6416483数值分析习题参考解答江世宏编113a +2b +c = L21。2514b举，450空d450解得：a =,225数值分析习题参考解答江世宏编121432632233X + X + x 2254504505 -2129(X )(X-1)(X)，其中,4412 若f(x)乏c2a,b, f (a) = f(b) =0，试证明:12max| f (x)| b - a2max | f ”(x) |(插值余项的应用)a空售g辿解：以f(a)二f (b) =0为插值条件，作线性插值多项式，有x - bx - aL(x)f(a)f(b)=0a bb a其余项为f

18、“(QR(x) =f (x) -L(x) =f(x)(x-a)(x-b)2!故maxf(x)|=max fF(x) (一_a)(b _ )=丄(b _a)2max f (x)。a空至2a童兰 彳228a童兰13 设f(-2) = -1, f(0) =1, f(2) =2,求p(x)使p()= f(xj(i =0,1,2)； 又设| f ”(x)|MM，则估计余项r(x)= f(x) - p(x)的大小。(插值误差的估计) 解：由插值条件，有”4a - 2b + c = -1c =1、4a +2b + c = 2a = -1/8解得：*b=3/4P=1123从而p(x)x2x 184其余项为r(

19、x)=f(x)-p(x 3(x 2)x(x2)(一22)r(x)|兰%|(x3-4x)兰严普启二8；%66 927故H (x)=R(x)3128125数值分析习题参考解答江世宏编13第三章函数逼近ee-1姓名学号班级习题主要考察点：最小二乘法，最佳平方逼近，正交多项式的构造。1 设f (x) = sin二x，求f(x)于0,1上的线性最佳平方逼近多项式。(最佳平方逼近)解:=spa n1,x1(1,1)= dx = 1，01111(12)XdX=,(,2)=.X2dX二020J1(f, J = sin二xdx0法方程组为12x1，(仁2)=*in nxdx =-一cos心 + si n0兀兀1

20、-a2a11 =JI11?2.1I123-解得：a12门，a2= 0IT线性最佳平方逼近多项式为:2。JI2 令f (x)二ex, 1乞x乞1， 且设p(x)=aqx,求ao,a1使得p(x)为f (x)于-1,1上的最佳平方逼近多项式。(最佳平方逼近)解:= spa n1,x11(I,1)dx = 2，(i,Jxdx，C, 2)-4-4x2dx =-131(f,1.exdx re-e，(f, )4法方程组为1=xexdx = 2e412a a- IJ0 2-31- 2数值分析习题参考解答江世宏编14线性最佳平方逼近多项式为：p(x)xo23数值分析习题参考解答江世宏编153 证明：切比雪夫多

21、项式序列Tk(x)二cos(k arccosx)在区间 I-1,1上带权(x) = 1/ ._1 - X2正交。(正交多项式的证明)解:对于 l = k，有cosQ arccosx) cos(k arccosx)dx兀cosQt)cos(kt)(-sint)dt = cos(lt) cos(kt)dt0二-cos(l - k)t cosQ k)tdt2o1 1 1- sin(l - k)tsin(l k)to二02 l kl+k对于l = k，有112(Tk,Tk)cos (karccosx)dx,1 x22 2cos (kt)(-sint)dt = cos (kt)dt01二1 11 cos

22、(2k)td-r s in (2k)t0：2022k1故，序列Tk(x)在-1 , 1上带权r(x)-正交。-x2x1x2=34 求矛盾方程组：x12x2=4的最小二乘解。(最小二乘法)Xr_ x2= 2解法一：求x1与x2，使得2 2 2f(X1,X2)=(X1X2-3)(X12x2-4)(X1- X2-2)达到最小。于是，令= 2(x1x2-3) 2(x12x2-4) 2(捲-x2-2) =01-cos2112 -cos t数值分析习题参考解答江世宏编16X1数值分析习题参考解答江世宏编172(x1x2- 3) 2(x12x2- 4) 2 2(x x2- 2)( -1) = 0 x2即：卩

