数学物理方法知识点归纳

1、实用文档 文案大全 第一章 复述和复变函数 1.5连续 若函数)(xf在0z的领域内（包括0z本身）已经单值确定，并且)()(0lim0zfzfzz?，则称f(z)在0z点连续。 1.6导数 若函数在一点的导数存在，则称函数在该点可导。 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导数存在的条件 (i) xu? 、yu? 、xv? 、yv?在点不仅存在而且连续。 (ii)C-R条件在该点成立。C-R条件 为?yyxuxyxvyyxvxyxu),(),(),(),( 1.7解析 若函数不仅在一点是可导的，而且在该点的领域内点点是可导的，则称该点是解析的。 解析的必要条件：函数f(z)=u+iv在点z

2、的领域内 (i) xu? 、yu? 、xv? 、yv?存在。 (ii)C-R条件在该点成立。 解析的充分条件：函数f(z)=u+iv在领域内 (i) xu? 、yu? 、xv? 、yv?不仅存在而且连续。 (ii)C-R条件在该点成立。 1.8解析函数和调和函数的关系 拉普拉斯方程的解都是调和函数： 22xu? +22yu?=0 由此可见解析函数的实部和虚部都是调和函数。但是任意的两个调和函数作为虚实两部形成的函数不一定是解析函数，因为它们不一定满足CR条件。 当知道f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的u(x,y)时，如何求v(x,y)? 通过CR条件列微分方程 第二章 复变函数的积分

3、2.2解析函数的积分 柯西定理：若函数f(z)在单连区域D内是解析的，则对于所有在这个区域内而且在两个公共端点A与B的那些曲线来讲，积分?BAdzzf)(的值均相等。 柯西定理推论：若函数f(z)在单连区域D内解析，则它沿D内任一围线的积分都等于零。?Cdzzf0)( 二连区域的柯西定理：若f(z)在二连区域D解析，边界连续，则f(z)沿外境界线(逆时针方向)的积分等于f(z)沿内境界线(逆时针方向)的积分。 n+1连区域柯西定理：?niiiedzzfdzzfdzzfdzzf)(.)()()(21推论：在f(z)的解析区域中，围线连续变形时，积分值不变。 2.3柯西公式 若f(z)在单连有界区

4、域D内解析，在闭区域D的边界连续，则对于区域D的任何一个内点a ，有?dzazzfiaf)(21)(?其中?是境界线。 2.5柯西导数公式 ?dzfinzfCnn?1)()()(2!)( 第三章 级数 3.2复变函数项级数 外尔斯特拉斯定理：如果级数?0)(kkzu在境界?上一致收敛，那么 (i)这个级数在区域内部也收敛，其值为F(z) (ii)由它们的m阶导数组成的级数实用文档 文案大全 ?0)()(kmkzu在区域内也收敛，而且它们的和等于F(m)(z)。 3.3幂级数 阿贝尔(Abel)定理：如果幂级数?0)(kkkazc在点z0处收敛，则在任一圆|z-a|<=p|z0-a|，0&

5、lt;p<1内，幂级数一致收敛，并且绝对收敛。 达朗贝尔(D'Alembert)判别法:对于幂级数， 计算下列极限|)(|)(|lim11kkkkkazcazc? (i)当极限值小于1时，幂级数在点z处绝对收敛(ii)当极限值大于1时，幂级数在点z处发散(iii)当极限值等于1时，敛散性不能判断。 柯西判别法： 计算极限kkkkazc|)(|lim? 当极限值小于1时，幂级数在点z处绝对收敛;而当极限值大于1时，幂级数在点z处发散；极限值等于1时，不能判断 3.4解析函数与幂级数 定理：幂级数的和是收敛圆内的解析函数。 Taylor级数 ：?0)()(!)()(nnnaznafz

6、f .!.!212?nzzzenz .)!12(-1).!5!3sin12n53?nzzzzz n.)!2(.!4!21cos242?nzzzzn .1(-1).32)1ln(1n32?nzzzzzn 3.5解析函数与双边幂级数 定理：双边幂级数的和是环形区域内的解析函数。 环形区域内的解析函数可展成双边幂级数 ?kkkazczf)()( ?dafick?)()(21 称为Laurant系数 3.8孤立奇点 非孤立奇点：若函数f(z)在z=a点的无论多么小的领域内，总有除z=a以外的奇点，则z=a是f(z)的非孤立奇点。 孤立奇点：若函数在z=a不可导(或无定义)，而在去心领域0<|z-

