用生活现象中蕴涵的数学思想激活课堂

1、用生活现象中蕴涵的数学思想激活课堂上海师范大学附属外国语中学 顾雪峰关键词：感悟；生活现象；数学思维方法；课堂教学；随着教学改革的步步深入，如何提高课堂教学的效率越来越被人们关注。为了实现这个目标，我们更新教学理念，改变教学方法，将多媒体引入课堂，给学生全方位的信息，希望通过增加单位时间内学生的信息获取量来实现效率的提高。从学生的成绩看课堂的效率是有所提高，但这样做的负面效应是学生的负担也增加了，因为学生的知识基础和阅历及时间决定了他们不可能对老师给予的那么多的知识信息作深刻的理解，学生会被动地记忆和模仿，尤其是数学教学，老师往往给学生总结了系列的基础知识和基本方法，并配备相关的练习题，课内的

2、、课外的、回家的作业可谓一应俱全，学生没有什么“偷懒”机会。但实际的教学效果并不如我们预期的那样，学生对数学思想方法的理解总不太深刻，不能灵活应用，老师对一个典型错误往往订正多次才能基本消除，大家也习惯的认为必须要这样做才叫教学到位，其实学习重在对知识的感悟，学生在中学学业结束后不久就会把所学的具体的数学知识忘的差不多了，即使是简单的初中数学知识也是如此，因此我们教会学生的不应只是为了应试的数学知识与方法，更要培养学生科学的思维方法，使他们能够在将来用这些思维方法创造性的解决工作和学习中遇到的问题。 我们知道，数学知识来源于实践，反过来服务于社会，但在实际教学活动中我们往往总是展示给学生数学如

3、何去解决实际问题，多少年来的高考试题中的应用题总是考察学生建立数学模型来解决问题的能力，其实生活中的许许多多现象都包含深刻的数学原理，它们无时无刻不在相互作用，生活处处离不开数学，我们用简单的乘除法：“再大的困难除以十三亿也会变得微不足道；再小的爱心乘以十三亿也会变成爱的海洋！”显示出祖国人民万众一心战胜特大地震灾害的强大力量，用两个平常的数字， “16”（天），“51”（金牌）折射出祖国的强大，向全世界展示了泱泱中华。数学同样离不开生活，生活中的数学无处不在。我们知道，生活中的许多平凡现象中，包含着深奥的科学哲理，阿基米德会在浴缸中悟出浮力定律，牛顿能从树上苹果总落向地面中发现万有引力，因为

4、这些现象之中本身蕴涵了深刻的科学原理。同样，和谐安定的生活现象中也包含许多数学原理，你走进超市购物，就会不知不觉地进行分类讨论；你和朋友谈论体彩和福彩，就在探讨排列、组合与概率问题；走进你的房间，每一个角落都有立体几何中的点、线、面的位置关系；你看电视剧，剧中的人民警察破案时，会发现他们在根据现场遗留物证进行逆向思维和发散思维，根据各方面的证据进行集中思维找出真凶。如果我们将这些现象中的数学思想及方法升华出来，并点缀我们的课堂教学，不仅可以加深学生对数学方法的理解，启迪学生的思维，而且可以极大地调动学生的学习兴趣，激发学生的想象力和创造力，使我们的教学活动生动有趣，提升教学的效率。下面就是几个

5、人们习以为常的生活现象，它们都包含着丰富的数学思想：一、“吃饭”中的数学思想用筷子进餐是我们中华民族的传统文化，它让我们在吃饭时活动五指，也运动了我们的大脑。人人都知道，一只筷子很难将饭菜送到嘴里，用一双筷子夹，即可轻松做到。这一动作其中蕴涵一个重要的数学思想方法，即解决一个问题，用一个条件往往不够，找出两个相关的条件，问题就很容易解决。如求一个点或求一个曲线方程等等。例1：求和圆外切于点且过点的圆的方程。要求圆的方程，关键是先求出圆心，然后求半径，而确定圆心（一个点）只需要找出经过它的两条线。对这道题的求解，学生的思维困难在于不能恰当使用“外切”。所求圆和圆外切，圆心必在直线上，所求圆过点和

6、，圆心必在直线的垂直平分线上，两条直线确定了圆心，解出交点即可。例2：求过抛物线内一点的弦的中点的轨迹方程。求弦的中点的轨迹方程，就是求中点的坐标、满足的等式，如果我们从两个的角度去表示同一个量，自然就会有等式产生。由点差法知：，又，所以，化简即得：。这一解法适用于所有的二次曲线。这种数学思维方法我们常常称之为“双轨法”，意即运用两个线索的交汇来解题。高等数学中“二分法”求根及求极限中的“两边夹法”均是这一思维方法的运用。在生活实践中，这一思维方法也有着十分重要的作用，如在运用无线电波侦测定位时，在两个不同的地方测出波源的方向，波源即在两个方向的交汇点。二、“走路” 中的数学思想18世纪初普鲁