23、Xl*2X2=9，其最小二乘解为:2xi+6x2=9解法34，记作AX =b，该矛盾方程组的最小二乘解，应满足以下方程组-1其直线拟合函数为y =1.2288 1.4831X。6 用最小二乘原理求一个形如y = a bx2的经验公式，使与下列数据相拟合.X =2.5714X?= 0.6429ATAX解之，得X1=2.5714。N =0.64295已知一组试验数据Xk22.53455.5yk44.5688.59试用直线拟合这组数据解:作矩阵12 14112.54.513，y =6148158.5J 5.5一19一法方程为(ATA)X =(ATy)2；905 b=麗5解得：a= 1.2288，b

24、=1.4831。63 2.1.（计算过程保留 3 位小数）。（最小二乘线性逼近）数值分析习题参考解答江世宏编18Xk1925313844yk1932.34973.397.8（最小二乘二次逼近）解：等价于对数据表2Xk36162596114441936yk1932.34973.397.8作线性拟合。其法方程组为：55327 a _271.4327 7277699b_一 占69321.5一解得：a =0.9726，b =0.0500故经验公式为y =0.9726 0.05x2。数值分析习题参考解答江世宏编19第四章数值积分姓名_ 学号_ 班级_习题主要考察点：代数精度的计算，构造插值型求积公式(梯

25、形，辛甫生公式)，复化求积 的计算，高斯公式的构造。h1 给定求积公式f (x)dx： af (_h) bf(0) cf (h)试确定a, b, c使它的代数精度尽可能-h高。(代数精度的应用和计算)2解:分别取f(x) =1,X,X，使上述数值积分公式准确成立，有;a +b +c = 2ha(/) +c(h) =0223q(-h)2+c(h)2=2h3/3h4hha二，b二，c = _。333hA hhf(-h) f (0) f(h)333h 3h34h，左边=xdx，右边=3(旳飞55hj 2h七、十hUXA4h丄h/_42h，左边=x dx，右边=(-h)0(h)丄5333此求积公式的最

26、高代数精度为3。12求积公式J。f (x)dx常民f (0) + Aif (1) + Bf (0)，试确定系数A0, Ai 及B,使该求积解得：A0, A1, B0：3361211求积公式为f(x)dx f(0) - f (1)- f (0)。03363131211再取f (x)二x3，左边=.x3dx010=右边04336故该求积公式的最高代数精度为 2。解得:故求积公式为h上f(x)dx3再取f (x) = X再取f (x) = x4h30-(h)03公式具有尽可能高的代数精确度，并给出代数精确度的次数。(代数精度的应用和计算)解:分别取f(X)=1 , X , X2，使求积公式准确成立，

27、有A1=1B0=1/2= 1/3211数值分析习题参考解答江世宏编333 数值积分公式f (x)dx -f (1) f (2)，是否为插值型求积公式，为什么？又该公式S，0数值分析习题参考解答江世宏编21的代数精确度为多少？(插值型求积公式特征)33dx亠h 1 1 =-f(1)f(2)1。由于求积节点个数为 2,代数精度达到 1 次，故它是插值型的求积公式。4 如果f(x).0，证明用梯形公式计算积分f (x)dx所得到的结果比准确值大，并说明其b几何意义。(梯形求积)解：梯形求积公式b aT f(a) f (b)2是由过点(a, f (a)，(b, f (b)的线性插值函数L(x) =f(

28、a) x_af(b)a-bb-a在a,b上的定积分。注意到：在区间a,b上,f (x)0，而(x - a)(x - b)：0，有bbbbftl.()I -T二f (x)dx - L(x)dx二f (x)-L(x)dx二 -(xa)(xb)dx：0aaaa2!从而I: T。其几何意义可作以下解释：在区间a,b上,f (x) - 0，故曲线y二f (x)下凹，直线y = L(x)位于曲线之上，因解：令f(x) =1,f (x)二x，xdx331 2-f(1) f(2)f(x)二x2，1533心亠矿21八尹1)f(2)故代数精度为bb此，曲边梯形的面积I二f (x)dx小于梯形面积T = jL(x)