7、a|<解析，则z=a是f(z)的一个孤立奇点。 3.9奇点分类 有限远奇点 极限性质 洛朗级数 可去奇点 limf(z)=有限值 不含负幂项 极点 limf(z)= 含有限个负幂项 本性奇点 limf(z)=无定值 含无限个负幂项 无穷远极限性洛朗级可去奇limf(z)有限 不含正幂项 极点 limf(z)= 含有限个正幂项 本性奇点 limf(z)=无定值 含无限个正幂项 第四章 留数 4.1柯西公式的另一种形式 一阶极点留数：若g(z)在单连区域D内解析，a在D内，在D内作一环绕点a的围线C。 令f(z)=g(z)/(z-a)则有： ?Casfidzzf)(Re2)(? )()(li

8、m)(Rezfazasfaz? 一阶极点留数的一种算法: 如果)()()(zzzf?那么)()()(Resaaaf? 实用文档 文案大全 m阶极点的留数公式 |)()()!1(1)(Re11azmmmzfazdzdmasf?4.2用级数分析来分析留数定理 ?kkkazczf)()( 则有Res1)(?caf 多连区域的柯西定理:如果在围线C的内部包含n个孤立奇点，利用多连区域的柯西定理就有?nkkCasfidzzf1)(Re2)(? 4.3无限远点的留数 ?1)(21)(Recdzzfisf? 定理1：如果当z时，若zf(z)0,则Resf()=0 定理2：0)(Re)Resf(a1k?sfn

9、k 4.4留数定理计算型积分 第一种类型：?20)sin,(cosdR型积分 令?iez? izdzd/? )(21cos1?zz?)(21sin1?zz?1|20)()sin,(coszdzzfdR? 在单位圆内各个奇点的留数之和 第二种类型：?dxxf)(型积分 注意，需要满足条件0)(limz?zzf idxxf?2)(?在上半平面的奇点留数之和 （界限上的乘以0.5） 第三种类型：?dxexfimx)(型积分 注意需要符合条件0)(limz?zf i2)(?dxexfimxf(z)eimz在上半平面的奇点留数之和 4.7围线积分方法 泊松积分：abaxeabxdxe4/02221cos

10、? 菲涅尔积分：221sincos0202?dxxdxx 第六章 积分变换 6.1傅里叶级数 三角函数系的正交性 2周期-展开定理： ?10)sincos()(mmmmxDmxCCxf ?dfC)(210 ?dmfCmcos)(1 ?dmfDmsin)(1 任意周期2l-展开定理： ?10)sincos()(mmmxlmDxlmCCxf? ?lldflC?)(210 ?llmdlmflC?cos)(1 ?llmdlmflD?sin)(1 6.2傅立叶积分 ?0sin)(cos)()(dkkxkDkxkCxf ?dkfkDdkfkCsin)(1)(cos)(1)( 实用文档 文案大全 C(k)是

11、偶函数，D(k)是奇函数 傅里叶公式 令)()(21)(kiDkCkf? 则dkekfxfikx?)()( ?defkfik)(21)()()()(1kfFxfxfFkf? 6.3傅立叶变换 线性定理 22112211fFCfFCfCfCF? 导数定理 )()(xfikFxfF?)()()(xfFikdxxfdFnnn? 积分定理 )(1)(0xfFikdfFxx? 延迟定理 )()(00xfFexxfFikx? 相似定理 )(1)(akfaaxfF? 卷积定理 )()(2)()(2121kfkfdxffF? 6.4拉普拉斯变幻 dtetppt?0)()(? 注意当t<0时，)(t?=0

12、 )(p?=L)(t? )(t?=L-1)(p? )(t?)(p? 线性性质： )()()()(2121pbpatbta? 导数的象函数： )0()()(?ppdttd )0(.)0()0()()(1-n21?nnnnnppppdttd积分的象函数 ppdttt)()(0? 1!?nnpnt 象函数的位移定理： )()(apteat? 由此可得 22)(cos?apapteat 22)(sin?apteat 22)(?apaptcheat 22)(?aptsheat（用来求逆变换） 延迟函数的象函数 )()()(ptHt? )()()(petHtp? 卷积定理 )()()()(21021tLt

13、LdtLt? 象函数的导数 nnndppdtt)()()(? 积分公式： ?00)()(dtttdpp? 实用文档 文案大全 第八章 数学物理方程的导出 22222),(),(xtxuattxu? 弦的横振动方程 u=弦的横向位移 a2=FTFT=张力 =单位长度弦的质量 弦的纵振动方程 u=弦的纵向a2=EE=杨氏模量 =单位长度弦的质量 ),(),(22truattru? 扩散方程 u=离子浓度，a2=D D=扩散系数 热传导方程 u=温度，a2=k/c k=导热系数，=质量c=比热容 ),(),(2222truattru?波动方u的任一分真空电?真空导E电场强度 B磁场强度 拉普拉斯方程