7、士的柯尼斯堡，普雷格尔河流经此镇，奈发夫岛位于河中，共有7座桥横跨河上，把全镇连接起来。小镇的人们傍晚时都会到这里散步，人们热衷于探究一个问题：是否有一种方法，可不重复地走遍七座桥。这就是柯尼斯堡七桥问题。L.欧拉用点表示人们所在的或要到达的地点（岛和陆地），两点之间的连线表示连接它们的桥，把七桥问题化成一个“一笔画”的问题，解决了此问题。我们每天都走路，从一个地方到另一个地方，我们的足迹就在这些点之间连出一条条线。如果我们越过马路或小河，我们的运动轨迹曲线就会和它们有交点。这就是数学中的连续性问题。高中数学中利用连续性解题的地方很多。例3已知方程的两个实根满足，求的取值范围。xyo14考察函

8、数的图象，抛物线上的一动点沿抛物线运动时，由于图象的开口向上，且一根位于0与1之间，另一根位于1与4之间，即动点在这两个位置穿越轴两次，则必有，同时成立（如右图）。解不等式组可得：。例4判断关于的方程：的实根个数。XYO考察函数和的图象，抛物线上的一动点沿抛物线运动时，如图，开口向下的抛物线的左半支向左下方延伸，必和双曲线的左下支有且只有一个交点，的右半支向右下方延伸时，要经过双曲线的右上支的顶点的上方的点，必越过双曲线的右半支两次，即必有两个交点，所以共有三个交点，即有三个实根。 其中蕴涵了“数形结合”的数学思想方法。三、“穿衣” 中的数学思想 我们早晨起身穿衣服，按内衣、衬衣、外套顺次穿好

9、，晚上休息，则按外套、衬衣、内衣相反的顺序宽衣。这样的我们每天都在做的日常生活现象中包含着深刻的数学思想方法。在数学变换中，有着相同的规律，对象M依次经过变换A、B、C、D变成了对象N，则要让对象N变成对象M，须依次经过逆变换、。例5函数的反函数是_。很多学生会认为是，其实是完全错误的。只有一个含义，是的逆对应。自变量经过：，那么，在反函数中，一定经过，所以反函数为。例6将函数的图象先向右平移个单位，再将所得图象上的各点的横坐标变为原来的一半，最后将所得图象上的各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的图象，求的解析式。反向顺次经过变换：纵坐标变为原来的一半，横坐标变为原来的2倍，向左平移个单位得到，

10、所以。其中包含了“逆向思维”这一常用数学思维方法。四、“网络” 中的数学思想现代人的生活越来越离不开网络，大到奥运会的现场直播，小到打一个电话，都有网络的支持。它已渗透到我们生活的每一个角落。网络最伟大的地方是为身在不同地方的人们搭建了一个交流的平台，无论你们相隔多么远，只要你打开你的电脑，就可以和你的朋友沟通信息。现代社会需要交流平台，如“首脑峰会”、“六方会谈”等，就是人们为解决问题而搭建的平台。许多的数学问题的解决，我们也需要为研究对象搭一个它们相互联系的平台。例7解关于的方程：。方程左边的底和指数中均有未知数，两个位置的高低不同，缺乏联系。要想解决问题，需要改变形式，找出它们之间的联系

11、。方法是等式的两边取常用对数，将指数上的变成系数，这样两个在同一个平台上，方程化为：，即，解得：或，所以，或。例8求函数的值域。根号将两个未知数分隔开来，隔断了它们之间的联系。要解决问题，必须将它们集中到一起去。方法一：由于，平方得：，这样一来，未知数集中到一个根号中，容易求得：，所以，解得：。 方法二：通过换元，拆除壁垒。令，则，由于，故，所以，求得：五、“镜子” 中的数学思想人们总要对着镜子整理自己的仪容，梳一梳头发，整一整衣服，化一下妆。这一行为过程反映了一个重要的数学思想“映射-反映”，即将我们需要处理的问题转化成另一种模型解决，“数学建模”是这一思想的典型代表，即“实际问题数学模型解

12、决数学问题回归实际问题”。数学教课堂学中这样的问题很多，如坐标轴的平移、求函数解析式等均运用了这一思想。例9已知奇函数的图象关于直线对称，时，求时的解析式。对任何，要求出，由的图象关于直线对称知，由为奇函数知，所以时，例10求过曲线的焦点斜率为1的弦的方程。先将方程化为：，作坐标轴平移，将坐标原点移到，即，方程化简为，在中，求得焦点为，因此，所求直线为，回到中，即可得所求直线为。 这种思维模式我们称之为“转化与化归”。六、“山歌” 中的数学思想我国有五十六个民族，每个民族都有自己的民歌，如陕北的民歌“信天游”，歌声高亢，荡气回肠。陕北高原自然条件差,地形复杂，两山之间，往往隔着一道深沟，人们互