29、dx。数值分析习题参考解答江世宏编215 用n =4的复化梯形公式计算积分dx，并估计误差。(复化梯形求积)1x2111解：h，取求积节点为xi=1 i ( i = 0,1，,4 )444213 xi 113h11-dxdx八-f (xj f (Xi 1) h二f(xo) f(X1)f(X2)f(X3)- f(X4)X* X；Xi2221 1 44441 411710.69704245672816806 设f(_1) =1, f (_0.5) =4, f(0) =6, f (0.5) =9, f (1) =2,则用复化辛甫生公式计算:f （x）dx，若有常数M使| f|岂M，则估计复化辛甫生公

30、式的整体截断误差限。（复 化辛甫生公式）0 11解：f(x)dx二f (x)dx亠I f (x)dx二0141141-f(1)一f(0.5) f(0) f(0) f (0.5)-f(1)666 6 6621因.Gdx/2，则误差大约为:In 2 - 0.6970 = 0.0039。数值分析习题参考解答江世宏编231j|(x-0)(x-0.5)2(x-1) dx =0-0.008M7 已知咼斯求积公式1f(x)dx：f (0.57735)f(-0.57735)将区间0,1二等分，用复41化高斯求积法求定积分.xdx的近似值。（高斯公式）011/21解：！Jxdx =一xdx xdx001/2I

31、-S0f(4)疋)(x+1)(x +0.5)2(x 0)dx+1f(4)化)f(x_0)(x_0.5)2(x_1)dx44!04!M0J(x+1)(x+o.5)2(x-0)dx +-1(X-0)(X-0.5)2(X-1) dx0.5t2(0.25-t2)dt二600.0042167:-14 4664 9211.1667661数值分析习题参考解答江世宏编24 1 1.xdx作变量换x =- t，有04 4整理得:A B C =4A = Ca2(A C)3464a4(A C)二.516数值求积公式为1/2对于1/2* 1xdx二8111_ 1 _ _二.1 tdt： #、1 0.57735. 1

32、-0.57735J.对于1,xdx作变量换x 11,有1/24 41/21,_1 _ 11_ ,_.一xdx 3 tdt：-. 3 0.57735. 3 - 0.5773581 81|_ _xdx卜.1 0.57735一1 - 0.57735. 3 0.57735一3 - 0.57735 = 0.669228 试确定常数 A，B，C 和a，使得数值积分公式2 f(x)dx：Afa) Bf(0) Cf(a)有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为高斯型的?(代数精度的应用和计算，高斯点的特征),x4，使上述数值积分公式准确成立，有;A B C =4A(-a) C(a)

33、 =023(a)2C(a)163A(-a)C(a)3A(-a)4C(a)43-0645O数值分析习题参考解答江世宏编251012、16 心10：12、f(x)dx肓心忖+訂(0)+灯(4)再取f (x)二x5，左边=fx5dx=0,-2=0:(.?)66再取f(x)二X,左边=2x6dx二25627076825可见，该数值求积公式的最高代数精度为到了2 3 -1 =5次，故它是高斯型的。5。由于该公式中的节点个数为3,其代数精度达9 设Cpn(x):是0,1区间上带权(x)二x的最高次幕项系数为1 的正交多项式系(1 )求P2(x)。1(2)构造如下的高斯型求积公式xf (x)dxf (x0)

34、 Af(xi)。(高斯求积)解(1)：采用施密特正交化方法，来构造带权珥X)二X且在0，1上正交的多项式序列取P0(x) =1，设R(x) =x：P(x)，且它与R(x)在0，1上带权(X)二X i正交0= (P0,p)=(x, P0) + 口0(p0,P0) ,a0(x.P。)-(P0,P)1x2dx0 xdx022故R (x) = xP0(x)二x -33设P2(x)=x2+吋匕)+aP0(x)，且它与F0(x)R (x)在0, 1上带权，(x)二x正交,于是0 = (P,B) =(X2,P)：0(R,P0), :0(x2,P。)-(P0,P)1x3dx0 xdx00=(P1,B)=(X2