14、 0),(2?tru? 稳恒状态扩散方程 u=粒子浓度 稳恒状态传导方程 u=温度 静电场方程 u=静电势 线性算符与解的叠加 初始条件 扩散方程 热传导方程 （已知函数）?0|),(ttru? 波动方程 )(|),(0已知函数?ttru? （已知函数）?0|tt),ru(t? 边界条件 已知函数?unu? 第九章 本征函数法 弦振动方程的第一类边值问题 定解问题 22222),(),(xtxuattxu? 0),(),0()(|),(|00?tlutuxuxuttt? 分离变量 )()(),(tTxXtxu? 解本证方程 ?0)()0(0)()(lXXxXxX? 本征值 2)(lnn? 本征

15、函数xlnxXxXn?sin)()(? 解非本方 0)()(2?tTatTn? 的通解为sico定问的sisico由始件傅叶数定sisisisi 实用文档 文案大全 热传导方程第二类边值问题 定解问题 222),(),(xtxuattxu?)()0,(0|,0|0xxuuulxxxx? 分离变量 )()(),(tTxXtxu? 解本证方程 ?0)()0(0)()(lXXxXxX? 本征值 2)(lnn? 本征函数xlnxXxXn?cos)()(? 解非本征方程 0)()(2 ?tTatTn? 的通解为 )(2)()(tlannneCtTtT? 定解问题的解 ?1)(0cos),(ntlanln

16、eCCtxu? 由始件傅叶数定系数coco 0)()(?xXxX?本征值和本征函数系 齐次边界条件 本征值 本征函数系 0)()0(?lXX 2)(lnn? xln?s0)()0(?lXX 2)(lnn? xln?cos 0)()0(?lXX 2)21(lnn? xln?)21(sin? 第一类边界条件齐次化的一般方法 非齐次边界条件 )(),()(),0(21ttluttu? 齐次化方法 )()()() , (),(121ttlxttxvtxu? 非齐次方程按本征函数系展开的解法 定解问题 ),(),(),(22222txfxtxvattxv? 0|,0|0|,0|000?tttlxxvvv

17、v 本征函数 xlnxXxXn?sin)()(? 非齐次项按本征函数展开 ?1sin)(),(nnlxntftxf? ?lndlntfltf0sin),(2)(? 定解问题试解 ?1)(),(nnxlnxintTtxv? Tn(t)的确定 0|,0|0)()()()(002?tntnnnnTTtftTlantT? ?tnndltanfanltT0)(sin)()(? 第十章 勒让德多项式 微分方程的幂级数解法 二阶齐次线性常微分方程 0)()()()()(22?zyzqdzzdyzpdzzyd 将试解?00)()(kkkzzCzy代入方程，求系数的递推公式，从而求出方程的解 实用文档 文案大全

18、 连带勒让德方程 01 )1(2)1(22222?y xmlldxdyxdxydx 勒让德方程 0)1(2)1(222?ylldxdyxdxydx 勒让德方程的通解 )()()(1100xyCxyCxy? .)!2/()12).(3)(1().42)(22()1(.! 4)3)(1()2(!2)1(1)(2420?kxkllllklklxllllxllxykk.)!12/()2).(4)(2().32)(12()1(.!5)4)(2)(1)(3(!3)2)(1()(12521?kxklllklklxllllxllxxykk 系数递推关系) 勒让德多项式 对y0(x)或y1(x)乘以适当常数，使

19、得xl的最高项系数为 2)!(2)!2(llCll?时的多项式称为勒让德多项式，此时相应的Cl-2n为 )!2()!(2!)!22()1(2nlnlnnlClnnl?勒让德级数表达高斯函导数表达 lllllxdxdlxP)1(!21)(2? 围线积分表达式 ?ClllldzizP?12)()1(2121)( 定积分表达式 ?0cossincos1)(cosdiPll 性质 ? ?!2)!2()1()0(0)0()()1()(2212nnnPPxPxPnnnnlll 1|)(cos|)1()1(1)1(?llllPPP 勒让德方程的本征方程 刘维尔方程 0)()()(?yxwyxqdxdyxkdxd?勒让德方ddd权函数w(x)=1本征函数(x)正交性d模)d广义傅立叶级数展si(co)(co(cod母函 实用文档 文案大全 ?01021),(cos11),(coscos211llllllrPrrPrrr?01021),(11),(211llllllrxPrrxPrrrx 递推公式 (n+1)(1xPn?-(2n+1)x)(xPn+n)(1xPn?=0 )(xPn=)(1xPn?-2x)(xPn?+)(1xPn? ) (1xPn?=x)(xPn?+(n+1) )(xPn x)(xPn