13、相可以望见，但要走到一起，却要绕路很远很远，于是人们就创造出“信天游”这种歌唱方式来相互沟通，它是人们日常生活中互相联系的传媒。数学中的量与量之间的关系是我们研究的主要对象之一，当量与量之间无直接的关系时，就需要寻求沟通它们关系的“中介”。解析几何中求动点的轨迹，需要求出曲线上的动点的坐标满足的方程，当之间没有直接的关系时，就要我们找到一种媒介来沟通和的关系，这个媒介我们称之为“参量”，这种求曲线方程的方法就叫“参量法”，例如：DCyBAx例11已知的面积为，求边的中点的轨迹。以的平分线为轴，以过和此平分线垂直的直线为轴建立直角坐标系如图，设，则，所以，。设中点的坐标为，则，得：在解不等式问题

14、时，常通过中间量(或式子)，用不等式的传递性比较或证明两个量(或式子)的大小关系，例如：证明：左边的式子不可求和，若要解决问题，需要找出一个可求和的式子做中介。由知： ，问题解决。七、“星星” 中的数学思想 夏天的夜晚，在屋外纳凉，习习晚风中，看满天繁星。随时间一分一分的流逝，群星慢慢地由东向西移动。有一颗星的位置几乎是不变的，它就是北极星，北斗七星绕着它旋转，千百年来永恒地为人们指明方向。数学的星空里，许多的变量、变换、动直线或动曲线往往也有不动点，这些不动点对我们揭示问题本质及解决问题有着无可替代的作用。例13已知圆，直线，证明：不论取什么实数，直线与圆恒相交于两点。找出动直线所过定点，证

15、明在圆内即可，不必用圆心到直线的距离来判定直线与圆的位置关系。例14已知二次函数，集合，若集合为单元集，求证：xOy如果从方程角度入手，解题比较繁琐，而且很难抓住问题的本质特点。如果我们从不动点方向考察，是的不动点，即的图象和直线的交点，在中，令，则，由于和的图象关于对称，为单元集时，的图象和直线相切，所以和的图象也相切，且三图象切于同一点，显然有成立。这一现象很好地体现了“动”与“定”辨证统一的关系八、“电视” 中的数学思想每年的寒暑假期间，电视的影视频道都会安排一些爱国主义教育的节目，其中有不少的影视片段中，我们的革命战士利用敌人之间的矛盾，挑起敌人互相争斗，出色地完成党交给的任务。如平原

16、游击队中智勇双全的李向阳利用黑夜的掩护，引鬼子和伪军相互打，带领游击队安全转移。数学问题中，有一些问题，其中不易处理的部分，我们可以巧妙地设置情境，让它们互消，成功解题。例15已知，求仔细观察可知，含字母系数的项均为奇函数，其余为偶函数。可将其中不确定的部分完全消去，故，所以例16求等比数列的前项的和的公式。 （1）时，时， （2）（1）减去（2），消去了其中的绝大部分，只剩下两项，得：解出即得：。其中包含了数学方法中的“整体运算”思想。反思我们现在的数学课堂教学模式，受考纲的影响很大，基本采用先讲解数学概念及基础知识，再根据概念等设计出许许多多数学问题，教会学生解决这些问题的方法，以便在考试

17、中模仿运用，在解题教学中渗透数学思想。这样的教学模式对提高学生的数学应试能力是十分有效的，但对提高学生的数学素质来说效果不佳。学生有较高的运算能力和模仿能力，却匮乏对知识的感悟和思维创新能力。学生的视野很窄，大部分学生的观察对象在家是电视和电脑，在学校是课本和黑板，激发他们灵感的东西太少了，而灵感来源于对生活的观察，创新来源于对实践的反思。虽然我们也谈要注重数学应用能力的培养，但那些应用题都是我们杜撰出来的理想模式，是不太切合实际的理想化的问题。生活中有许多的东西值得我们在教学中去借用，荀子在劝学中说：“登高而招，臂非加长也，而见者远。顺风而呼，声非加疾也，而闻者彰。假舆马者，非利足也，而致千里。假舟辑者，非能水也，而绝江河。君子生非异也，善假于物也。”在汶川地震中，心理专家通过游戏帮助孩子们走出灾难带来的心理阴影，让他们感受党的关怀和全国人民对他们的爱心援助，树立生活的信心，赶走阴霾，