35、,P)+(P,P)，口1(X2,R)(P,R)32x (x )dx03x(x _2)2dx0326 126 2P2(xx -5P1(x)sP0(x)= x -5(-)25102数值分析习题参考解答江世宏编26数值分析习题参考解答江世宏编27解（2）：p2（x），号需的零点为：X”6516 V66 + J6、设xf (x)dx：Af() Aif ()010 10分别取f (x) =1 ,x， 使上述求积公式准确成立，有AoA =1/26 - . 6八6Ao .10高斯型求积公式为110 xf(x)dx (-6 6(10，即= 1/310 A1解得:A。二丄416、6，A1AoA1 =12数值分析

36、习题参考解答江世宏编28第五章非线性方程求根姓名_学号_ 班级_习题主要考察点：二分法、迭代法、牛顿法和弦截法求根，迭代法求根的收敛性和收敛速度的讨论。1 用二分法求方程x2x-1=0的正根，要求误差小于0.05。(二分法)解：f(x)=X2X-1，f(0)-1：0,f(2)=10,f (x)在0，2连续，故0，2为函数的有根区间。(1)计算f(1) = 1：0，故有根区间为1，2。QQQ4(2)计算f () = () -1 = _：0，故有根区间为22247-1 =50，故有根区间为4162-13-山10，故有根区间为,匹。86428*103取近似根x1.6094，可满足精度要求。64确至

37、3 位有效数)，并说明所用的迭代格式是收敛的。(迭代法)2解：f (x) = x ln x - 4x 1, 2f(1) =-3：0,f (2) = l n2 7, f (x2x12、2 0,故函数单调增加，因此,x该方程在(1，2)之间存在着惟一的实根。取迭代函数(x)f4=lnxx 1,2显然1：、3 4 - In 2冬(x)乞.4二In 1-2，且772(3)计算f( ) = ( )244(4)计算逍)2(5)计算f(1) =()2(6)计算f(25(25)2161651512(7)计算f(51(51)23232131门,313-1 0，故有根区间为一,。8642825312513-10，

38、故有根区间为,1625616851“5551131一:0，故有根区间为32102432 8(8)若取中点 c=10作为取根的近似值，其误差小于640.0328 3232，2。2 说明方程x2 In x -4 =0在区间1，2内有惟一根x*，并选用适当的迭代法求x*(精13 511数值分析习题参考解答江世宏编291_1.1Mxi4-l nx4-1 ne 3(x)二数值分析习题参考解答江世宏编330故迭代Xk .1 =. 4 - InXk(k =1,2，)对任意初始值x1, 2收敛。对于初值x1=1.5，其迭代值分别为X2=1.8959，X3=1.8331，X4=1.8423，X5=1.84091

39、1 3由于X4X5=0.0014兰一0，故X5=1.8409作为近似值，已精确到了 3 位有效数字。223 设有解方程12-3x2cosx = 0的迭代法Xn4cosxn证明一Xf R均有3limxn=x*(x*为方程的根)。此迭代法的收敛阶是多少，证明你的结论。(3)取x0=4n用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过10，列出各次迭代值。(和收敛性讨论)初值均收敛于方程的根X*。.,*2*102*214兀解(2):由x =4 cos x，故有4 x : 42二233333*2:(x ) sin X = 0，故该迭代的收敛速度是1 阶的。3解(3):取X。=4，代入迭代式，可计算出以下结果：x

40、1=3.5642，x2=3.3920，x3= 3.3541，x4= 3.3483，x5=3.3475由于x5x4= 0.000810，取x応3.3475可满足精度要求。4设x = (x )，max (x)二 ：1，试证明：由Xn 1二(Xn) n = 0,1,，得到的序列、Xn匚收敛于X。(收敛性证明)证明：由X = (X )知，方程X =(X)有根。Xn41一*|=|(Xn)申(X*)兰入XnX*兰X.：X*|兰X X*由0兰几V1，当nT时，有Xn+ X*T 0,即序列D收敛于/。5 设方程3 -3x -2sin x =0在0,1内的根为x*，若采用迭代公式解(1)2(x)二4 cosx3

41、2F(x) = -sin x3良1(X E (_o,a)，故该迭代对任意xn d=1 sin xn，试数值分析习题参考解答江世宏编331(迭代法和收敛性讨论)证明:_xR均有|im._xn= x*(x*为方程的根)；此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。数值分析习题参考解答江世宏编2*2321，对应迭代格式：X -1讨论这些迭代格式在X0-1.5时的收敛性。若迭代收敛，试估计其收敛速度， 选一种收敛格 式计算出X。=1.5附近的根到 4 位有效数字。（收敛速度的计算和比较）3解：迭代函数(X) =1 _2si nx3(x)2 cosx3%，当x （_：,：）故迭代在区间上整体收敛。设lim xn

42、= xn_.10 13，则:x*2.x =1si nx32 . sin x3=1:15:=- 322故（x ） cosx3故该迭代的收敛速度为-01 阶的。6 方程x3-x2-1 = 0在x0=1.5附近有根，把方程写成 3 种不同的等价形式:(1)x =1-1，对应迭代格式:xx3-1x2，对应迭代格式:1Xn 1 = 12XnXn 1 =31X；1I If(1) - -1：0，f()二539f(=- f(313*f（Y）二丄.0，故方程在1,上有根x。2825 3*0，故方程在一，上有根x。4 211 3】*,上有根x。一 64-149:：:0，故方程在512对于迭代式1(1):(x) =

43、 12x(x)3，XA(x)2 8x*311)8.3111024 0时，它收敛于原初值问题的准确解y =e。解：显然，y=e是原初值问题的准确解。 求解一般微分方程初值问题的梯形公式的形式为hyn 1 = yn f (Xn, yn) f (Xn 1, yn 1)2对于该初值问题，其梯形公式的具体形式为T曰 于是:注意到：xn= 0，nh=nh，n _ -，令t2h，1 - _ 1 _ 1有h2 +h h t 2即：当h；0时，yn收敛于原初值问题的准确解。4对于初值问题丿yy，证明当h v0.2时，欧拉公式绝对稳定。(显式和隐式欧拉公7(01式的稳定性讨论)证明：显式的欧拉公式为yn= yn*

44、 hf (xn, yn) = (1-10h)yn从而窗十=(1 10h)en，由于0 v h c0.2，-1 c1 10h v1,en enhhh八沖2(1)，(12)yn-(2)yn，yn 1=(2 - h2 h)ynyn 1=(2 -h2 h)yn2-h)2齐丿yyo二亦即:O_hnJXnXnXnXnXnYn =(1 t)-(1 t)t(1 t)XnXn从而闯1 t)-Xn2 h数值分析习题参考解答江世宏编42公式yn 1八（yn yn），h（：fn1仁），使其具有二阶精度,主项。（局部截断误差和主项的计算） 解：假设yy（Xn），yn4二y（Xnd），利用泰勒展式，有因此，显式欧拉公式绝

45、对稳定。隐式的欧拉公式为yn 1 hf(Xn i,yn .1)= yn-10hyn .1Ynyn1en1 10h由于0 h，01，乩因此，隐式的欧拉公式也是绝对稳定的。5 证明：梯形公式yn1h二ynf（Xn，yn） f（Xn 1，yn 1）无条件稳定。（梯形公式的稳定2性讨论）解：对于微分方程初值问题rrny= 一人y八(九：0)$(0)=1其隐式的梯形公式的具体形式可表示为h h h2-；hyn 1= yn yn yn 1，(1 )yn1= (1 )yn，yn 1= ()yn2222 + Ah从而en 1 =()en2 + X.h由h 0,，0可知，為1：(22 + Xh)en，故隐式的梯

46、形公式无条件稳定。6 设有常微分方程的初值问题f(X,y)ky(x) = y 试用泰勒展开法，构造线性两步法数值计算并推导其局部截断误差数值分析习题参考解答江世宏编43*4T(XnJ)=y(Xn)-y(Xn)h h-h326fn二f(Xn,yn)二f (Xn,y(Xn)二y (Xn)fn4= f (Xn亠yn4)= f (Xnj, W X. 4) = y (X.J = y区)-y(Xn)hh2-22圧3yn 1 =2：y(Xn)(0：1 -：)y(Xn)h (-：1)y(Xn)h()y (Xn)h2 6 2数值分析习题参考解答江世宏编441213又心“从）y（xn）h 2y（xn）h6y（xn

47、）h欲使其具有尽可能高的局部截断误差，必须2: =1该数值计算公式的局部截断误差的主项为y(Xn1)-yn1- R-)丫Eh6 6 27 已知初值问题y =2xy（0） =0y（0.1） -0.01取步长h =0.1，利用阿当姆斯公式ynyn -（3f fnJ），求此微分方程在上的数值解， 求此公式的局部截断误差的首项。（阿当姆斯公式的应用）解： 假设yn二y(Xn)，Ynd= Y(xnj)，利用泰勒展开，有yn=y(Xn)，fn=y (Xn)，f2= y(x.4) = y(x.)- y (X.)hyfn)h2-2yn 1=y(Xn) y(Xn)h gy (Xn)h2一y)h241213而y(

48、Xn 1) = y(Xn) y (Xn)h y (Xn)h y (Xn)h2 6 y(Xn 1) yn 1列1g)y (Xn)h3y(Xn)h64125该阿当姆斯两步公式具有2 阶精度，其局部截断误差的主项为y (xn)h3。12取步长h =0.1，节点xn=0.1n(n= 0,1,2 ,100)，注意到f(x, y) =2x， 式可改写为0 1yn1 Tny (6Xn- 2人4) = Jn。血n 0.01仅需取一个初值y。=0，可实现这一公式的实际计算。其 MATLAB 下的程序如下：x0=0; %初值节点y0=0; %初值从而:于是数值计算公式为17儿YU”）兀齢24厂(Xn)h30，10

49、其计算公数值分析习题参考解答江世宏编45for n=0:99y1= y0+0.02* n+0.01;x1= x0+0.1;fprintf(x(%3d)=%10.8f,y(%3d)=%10.8fnx0=x1;y0=y1;end运行结果如下：x( 1)=0.10000000,y( 1)=0.01000000 x( 2)=0.20000000,y( 2)=0.04000000 x( 3)=0.30000000,y( 3)=0.09000000 x( 4)=0.40000000,y( 4)=0.16000000 x( 5)=0.50000000,y( 5)=0.25000000 x( 6)=0.600

50、00000,y( 6)=0.36000000 x( 7)=0.70000000,y( 7)=0.49000000 x( 8)=0.80000000,y( 8)=0.64000000 x( 9)=0.90000000,y( 9)=0.81000000 x( 10)=1.00000000,y( 10)=1.00000000 x( 11)=1.10000000,y( 11)=1.21000000 x( 12)=1.20000000,y( 12)=1.44000000 x( 13)=1.30000000,y( 13)=1.69000000 x( 14)=1.40000000,y( 14)=1.9600

51、0000 x( 15)=1.50000000,y( 15)=2.25000000 x( 16)=1.60000000,y( 16)=2.56000000 x( 17)=1.70000000,y( 17)=2.89000000 x( 18)=1.80000000,y( 18)=3.24000000 x( 19)=1.90000000,y( 19)=3.61000000 x( 20)=2.00000000,y( 20)=4.00000000 x( 21)=2.10000000,y( 21)=4.41000000 x( 22)=2.20000000,y( 22)=4.84000000 x( 23)=

52、2.30000000,y( 23)=5.29000000 x( 24)=2.40000000,y( 24)=5.76000000 x( 25)=2.50000000,y( 25)=6.25000000 x( 26)=2.60000000,y( 26)=6.76000000 x( 27)=2.70000000,y( 27)=7.29000000 x( 28)=2.80000000,y( 28)=7.84000000 x( 29)=2.90000000,y( 29)=8.41000000 x( 30)=3.00000000,y( 30)=9.00000000 x( 31)=3.10000000,y

53、( 31)=9.61000000 x( 32)=3.20000000,y( 32)=10.24000000 x( 33)=3.30000000,y( 33)=10.89000000 x( 34)=3.40000000,y( 34)=11.56000000 x( 35)=3.50000000,y( 35)=12.25000000 x( 36)=3.60000000,y( 36)=12.96000000 x( 37)=3.70000000,y( 37)=13.69000000 x( 38)=3.80000000,y( 38)=14.44000000 x( 39)=3.90000000,y( 39)

54、=15.21000000 x( 40)=4.00000000,y( 40)=16.00000000 x( 41)=4.10000000,y( 41)=16.81000000 x( 42)=4.20000000,y( 42)=17.64000000 x( 43)=4.30000000,y( 43)=18.49000000 x( 44)=4.40000000,y( 44)=19.36000000 x( 45)=4.50000000,y( 45)=20.25000000 x( 46)=4.60000000,y( 46)=21.16000000 x(47)=4.70000000,y(47)=22.09

55、000000 x(48)=4.80000000,y(48)=23.04000000,n+1,x1, n+1,y1);数值分析习题参考解答江世宏编46x(49)=4.90000000,y(49)=24.01000000 x(50)=5.00000000,y(50)=25.00000000 x(51)=5.10000000,y(51)=26.01000000 x(52)=5.20000000,y(52)=27.04000000 x(53)=5.30000000,y(53)=28.09000000 x(54)=5.40000000,y(54)=29.16000000 x(55)=5.50000000

56、,y(55)=30.25000000 x(56)=5.60000000,y(56)=31.36000000 x(57)=5.70000000,y(57)=32.49000000 x(58)=5.80000000,y(58)=33.64000000 x(59)=5.90000000,y(59)=34.81000000 x(60)=6.00000000,y(60)=36.00000000 x(61)=6.10000000,y(61)=37.21000000 x(62)=6.20000000,y(62)=38.44000000 x(63)=6.30000000,y(63)=39.69000000 x

57、(64)=6.40000000,y(64)=40.96000000 x(65)=6.50000000,y(65)=42.25000000 x(66)=6.60000000,y(66)=43.56000000 x(67)=6.70000000,y(67)=44.89000000 x(68)=6.80000000,y(68)=46.24000000 x(69)=6.90000000,y(69)=47.61000000 x(70)=7.00000000,y(70)=49.00000000 x(71)=7.10000000,y(71)=50.41000000 x(72)=7.20000000,y(72

58、)=51.84000000 x(73)=7.30000000,y(73)=53.29000000 x(74)=7.40000000,y(74)=54.76000000 x(75)=7.50000000,y(75)=56.25000000 x(76)=7.60000000,y(76)=57.76000000 x(77)=7.70000000,y(77)=59.29000000 x(78)=7.80000000,y(78)=60.84000000 x(79)=7.90000000,y(79)=62.41000000 x(80)=8.00000000,y(80)=64.00000000 x(81)=

59、8.10000000,y(81)=65.61000000 x(82)=8.20000000,y(82)=67.24000000 x(83)=8.30000000,y(83)=68.89000000 x(84)=8.40000000,y(84)=70.56000000 x(85)=8.50000000,y(85)=72.25000000 x(86)=8.60000000,y(86)=73.96000000 x(87)=8.70000000,y(87)=75.69000000 x(88)=8.80000000,y(88)=77.44000000 x(89)=8.90000000,y(89)=79.

60、21000000 x(90)=9.00000000,y(90)=81.00000000 x(91)=9.10000000,y(91)=82.81000000 x(92)=9.20000000,y(92)=84.64000000 x(93)=9.30000000,y(93)=86.49000000 x(94)=9.40000000,y(94)=88.36000000 x(95)=9.50000000,y(95)=90.25000000 x(96)=9.60000000,y(96)=92.16000000 x(97)=9.70000000,y(97)=94.09000000 x(98)=9.80000000,y(